精品解析：山东省威海乳山市（五四制）2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

初二数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列命题为真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 一条直线有无数条平行线 C. 两点之间，垂线最短 D. 在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段 2. 下列说法正确的是（ ） A. 不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C. 买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D. 如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 3. 如图，将含有角的三角尺的两个顶点叠放在长方形的两条对边上．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ） A. 80° B. 82° C. 84° D. 86° 8. 关于x的不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线交于点G．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 如图，，，则等于____． 12. 在一个不透明袋子中装有3个红球和2个蓝球，它们除颜色外其它都相同．要使摸到红球的概率为，则需再向袋子中加入_____个红球． 13. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数为______． 14. 如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组的解集为______． 15. 如图，在大长方形内部放置了8个形状、大小都完全相同的小长方形．根据图中的信息，可求得的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 解答下列各题． （1）求直线与的交点坐标； （2）解不等式组：． 17. 已知甲布袋中装有4个红球，5个白球；乙布袋中装有3个红球，若干个白球．这些小球除颜色外都完全相同． （1）若从乙布袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，求乙布袋中白球的数量； （2）若小明和小强一起做游戏，他们将甲布袋的球全部倒入乙布袋中，从中随机摸出一个球．若摸到红球，则小明获胜；若摸到白球，则小强获胜．要使游戏公平，求原来乙布袋中有多少个白球． 18. 如图，在中，是的平分线，，垂足为D．写出，间的数量关系，并写出理由． 19. 对于一次函数，若x的取值范围是，则y的取值范围是．求该一次函数的表达式． 20. 如图，点D在的边的延长线上，平分，且，点F是的中点，交于点G．若，求的周长． 21. 我校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣一分，不答记0分． （1）某同学只有一道题未作答，最后满分86分，则该生一共答对多少题？ （2）若规定参赛者每题必须作答，得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？ 22. 研究性学习 【探究发现】 （1）如图1，对于定角（即大小确定）， 分别在边上截取，…， 可得…．（表示三角形的周长） 归纳可得结论：对于顶角确定的等腰三角形，若其腰长 越小，则三角形的周长越 ．（填“大”或“小”） 【问题解决】 （2）如图2，在锐角中，点M是边上一动点，点M关于的对称点分别是，连接． ①求证：； ②连接，交于点N，P．求证：； ③在②的条件下，若有最小值，则点M需满足的条件是 ．（在横线上填写字母代号） A． B． C． D．或 23. 综合探究 【基本模型】 （1）如图①，由，可得间的数量关系是 ； （2）如图②，可得间的数量关系是 ； （直接写结论，不用证明） 【模型拓广】 （3）如图③，，分别平分．写出与间的数量关系，并证明你的结论； （4）如图④，，分别平分．写出间的数量关系，并证明你的结论； （5）如图⑤，分别平分．写出间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 亲爱的同学： 你好！答题前，请仔细阅读以下说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部．第Ⅰ卷为选择题，第Ⅱ卷为非选择题，考试时间120分钟． 2．不允许使用计算器． 3．本次考试另设10分卷面分． 希望你能愉快地度过这120分钟，祝你成功！ 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分） 1. 下列命题为真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 一条直线有无数条平行线 C. 两点之间，垂线最短 D. 在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质、定义及线段公理逐一判断即可求解． 【详解】解：、只有两直线平行时同位角才相等，原命题缺少前提条件，故该命题是假命题，不符合题意； 、过直线外任意一点都可画出一条该直线的平行线，故一条直线有无数条平行线，该命题 是真命题，符合题意； 、两点之间，线段最短，该命题是假命题，不符合题意； 、同一平面内 两条不相交的直线才是平行线， 两条不相交的线段延长后可能相交，不一定平行，故该命题是假命题，不符合题意． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 不太可能发生的事，可以看作不可能事件 B. 投掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数为质数的概率是 C. 买一张彩票的中奖概率为，说明买一张彩票中奖的可能性很小 D. 如果摸到红球的概率是，那么摸球5次，一定有2次会摸到红球 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A，∵不太可能发生的事是概率很小的随机事件，不可能事件是一定不发生的事件，二者概念不同，∴A错误． 对于选项B，∵投掷质地均匀的骰子共6种等可能结果，点数中质数为2，3，5共3种，∴掷出点数为质数的概率为，∴B错误． 对于选项C，∵中奖概率为，概率值很小，说明中奖的可能性很小，符合概率的意义，∴C正确． 对于选项D，∵概率表示事件发生的可能性大小，不代表多次试验中一定会发生对应次数，∴摸5次不一定有2次摸到红球，∴D错误． 3. 如图，将含有角的三角尺的两个顶点叠放在长方形的两条对边上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图（见解析），先得出，，，再求出的度数，进而可得的度数，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 已知点M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，点M关于x轴对称的点的坐标为：（1﹣2m，1﹣m）， 又∵M（1﹣2m，m﹣1）关于x轴的对称点在第一象限， ∴， 解得：， 在数轴上表示为：． 故选A． 5. 一个小球在如图水平放置的方格地砖上任意滚动，会随机停在某块地砖上（停留在边界线需重新滚动）．每块地砖的大小、质地都完全相同．小球停在灰色区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设每个灰色小三角形的面积为，表示出相关图形的面积，最后利用简单概率公式求解． 【详解】解：设每个灰色小三角形的面积为，灰色区域的面积为，则每个小正方形的面积为，大正方形的面积为， ∴小球停在灰色区域的概率是． 6. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，将k看作已知数求出x与y，代入中计算即可得到k的值． 【详解】解：， ①②得：， ， 将代入①得：， ， ， 关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ， 解得：． 故选：． 7. 如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝105°，则∠DAC的度数为（ ） A. 80° B. 82° C. 84° D. 86° 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理和三角形的外角性质即可解决． 【详解】解：∵∠BAC＝105°， ∴∠2＋∠3＝75°① ∵∠1＝∠2， ∴∠4＝∠3＝∠1＋∠2＝2∠2② 把②代入①得：3∠2＝75°， ∴∠2＝25°． ∴∠DAC＝105°−25°＝80°． 故选A． 【点睛】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟记三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解题的关键． 8. 关于x的不等式组的整数解有4个，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，得到不等式组的整体解集，再根据整数解的个数确定参数的取值范围，即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有整数解，即不等式组有解， ∴该不等式组的解集为， ∵关于x的不等式组的整数解有4个， ∴该不等式组的整数解为， ∴． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径画弧，交于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点F；③作射线交于点G．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据尺规作图得出角平分线，再根据等边对等角得出，最后利用三角形内角和以及外角定理求解． 【详解】解：根据尺规作图可得平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 10. 如图，在中，边，的垂直平分线相交于点P，连接，，．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得出，再得出，，然后根据三角形的内角和定理逐个判断即可． 【详解】解：∵在中，边，的垂直平分线相交于点， ∴，则选项D正确； ∴，， ∴， ∴， ∴，则选项A错误； 同理可得：，则选项B正确； ∵在中，， ∴， ∴，则选项C正确． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，只要求填出最后结果） 11. 如图，，，则等于____． 【答案】##度 【解析】 【分析】如图所示，过的顶点A作，则，利用平行线的性质得到，，进而求出，则． 【详解】解：如图所示，过的顶点A作，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12. 在一个不透明袋子中装有3个红球和2个蓝球，它们除颜色外其它都相同．要使摸到红球的概率为，则需再向袋子中加入_____个红球． 【答案】1 【解析】 【分析】求出此时摸到蓝球的概率，进而求出总球数，即可得到答案． 【详解】解：要使摸到红球的概率为，则摸到蓝球的概率为， ∵有2个蓝球， ∴总球数， ∴需再向袋子中加入个红球． 13. 借助如图所示的“三等分角仪”能三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒、组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，得到，最后根据三角形外角的性质定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 14. 