第2章 2.6 指数运算与对数运算（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习讲义聚焦指数运算与对数运算核心考点，依据课标要求构建“概念-性质-运算-应用”的知识体系，通过考点梳理（如根式定义、指数幂性质、对数运算律）、方法指导（指数幂化简技巧、对数换底公式应用）、真题训练（改编题、多选、计算）等环节，帮助学生系统突破运算难点。 讲义突出数学思维与应用意识培养，如指数对数综合题中通过设中间变量转化问题，提升推理能力；实际应用题结合臭氧含量、生物丰富度模型，强化模型意识。设置基础判断、能力提升、综合应用分层练习，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生应考能力。

2．6　指数运算与对数运算 【课标要求】 1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质． 2．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数． [对应学生用书P37] 1．根式与有理数指数幂 (1)根式 ①如果xn＝a，那么__x__叫做a的n次方根； ②式子叫做__根式__，这里n叫做根指数，a叫做被开方数； ③()n＝__a__．当n为奇数时，＝__a__；当n为偶数时，＝|a|＝ (2)有理数指数幂 概念：正分数指数幂：a＝____． 负分数指数幂：a＝＝____． (a＞0，m，n∈N*，n＞1) 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 运算性质：aras＝ar＋s. (ar)s＝ars. (ab)r＝arbr. (a＞0，b＞0，r，s∈Q) 2．对数 概念：如果__ax＝N__(a＞0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝__logaN__，其中a叫做对数的__底数__，N叫做__真数__． 性质：对数式与指数式的互化：ax＝N⇔__x＝logaN__． 负数和0没有对数． 1的对数是__0__：loga1＝__0__． 底数的对数是__1__：logaa＝__1__． 对数恒等式：＝__N__． 运算性质：loga(MN)＝__logaM＋logaN__， loga＝__logaM－logaN__， logaMn＝__nlogaM__(n∈R)， (a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0). 换底公式：logab＝， (a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1) 换底公式的变形 (1)logab·logba＝1，即logab＝(a，b均大于0且不等于1)； (2) (a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R). (3)logab·logbc·logcd＝logad(a，b，c均大于0且不等于1，d＞0). 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)＝－4.(×) (2)分数指数幂a可以理解为个a相乘．(×) (3)log2x2＝2log2x.(×) (4)若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则loga(M＋N)＝logaM＋logaN.(×) 2．(人A必修一P127T3(3)改编)计算：2lg －lg 4＝(　　) A．10 B．1 C．2 D．lg 5 解析　原式＝lg ()2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1.故选B. 答案　B 3．(多选)下列结论中，正确的是(　　) A．设a＞0，则a·a＝a B．若m8＝2，则m＝± C．(mn)8＝ D．＝2－π 解析　对于A，根据指数幂的运算性质，可得a·a＝a＝a≠a，选项A错误；对于B，m8＝2，故m＝±，选项B正确；对于C，(mn)8＝m2n-3＝，选项C正确；对于D，＝|2－π|＝π－2，选项D错误，故选BC. 答案　BC 4．(人A必修一P127T3(6)改编)若log35·log2527＝a，则a＝____________． 解析　log35·log2527＝log35·log5233＝log35·log53＝，所以a＝. 答案　 5．求值：27－()2－×log2＋log23×log34＝____________． 解析　27－()2－×log2＋log23×log34＝(33)－()2－3×log22-3＋×＝32－25－3×(－3)＋＝9－25＋9＋2＝－5. 答案　－5 [对应学生用书P38] 考点一　指数幂的化简与求值 基础考点　自练自悟 1．若xy＝3，则x＋y＝____________． 解析　当x＞0，y＞0时，x＋y＝＋＝2，当x＜0，y＜0时，x＋y＝－＋(－)＝－2. 答案　±2 2．已知a＋a-1＝3，则a2＋a-2＝____________，a－a＝____________． 解析　将a＋a-1＝3两边平方，得(a＋a-1)2＝a2＋2＋a-2＝9，所以a2＋a-2＝7，因为(a－a)2＝a－2＋a-1＝3－2＝1，a，a的大小不确定，所以a－a＝±1. 答案　7　±1 3．化简与求值： (1)－＋(0.027)； (2) (3)×＋8×－. 解析　(1)原式＝－＋(0.3)3×＝－＋0.09＝－0.16. (2)原式 (3)原式＝×1＋2×2－＝2. 指数幂的运算 考点二　对数式的化简与求值 多维探究　发散思维 角度1　对数式的化简与计算 计算下列各式： (1)log535＋2log2－log5－log514； (2)； (3) [解析]　(1)原式＝log5＋log22＝log553＋1＝4. (2)原式＝＝＝1. (3)原式＝·＋＝3＋2＝5. 