第2章 2.7 指数函数（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学讲义聚焦指数函数核心考点，涵盖概念、图象及性质，按“概念理解—图象特征—性质应用”逻辑架构知识体系，通过课标要求解读、考点梳理、方法指导（如微提醒、图象特点总结）、真题训练（判断正误、教材改编题、母题探究）等环节，帮助学生系统突破单调性、定点问题等难点。 讲义采用一题多变、多维探究策略，如母题探究中通过变条件深化图象应用理解，分层设计基础判断、能力提升、综合应用练习，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），助力学生在有限时间内高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

2．7　指数函数 【课标要求】 1．了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2．会画出具体指数函数的图象，理解指数函数的单调性与特殊点． [对应学生用书P40] 1．指数函数的概念 函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. 2．指数函数的图象和性质 a＞1 0＜a＜1 图象 a＞1 0＜a＜1 定义域 __R__ 值域 __(0，＋∞)__ 性质 过定点__(0，1)__，即x＝0时，y＝1 当x＞0时，__y＞1__；当x＜0时，__0＜y＜1__ 当x＜0时，__y＞1__；当x＞0时，__0＜y＜1__ 在(－∞，＋∞)上是__增函数__ 在(－∞，＋∞)上是__减函数__ [微提醒]　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象与性质跟a的取值有关，要特别注意分a＞1和0＜a＜1两种情况． 指数函数图象的特点 (1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象． (2)函数y＝ax与y＝(a＞0，且a≠1)的图象关于y轴对称． (3)在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． (4)指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象以x轴为渐近线；y＝ax＋b恒过定点(0，1＋b)，且以y＝b为渐近线． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数y＝3·2x与y＝2x+1都不是指数函数．(√) (2)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.(×) (3)若函数f(x)是指数函数，且f(1)＞1，则f(x)是增函数．(√) 2．(人A必修一P114例1改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图象经过点，则f(－1)＝(　　) A．1 B．2 C． D．3 解析　依题意可知a2＝，解得a＝，所以f(x)＝x，所以f(－1)＝-1＝.故选C. 答案　C 3．(人A必修一P119T6改编)已知a＝0.750.1，b＝1.012.7，c＝1.013.5，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b 解析　因为函数y＝1.01x在(－∞，＋∞)上是增函数，且3.5＞2.7，故1.013.5＞1.012.7＞1＞0.750.1，即c＞b＞a.故选C. 答案　C 4．函数f(x)＝的单调递减区间是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析　设u＝|x－2|，则y＝u，则y是减函数，u在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数，则根据复合函数单调性“同增异减”的原则，可知f(x)的单调递减区间是[2，＋∞). 答案　B 5．函数y＝ax-1－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点____________． 解析　在函数y＝ax-1－1中，当x＝1时，恒有y＝0，即函数y＝ax-1－1的图象恒过点(1，0). 答案　(1，0) [对应学生用书P41] 考点一　指数函数的图象及应用 一题多变　母题探究 (1)已知0＜a＜1，b＜－1，则函数y＝ax＋b的图象必定不经过(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则实数k的取值范围为____________． [解析]　(1)因为0＜a＜1，所以y＝ax的图象经过第一、第二象限，且当x越来越大时，图象与x轴无限接近．又b＜－1，所以y＝ax的图象向下平移超过一个单位长度得到y＝ax＋b的图象，故y＝ax＋b的图象不经过第一象限．故选A. (2)函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以实数k的取值范围为(－∞，0]. [答案]　(1)A　(2)(－∞，0] 1．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|的图象与直线y＝m有两个不同交点，则实数m的取值范围是____________． 解析　曲线y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果曲线y＝|3x－1|与直线y＝m有两个交点，则m的取值范围是(0，1). 答案　(0，1) 2．(变条件)若本例(2)的条件变为：函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是____________． 解析　作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示．由图象知m≤－1，即m的取值范围为(－∞，－1]. 答案　(－∞，－1] 指数函数的图象及其应用策略 (1)已知函数解析式判断其图象时，可通过图象经过的定点和特殊点来进行分析判断． (2)进行图象识别与应用时，可从基本的指数函数图象入手，通过平移、伸缩、对称等变换得到相关函数的图象． (3)根据指数函数图象判断底数的大小问题，可通过直线x＝1与图象的交点进行判断． 1．(多选)已知实数a，b满足等式2 024a＝2 025b，则下列关系式可能成立的是(　　) A．0＜b＜a B．a＜b＜0 C．0＜a＜b D．