2.4等腰三角形的判定定理 同步自主提升训练题2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册

2025-2026学年浙教版（2024）八年级数学上册《2.4等腰三角形的判定定理》 同步自主提升训练题（附答案） 一、单选题 1．已知等腰三角形的一边长为，且其有一个内角的度数为，则该等腰三角形的周长是（    ） A．10 B．15 C．18 D．20 2．在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 3．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 4．如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 5．如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，的平分线与的平分线相交于点O，过点O作，分别交、于点M、N，若，，则的周长是（   ） A．60 B．66 C．72 D．78 7．如图，在中，，平分，于点E，于点D，交于点F，H是边的中点，连接与交于点G．现有下列结论：①；②；③是等腰三角形；④四边形和四边形面积相等．其中正确的结论有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．已知是等腰一腰上的高，且，则三内角度数为 ． 9．如图，是的角平分线，，，则图中的等腰三角形有 个 10．如图，一艘船从处出发，向正西方向航行69海里到达处，分别从A，B处望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离是 海里． 11．如图，在中，平分，点是的中点，过点作，交的延长线于点，若，则 ． 12．如图，是的角平分线，，将沿所在直线翻折，点B在边上的落点记为点E，若，，则的长为 ． 13．如图，在一个房间内，一把长米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为），此时梯子与地面夹角为，那么D、E两点间的距离是 米． 14．如图，点为线段上的一动点（不与A，B重合），在同侧分别以，为边作等边和等边相交于点F，交于点M，交于点，连接．则下列结论： ①； ②； ③是等边三角形； ④． 其中正确的是 ．（只填写序号） 三、解答题 15．如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 16．已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，． (1)若，求的度数： (2)若，，求证：． 17．（1）如图1，与均是顶角为的等腰三角形，，分别是底边，与全等吗？为什么？ （2）如图2，和均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上，连接，求的度数． 18．在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 19．如图，点是等边内一点，是外的一点，已知，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求的度数； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 20．如图，在等腰直角三角形中，，，D为的中点，，垂足为点E，过点B作交DE的延长线于点F，连接．交于点G，交于点M，连接． (1)求证： (2)求证： (3)连接，试判断的形状，并说明理由． 参考答案 1．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，当等腰三角形有一个内角为时，该三角形必为等边三角形．因此，无论已知边长为的是底边还是腰，其余两边均为，周长可直接计算． 【详解】解：一个等腰三角形的一个内角为， 该等腰三角形是等边三角形， 又其一边长为， 它的周长是． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 3．C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 4．B 【分析】本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 连接，则由作图可得，那么为等边三角形，可证明，再根据全等三角形性质以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由作图可得，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 6．A 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握等角对等边的性质是解题关键．根据角平分线的定义和平行线的性质，得到，，进而得出，，即可求解． 【详解】解：的平分线与的平分线相交于点O， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，综合运用知识点进行推理是解此题的关键．根据角平分线的定义求出，求出，根据全等三角形的判定推出，，根据全等三角形的性质得出，，再逐个判断即可． 【详解】解：平分， ， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ∴，即，故①正确； ，， ，故②正确； ，H为的中点， ， ， ，， ， ， 是等腰三角形，故③正确； ， ， 又和的面积不一定相等， ，故④错误； 即正确的是①②③，共3个， 故选：C． 8．、、或、、或、、 【分析】主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，根据直角三角形两锐角互余求出，再分点A是顶角顶点，点A是底角或顶角顶点3种情况求解． 【详解】解：∵，是等腰腰上的高， ∴， ①如图1，点A是顶角顶点时，顶角为，是，两底角为； ②如图2，点A是底角顶点时，两底角是，顶角； ③如图3，点A是顶角顶点时，顶角，两底角是； 综上所述，等腰三内角度数为、、或、、或、、． 故答案为：、、或、、或、、． 9．3 【分析】本题考查等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定是解答的关键．先根据角平分线的定义和三角形的内角和定理得到，，然后根据等腰三角形的判定可得结论． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 即，， 则、、都是等腰三角形，有3个， 故答案为：3． 10．69 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，注意数形结合思想的应用是解题的关键．根据等腰三角形的判定和三角形外角的性质理可得到结论． 【详解】解：根据题意得：海里， ， ， ， 海里， 即从海岛到灯塔的距离是69海里， 故答案为：69． 11．3 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形．根据角平分线的定义和平行线的性质，推出，进而得到，延长至点，使，连接，证明，得到，证明为等腰三角形，得到，再根据线段的和差进行计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长至点，使，连接， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：3． 12．3 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 13． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，解题关键是通过角度计算和梯子长度不变，判定为等边三角形． 连接，先计算出，结合梯子长度不变得到，判定是等边三角形，再利用等边三角形三边相等的性质，得出米，从而求出、两点间距离． 【详解】解：连接， ∵，， ∵． ∵梯子长度不变， ∴米， ∴是等边三角形， ∴米． 故答案为． 14．①②③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． ①根据等边三角形性质得 ，进而得 ，则，由此可依据“”判定和全等， 然后根据全等三角形的性质即可对结论①进行判断；②根据全等三角形的性质得，再根据三角形内角和定理及，即可得出， 由此可对结论②进行判断；③证明和全等得， 再根据得是等边三角形， 由此可对结论③进行判断；④假设， 根据得是等边三角形，则，再根据得出假设是错误的，由此即可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵和都是等边三角形， ∴， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ②∵， ∴， 在中， ， 在中，， 又∵， ∴，，故结论②正确； ③在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，故结论③正确； ④假设， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， 这与相矛盾， ∴假设是错误的， ∴，故结论④不正确， 综上所述：正确的结论是①②③， 故答案为： ①②③． 15．(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 16．(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据，以及三角形外角的性质，可得，，再由，可得，，即可求解； （2）根据，以及三角形外角的性质，可得，可证明，可得，，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即． 17．（1）全等，证明见解析；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形全等的判定和性质．需熟练掌握三角形全等的证明方法是解决本题的关键． （1）通过等腰三角形的性质得出边和角的关系，由边角边的证明方法即可证明三角形全等； （2）利用等边三角形的性质由边角边的证明方法证明三角形全等，再通过角的计算求出的度数． 【详解】（1）解：全等， 证明如下：因为与均是顶角为的等腰三角形， 所以． 那么， 所以． 所以在中，在中． 因为在和中， ， 所以． （2）解：因为和均为等边三角形， 所以，，． 那么，即． 在和中， ， 可得． 所以． 由于是等边三角形，点，，在同一直线上，， 所以． 所以． 又因为是等边三角形，， 所以． 18．(1)8 (2)；理由见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定． （1）证明，根据全等三角形的性质即可求解． （2）在上截取，如图，证明，再证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ∵G为中点， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：线段和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 19．(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）先利用全等三角形的性质得出，再根据证得结论成立； （2）先等边三角形的性质得出，再求出，然后利用全等三角形的性质求得，从而可求得，进而求得； （3）先利用等腰三角形的性质求得，从而可求得，，进而求得，再分、、三种情况，分别求得． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）是等边三角形， ． ． ， ， ， ； （3）是等边三角形， ． ， ， ， ． ①当时，， ． ②当时，， ． ③当时，， ． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 20．(1)见解析 (2)见解析 (3)为等腰三角形，见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）利用等腰直角三角形的性质得出垂直平分，证明，然后利用直角三角形的性质即可得出结论； （2）借助（1）证明，利用得出相等的角，即可得出结论； （3）借助于线段垂直平分线和全等三角形得出相等的边即可． 【详解】（1）证明：为等腰直角三角形，    ∵ ∴   即平分． 且．   垂直平分， ． D为中点． ． ． 在和中    ． , ∴， ∴ ； （2）证明：由（1）得垂直平分， ∴， 又， ∴       ； （3）解：为等腰三角形．理由： 垂直平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $