第四章 指数函数与对数函数暑假单元测试-2026年新高一数学暑假衔接进阶讲义（人教A版2019）

该高中数学单元复习讲义通过知识框架图系统梳理指数函数与对数函数的核心内容，涵盖定义域、单调性、奇偶性等概念及应用，用对比表格归纳易混性质，清晰呈现知识内在逻辑与重难点分布。 练习设计注重分层与创新，包含基础单选（如定义域求解）、综合多选（如函数性质判断）及递进解答题（如含参不等式求解），结合航天喷流速度实际情境题培养数学眼光，通过零点个数问题训练数学思维，助力不同层次学生巩固提升，为教师精准教学提供有效支持。

第四章 指数函数与对数函数暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 6．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 7．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，这标志着我国航天技术实现了新的突破．已知某型运载火箭在理想状态下的喷流相对速度（单位：m/s），则的近似值为（    ）（参考数据：，） A．1200m/s B．1500m/s C．1800m/s D．2100m/s 8．已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的图象（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 10．已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 11．利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算：_____________． 13．已知函数在区间（）内存在零点，则______． 14．已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）计算：． （2）计算： . （3）已知，求的值． 16．（15分） 已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 17．（15分） 已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 18．（17分） 已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 19．（17分） 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)求证：函数不存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数暑假单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若代数式有意义，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 2．下列函数中，既是奇函数又是增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，为非奇非偶函数，不符合题意； 对于B，的定义域为R，且为偶函数， 不符合题意； 对于C，设，定义域为R，满足， 故函数为奇函数； 当时，在上单调递减，且， 当时，在上单调递减，且， 故在R上单调递减，不符合题意； 对于D，设，定义域为R，且满足， 故为奇函数； 又在R上单调递增，在R上单调递减， 故在R上单调递增，D正确， 3．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，解得，故函数的定义域为. 4．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为幂函数在上单调递增， 所以，即， 又因为对数函数在上单调递减， 所以，即，所以. 5．已知函数（且）的图象经过点.则函数的最大值是（    ）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】由已知得，解得，则在R上是减函数， 因为，所以，所以，即函数的最大值为3. 6．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 7．2025年10月31日，搭载神舟二十一号载人飞船的运载火箭在酒泉卫星发射中心成功发射，这标志着我国航天技术实现了新的突破．已知某型运载火箭在理想状态下的喷流相对速度（单位：m/s），则的近似值为（    ）（参考数据：，） A．1200m/s B．1500m/s C．1800m/s D．2100m/s 【答案】C 【解析】（m/s）． 8．已知函数，若的零点个数为3，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得到，令，因为的零点个数为， 则与的图象有个交点， 当时，，易知在区间上单调递增，又时，，且，所以当时，， 当时，，作出的图象，其图象如图所示， 由图知，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．函数的图象（   ） A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】AC 【解析】因为函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， 所以， 所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误； 因为函数和函数在上均为增函数， 所以在上单调递增，故C正确，D错误. 10．已知函数定义域为R，则的值可能为（   ） A．5 B．0 C．8 D．6 【答案】ACD 【解析】因为函数定义域为R， 所以对恒成立， 若，则对不恒成立，故不符合题意； 若，则，解得， 所以的取值范围为. 11．利用算子以及常数可以组合出四则运算与一切初等函数．已知，设，．对于使得下列等式两边均有意义的实数，，始终成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】选项A，由题意知右式为，展开得，化简得， 即左式等于右式，故A正确； 选项B，右式为，展开得，即，化简得， 即，不一定等于左式，故B错误； 选项C，右式为，展开得，即，化简得， 即，即左式等于右式，故C正确； 选项D，右式中最内层等于即，中间层等于， 即，则最外层等于，展开得，即，不一定等于左式，故D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算：_____________． 【答案】17 【解析】原式为， 其中，， ，， 即. 13．已知函数在区间（）内存在零点，则______． 【答案】 【解析】在定义域上为增函数， 且，， 所以函数唯一的零点在内，即． 14．已知函数在上有最小值，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】因为在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 所以当时，， 当时，， 若，则时，， 要使在上有最小值，则； 若，则时，，而 此时在上有最小值，符合题意， 综上所述的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1）计算：． （2）计算： . （3）已知，求的值． 【解析】（1） . （2） . （3）由 得 ，； 由 得 ，， 故 . 16．（15分） 已知函数， (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)求函数的单调区间． 【解析】（1）令，等价于，解得， 所以函数的定义域为. （2）函数为奇函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 且，即， 所以函数为奇函数. （3）由题意可得：， 因为在定义域内单调递增，且在区间内单调递减， 则函数在定义域内单调递减， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 17．（15分） 已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)解关于的不等式. 【解析】（1）因为是奇函数，定义域为，由奇函数性质， 代入得， 验证可得，满足奇函数定义，故. （2）已知，可知是上的增函数. 当时，的最小值为. 对任意，存在使， 等价于在上的最小值大于等于在上的最小值. 令，，则， ，是开口向上的二次函数，对称轴， 则最小值为， 令，即实数的取值范围为. （3）由（1）知，是定义域为的奇函数，得，因此. 将代入得，已知对任意，都有， 不等式两边同乘正数，整理得，对系数分类讨论： ①：若，不等式变为，恒成立； 若 ，，不等式变形为，此时右边，而恒成立，不等式恒成立. 因此，当时，解集为. ②：此时，不等式变形为，由于， 因此右边，而恒成立，不等式无解 因此，当时，解集为空集. ③：此时，不等式变形为，此时， 对不等式两边以3为底取对数得. 因此，当时，解集为. 综上，当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为. 18．（17分） 已知函数是偶函数． (1)求实数的值； (2)若函数存在零点，求实数的取值范围； (3)设函数，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为是偶函数，所以对任意恒成立，                     即，                                               因为， 即，                                           所以对任意恒成立，                                                   解得； （2）由（1）得：， 所以，                                                     因为函数存在零点，所以， 即方程有解，                                                 令，                             因为，所以的取值范围为， 则的值域为，故实数a的取值范围是； （3）函数与的图象有且只有一个公共点， 即方程有且只有一个解， 化简得：， 即；                                                           令，则方程可化为，且方程有且只有一个正根，     ①当，即时，方程可化为， 解得，不合题意，舍去；                                               ②当时，则方程为关于的一元二次方程. （i）若方程有两个相等的正根， 则由，解得， 此时方程为,方程的根为,不合题意，舍去，                              （ii）若方程有一个正根和一个负根， 则由且，解得，                 综上所述，实数b的取值范围是． 19．（17分） 对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)求证：函数不存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 【解析】（1）由题意，，则，因此： ， 取计算得： ， 不满足，因此函数不存在“函数” （2）因为是定义域为的奇函数，故，因此， 且，即是偶函数. 充分性：若（，非常值），此时，为常数函数， 对任意、，当时，总有，满足， 必要性：若存在“函数”即在上单调不减， 由是奇函数得：，即是偶函数， 若不为常数函数，对任意两个正数，则， 但此时，，不满足“函数”的定义. 因此恒为常数，此时. 综上，原命题得证. （3）对，，因此： ， 对，，因此： ， 因为都存在“函数”，故单调不减，也单调不减， 即单调不减，等价于单调不增，既单调不减又单调不增，故为常数， 即： （C为常数）， 指数函数恒等于一次函数+常数，仅当指数项系数为0，即. 验证：时，（常数），（常数），均满足“函数”定义， 故. 第2页，共11页 第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $