第4章 4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学讲义聚焦任意角、弧度制及三角函数概念等高考核心考点，按“定义-度量-函数”逻辑架构梳理知识，通过考点梳理（角的分类、弧度公式）、方法指导（象限角判断、扇形问题策略）、真题训练（判断正误、象限角选择）等环节，帮助学生突破终边相同角表示、三角函数符号判断等难点，体现复习系统性和针对性。 资料融合数学眼光与思维，如通过终边相同角集合抽象培养抽象能力，扇形面积最值问题训练运算推理。设计母题变式（扇形周长求面积最大值）和多维探究（三角函数定义应用），分层练习配合即时反馈，助力学生构建解题框架，为教师把控复习节奏提供精准指导。

4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念 【课标要求】 1．了解任意角的概念和弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性． 3．借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． [对应学生用书P87] 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的__端点__旋转所成的图形； (2)分类： (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． [微提醒]　终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：长度等于__半径长__的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示； (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝rad；1 rad＝__°__ 弧长公式 l＝__αR(0＜α＜2π)__ 扇形面积公式 S＝__lR__＝__αR2(0＜α＜2π)__ 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，那么sin α＝__y__，cos α＝__x__，tan α＝__(x≠0)__； (2)定义的推广：设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)； (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．轴线角 2．α所在象限与所在象限的关系 α所在象限 一 二 三 四 所在象限 一、三 一、三 二、四 二、四 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)锐角是第一象限角，第一象限的角也都是锐角．(×) (2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(√) (3)终边相同的角的同一三角函数值相等．(√) (4)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角．(×) 2．－870°角的终边所在的象限是(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　因为－870°＝－1080°＋210°，所以－870°角的终边在第三象限．故选C. 答案　C 3．(人A必修一P182T4改编)＋＋的值组成的集合为(　　) A．{3} B．{3，1} C．{－1，1} D．{3，－1} 解析　当θ是第一象限角时，原式＝＋＋＝3；当θ是第二象限角时，原式＝＋＋＝－1；当θ是第三象限角时，原式＝＋＋＝－1；当θ是第四象限角时，原式＝＋＋＝－1.综上，选D. 答案　D 4．(人A必修一P176T4改编)一条弦的长等于半径，则此弦所对圆心角的弧度数为(　　) A． B． C． D．π 解析　因为弦长等于半径，所以弦和与弦的两端点相交的两半径构成等边三角形，所以弦所对圆心角为60°，即为. 答案　B 5．已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________． 解析　|OP|＝＝13，∴sin θ＝，cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－. 答案　－ [对应学生用书P88] 考点一　角及其表示 基础考点　自练自悟 1．(多选)下列说法错误的是(　　) A．钝角是第二象限角 B．第二象限角比第一象限角大 C．大于90°的角是钝角 D．－165° 是第二象限角 解析　对于A选项，钝角α的范围是90°<α<180°，第二象限角β的取值范围是k·360°＋90°<β<k·360°＋180°，所以，钝角是第二象限角，A正确；对于B选项，120° 是第二象限角，390° 是第一象限角，但120°<390°，B错误；对于C选项，390°>90°，但390° 不是钝角，C错误；对于D选项，－90°<－165°<－180°，故－165° 是第三象限角，D错误．故选BCD. 答案　BCD 2．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　) 解析　当k取偶数时，比如k＝0，此时≤α≤，故角的终边在第一象限或y轴正半轴；当k取奇数时，比如k＝1，此时≤α≤，故角的终边在第三象限或y轴的负半轴．综上，角的终边在第一象限或第三象限或y轴上． 答案　C 3．设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则(　　) A．A∩B＝∅　　　　　　B．AB C．BA D．A＝B 解析　α＝45°＋k·180°，k∈Z表示终边在直线y＝x上的角， α＝135°＋k·180°，k∈Z表示终边在直线y＝－x上的角， 而β＝45°＋k·90°，k∈Z表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线y＝x，x≥0；y＝－x，x≤0；y＝x，x≤0；y＝－x，x≥0，它们构成直线y＝x，直线y＝－x，故A＝B. 答案　D 4．已知θ为小于360°的正角，角4θ与角θ的终边关于x轴对称，那么θ＝________． 解析　由角4θ与角θ终边关于x轴对称，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°，k∈Z，故θ＝k·72°，k∈Z.又0°＜θ＜360°，故令k＝1，2，3，4，得θ＝72°或144°或216°或288°. 答案　72°或144°或216°或288° 1．象限角的两种判断方法 (1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． (2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． 2．求或nθ(n∈N*)所在象限的步骤 (1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示． (2)两边同除以n或乘以n. (3)对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限． 考点二　弧度制及其应用 一题多变　母题探究 一扇形的圆心角α＝，半径R＝10 cm，求该扇形的面积． [解析]　∵α＝，R＝10 cm， ∴S扇形＝αR2＝××102＝(cm2). 1．(变结论)若本例条件不变，求扇形的弧长l及该弧所在弓形的面积． 解析　l＝αR＝×10＝(cm)， S弓形＝S扇形－S三角形＝－·R2·sin ＝－×102×＝(cm2). 2．(变条件)若将本例已知条件改为“扇形周长为20 cm”，则当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 解析　由已知设扇形弧长为l cm，扇形半径为R cm，则l＋2R＝20，则l＝20－2R(0＜R＜10). 所以S＝lR＝(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25， 所以当R＝5 cm时，S取得最大值25 cm2， 此时l＝10 cm，α＝2 rad. 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度制． (2)当求扇形面积的最大值时，常转化为求二次函数的最值问题． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理利用圆心角所在的扇形． 1．(多选)(2025·邢台质检)某日，分针长为6 cm的时钟从20：10走到20：35，分针转动的弧度为α，分针的针尖走过的弧长为l，则(　　) A．α＝－ B．α＝ C．l＝5π cm D．l＝6π cm 解析　因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，可得α＝－×2π＝－，由分针长为6 cm可得，弧长l＝r|α|＝5π cm.故选AC. 答案　AC 考点三　三角函数的定义及应用 多维探究　发散思维 角度1　三角函数值的定义 (1)(多选)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上存在两点A(－1，a)，B(b，1)，且sin α＝，则(　　) A．a＝－ B．b＝－2 C．cos α＝－ D．tan α＝－ (2)已知α的终边在直线y＝2x上，则sin α＝____________________． [解析]　(1)由题意可知sin α＝＝＝，所以a＝，b2＝8，A错误；由a＝>0，知角α为第二象限角，所以b<0，所以b＝－2，B正确；cos α＝＝－，C正确；tan α＝＝－＝－，D正确． (2)由题意可知，α的终边落在第一或第三象限，且tan α＝2，若在第一象限，可在α的终边上任取一点(1，2)，∴sin α＝＝；若在第三象限，可在α的终边上任取一点(－1，－2)，∴sin α＝＝－. 综上，sin α＝±. [答案]　(1)BCD　(2)± 利用三角函数的定义解决问题的策略 (1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解． (2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值． (3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标． 角度2　三角函数值的符号 若sin α·tan α＜0，且＜0，则角α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 [解析]　由sin α·tan α＜0可知sin α，tan α异号，则α为第二象限角或第三象限角．由＜0可知cos α，tan α异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．故选C. [答案]　C 三角函数值符号的判断方法 要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的符号，如果角不能确定所在象限，那就要进行分类讨论求解． 2．sin 2cos 3tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析　因为＜2＜3＜π＜4＜，所以sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，所以sin 2cos 3tan 4＜0.故选A. 答案　A 3．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，P为其终边上的一点，将角θ逆时针旋转30°，交单位圆于点Q(xQ，yQ)，则yQ的值是(　　) A． B． C． D． 解析　因为P为角θ的终边上一点，所以不妨取θ＝45°，将角θ逆时针旋转30°，得θ＋30°＝75°，所以yQ＝sin 75°＝sin (45°＋30°)＝×＝.故选A. 答案　A 学科网（北京）股份有限公司 $