对数运算的一般思路 (1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并； (2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． [提醒]　对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log212＝log2[(－3)×(－4)]＝log2(－3)＋log2(－4)的错误． 角度2　指数式与对数式的综合应用 (1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　) A． B．10 C．20 D．100 (2)(2024·北京卷)已知(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝2x的图象上两个不同的点，则(　　) A．log2＜ B．log2＞ C．log2＜x1＋x2 D．log2＞x1＋x2 [解析]　(1)∵2a＝5b＝m，∴log2m＝a，log5m＝b，∴＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，∴m＝(m＝－舍去). (2)因为(x1，y1)，(x2，y2)为函数y＝2x的图象上两个不同的点，所以y1＝，y2＝，且x1≠x2，则≠，所以y1＋y2＝＋＞＝，所以＞＞0，所以log2＞log2＝，故选B. [答案]　(1)A　(2)B 指对互化的转化技巧 对于将指数恒等式ax＝by＝cz作为已知条件，求函数f(x，y，z)的值的问题，通常设ax＝by＝cz＝k(k＞0)，则x＝logak，y＝logbk，z＝logck，将x，y，z的值代入函数f(x，y，z)求解． 1．(1)已知a＞1且－＝－，则a＝____________． (2)计算：log225·log3(2)·log59＝____________． 解析　(1)根据题意有－＝－，即3loga2－＝－，设t＝loga2(a＞1)，则t＞0，故3t－＝－，得t＝(t＝－1舍去)，所以loga2＝，所以a＝2，所以a＝64. (2)方法一　log225·log3(2)·log59＝log252·log32·log532＝6log25·log32·log53＝6. 方法二　log225·log3(2)·log59＝··＝··＝6. 答案　(1)64　(2)6 2．(2025·福州一中期末)设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么下列关系正确的是(　　) A．a＋2b＝c B．ac＋2bc＝ab C．＋＝ D．＋＝ 解析　由题意可设3a＝4b＝6c＝t，则a＝log3t，b＝log4t，c＝log6t， 由a，b，c都是正数，可知t>1. a＋2b＝log3t＋2log4t＝＋＝＋＝ln t×，c＝， 而ln 6·ln 6≠ln 3·ln 2⇒≠⇒ln t×≠⇒a＋2b≠c，故A错误； 易知＝＝logt3，＝＝logt4，＝＝logt6，则＋＝logt3＋logt2＝logt6＝，故C正确； ＋＝logt4＋logt9＝logt36＝≠⇒ac＋2bc≠ab，故B错误； 由＋＝logt12，＝logt36可知＋≠，故D错误． 答案　C 考点三　指数式与对数式的实际应用 重难考点　师生共研 (1)(2025·山东青岛一模)近年来，家用冰箱使用的氟化物的释放等破坏了臭氧层，真氧含量Q与时间t(单位：年)的关系为Q＝Q0e，其中Q0是臭氧的初始含量．臭氧消失一半所需要的时间约为(ln 2≈0.693，精确到1年)(　　) A．265年 B．266年 C．276年 D．277年 (2)(2025·山东威海一模)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数，生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由d1变为d2，若N＝N，则＝(　　) A．log32 B． C．log23 D． [解析]　(1)令Q＝Q0e＝Q0可得e＝，可得－＝ln ＝－ln 2，所以t＝400ln 2≈277，故臭氧消失一半所需要的时间约为277年．故选D. (2)由题意得d2＝，d1＝， 由N＝N，可得N1＝N2， 所以＝·＝＝＝＝.故选D. [答案]　(1)D　(2)D 解决指数、对数运算实际应用问题的步骤 第一步：理解题意、理清条件与所求之间的关系； 第二步：运用指数或对数的运算公式、性质等进行运算，把题目条件转化为所求． 3．(2025·江苏海安、宿迁中学测试)在可观测的宇宙中，平均大约有4 000亿个星系，大约有1.2×1023颗恒星，平均而言，一颗恒星的重量约为1035克，这意味着宇宙的总质量约为1.2×1058克，每克物质含有大约1024个质子，如果我们假设所有的原子都是氢原子，因为氢原子只含有一个质子，那么氢原子的总数M将达到1082.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限N约为3361，则下列数据中与最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)(　　) A．10-71 B．10-81 C．10-91 D．1091 解析　由题得lg ＝lg ＝lg 1082－lg 3361≈82－361×0.48＝－91.28， 所以≈10-91.28，所以与最接近的是10-91.故选C. 答案　C 4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过1%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P＝P0·e－kt(k为正常数，P0为原污染物数量).若前5个小时废气中的污染物被过滤掉了90%，那么要能够按规定排放废气，至少还需要过滤(　　) A．小时 B．小时 C．5小时 D．小时 解析　由题意，前5个小时消除了90%的污染物， ∵P＝P0·e－kt，∴(1－90%)P0＝P0e-5k， ∴0.1＝e-5k，即－5k＝ln 0.1， ∴k＝－ln 0.1，则由1%P0＝P0e－kt，即ln 0.01＝×ln 0.1， ∴t＝10，即总共需要过滤10小时，污染物的残留含量才不超过1%， 又∵前面已经过滤了5小时，所以还需要过滤5小时．故本题选C. 答案　C 学科网（北京）股份有限公司 $