a＝b 解析　如图，观察易知，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0，故选ABD. 答案　ABD 2．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b的取值范围是____________． 解析　作出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b，如图所示，由图象可得，要想曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则实数b应满足的条件是b∈[－1，1]. 答案　[－1，1] 考点二　指数函数的性质及应用 多维探究　发散思维 角度1　比较指数式的大小 (1)若a＝1.50.8，b＝1.50.7，c＝0.90.7，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b (2)若ea＋πb≥e－b＋π－a，下列结论一定成立的是(　　) A．a＋b≤0 B．a－b≥0 C．a－b≤0 D．a＋b≥0 [解析]　(1)由y＝1.5x在R上单调递增，则a＝1.50.8＞1.50.7＝b，由y＝x0.7在[0，＋∞)上单调递增，则b＝1.50.7＞0.90.7＝c，所以a＞b＞c，故选B. (2)因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb①，令f(x)＝ex－π－x，则f(x)是R上的增函数，①式即为f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0.故选D. [答案]　(1)B　(2)D 比较指数式大小的方法 (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小． (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小． 角度2　解简单的指数方程或不等式 (1)若，则函数y＝2x的值域是(　　) A． B． C． D．[2，＋∞) (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为____________． [解析]　(1)x-2＝(2-2)x-2＝2-2x+4，所以≤2-2x+4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，所以－3≤x≤1，此时y＝2x的值域为[2-3，21]，即为.故选B. (2)当a＜1时，41-a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为. [答案]　(1)B　(2) 指数方程或不等式的解法 (1)解指数方程或不等式的依据： ①af(x)＝ag(x)⇔f(x)＝g(x)； ②af(x)＞ag(x)，当a＞1时，等价于f(x)＞g(x)；当0＜a＜1时，等价于f(x)＜g(x). (2)解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般方程或不等式求解． 3．(多选)下列各式正确的是(　　) A．1.72.5＞1.73 B．＞2－ C．1.70.3＞0.93.1 D．＜ 解析　因为y＝1.7x为增函数，所以1.72.5＜1.73，故A不正确；＝2－，y＝2x为增函数，所以2＞2，故B正确；因为1.70.3＞1，0.93.1∈(0，1)，所以1.70.3＞0.93.1，故C正确；因为y＝x为减函数，所以＜.又y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以＜，所以＜＜，故D正确．故选BCD. 答案　BCD 4．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是____________． 解析　当a＜0时，原不等式化为a－7＜1，则2－a＜8，解得a＞－3，所以－3＜a＜0.当a≥0时，则＜1，解得a＜1，所以0≤a＜1.综上，实数a的取值范围是(－3，1). 答案　(－3，1) 考点三　指数型函数的综合应用 重难考点　师生共研 设a∈R，函数f(x)＝. (1)求a的值，使得y＝f(x)为奇函数； (2)若f(x)关于点(0，2)中心对称，求a的值； (3)若f(2)＝a，求满足f(x)＞a的实数x的取值范围； (4)在(1)的条件下，若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f＜0恒成立，求实数k的取值范围． [解析]　(1)由f(x)为奇函数，可知f(－1)＝－f(1)， 即－(1＋2a)＝－(2＋a)，解得a＝1， 当a＝1时，f(x)＝(x≠0)，f(－x)＝＝＝－f(x)对一切非零实数x恒成立， 故a＝1时，y＝f(x)为奇函数． (2)由f(x)关于点(0，2)中心对称， 得f(x)＋f(－x)＝4， 所以＋＝4，即＝4，解得a＝－3. (3)由f(2)＝a，可得＝a，解得a＝2， 所以f(x)＞a⇔＞2⇔＜0⇔1＜2x＜4， 解得0＜x＜2，所以满足f(x)＞a的实数x的取值范围是(0，2). (4)由(1)知f(x)＝＝1＋是减函数， 因为f(x)是奇函数，且f＋f＜0， 所以f＜－f＝f， 所以t2－2t＞k－t2恒成立， 即k＜min，又2t2－2t＝22－≥－，所以k＜－. 所以实数k的取值范围为. 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断． 5．函数的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 解析　由－x2＋x＋1≥0得≤x≤， 所以f(x)的定义域为.因为y＝－x2＋x＋1在上单调递增，在上单调递减，所以t＝在上单调递增，在上单调递减，又y＝t在R上单调递减，所以的单调递增区间为.故选C. 答案　C 6．已知函数f(x)＝4x－2x+1＋4，x∈[－1，1]，则函数y＝f(x)的值域为(　　) A．[3，＋∞) B．[3，4] C． D． 解析　f(x)＝(2x)2－2×2x＋4，x∈[－1，1]，令2x＝t，则t＝2x在[－1，1]上单调递增，即≤t≤2，所以y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，当t＝1时，ymin＝3，此时x＝0，f(x)min＝3；当t＝2时，ymax＝4，此时x＝1，f(x)max＝4，所以函数y＝f(x)的值域为[3，4].故选B. 答案　B 学科网（北京）股份有限公司 $