如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过点的坐标求出，得出点，利用待定系数法求出，得出直线与轴的交点坐标为，最后结合函数图象以及交点坐标可得不等式解集． 【详解】解：将点代入得， ， 解得或， ∵的图象，随的增大而增大， ∴， ∴， ∴点， 将点和点代入得， ，解得， ∴， 当时，， 解得， ∴直线与轴的交点坐标为， 结合函数图象以及交点坐标可得， 当时，． 15. 如图，在大长方形内部放置了8个形状、大小都完全相同的小长方形．根据图中的信息，可求得的长为______． 【答案】14 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据图形可得， 解得， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，写出必要的运算、推理过程） 16. 解答下列各题． （1）求直线与的交点坐标； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）联立解析式求解； （2）利用解不等式组的步骤进行求解． 【小问1详解】 解：由， 得， 所以，交点坐标为； 【小问2详解】 解： 解不等式①可得． 解不等式②可得． 所以，不等式组的解集为． 17. 已知甲布袋中装有4个红球，5个白球；乙布袋中装有3个红球，若干个白球．这些小球除颜色外都完全相同． （1）若从乙布袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率为，求乙布袋中白球的数量； （2）若小明和小强一起做游戏，他们将甲布袋的球全部倒入乙布袋中，从中随机摸出一个球．若摸到红球，则小明获胜；若摸到白球，则小强获胜．要使游戏公平，求原来乙布袋中有多少个白球． 【答案】（1）乙布袋中有6个白球 （2）乙布袋中有2个白球 【解析】 【分析】（1）设乙布袋中有x个白球，根据简单概率公式列出方程求解； （2）设乙布袋中有y个白球，根据游戏的公平性列出方程求解． 【小问1详解】 解：设乙布袋中有x个白球，由题意得 ． 解得， 经检验，当时，，是原分式方程的解， 所以，乙布袋中有6个白球； 【小问2详解】 解：设乙布袋中有y个白球，由题意得 ． 解得． 所以，乙布袋中有2个白球． 18. 如图，在中，是的平分线，，垂足为D．写出，间的数量关系，并写出理由． 【答案】 如图所示，延长交于点． ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴ 【解析】 【分析】延长交于点，证明，得出相等的角，然后利用三角形外角定理得出结论． 【详解】解：略． 19. 对于一次函数，若x的取值范围是，则y的取值范围是．求该一次函数的表达式． 【答案】一次函数的表达式为或 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，分两种情况进行讨论，利用待定系数法求解． 【详解】解：将点，代入得， ， 解得， 所以，一次函数的表达式为； 将点，代入得， ， 解得， 所以，一次函数的表达式为； 综上，一次函数的表达式为或． 20. 如图，点D在的边的延长线上，平分，且，点F是的中点，交于点G．若，求的周长． 【答案】的周长为32 【解析】 【分析】根据平行线以及角平分线得出相等的角，根据等角对等边得出，证明得出，最后利用线段的和差进行求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∴． ∵点F是的中点， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴的周长为． 21. 我校举行数学竞赛，一共有25道题，满分100分，每答对一题得4分，答错扣一分，不答记0分． （1）某同学只有一道题未作答，最后满分86分，则该生一共答对多少题？ （2）若规定参赛者每题必须作答，得分大于或等于90分，才可以评为一等奖，则参赛者至少答对多少题才能获评一等奖？ 【答案】（1）答对22题 （2）至少答对23题 【解析】 【分析】（1）设答对题，则错误为题．根据最后满分86分列方程，解方程即可； （2）设答对题，错误则为题，根据得分大于或等于90分，列出不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 设答对题，则错误为题． 依题意， 解得，， 即该生一共答对题； 【小问2详解】 设答对题，错误则为题， 解之， 即参赛者至少答对题才能获评一等奖． 【点睛】此题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意是解题的关键． 22. 研究性学习 【探究发现】 （1）如图1，对于定角（即大小确定）， 分别在边上截取，…， 可得…．（表示三角形的周长） 归纳可得结论：对于顶角确定的等腰三角形，若其腰长 越小，则三角形的周长越 ．（填“大”或“小”） 【问题解决】 （2）如图2，在锐角中，点M是边上一动点，点M关于的对称点分别是，连接． ①求证：； ②连接，交于点N，P．求证：； ③在②的条件下，若有最小值，则点M需满足的条件是 ．（在横线上填写字母代号） A． B． C． D．或 【答案】（1）小 （2）①如图所示，连接． ∵点M关于的对称点分别是， ∴垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， 根据三线合一可得， ∴， ∴； ②由①得垂直平分线段，垂直平分线段， ∴， ∴， 即； ③C 【解析】 【分析】（1）根据三角形的边长求解； （2）①连接，得出垂直平分线段，垂直平分线段，根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质进行证明； ②根据线段垂直平分线的性质进行证明； ③根据等腰三角形的性质以及垂线段最短进行求解． 【小问1详解】 解：对于顶角确定的等腰三角形，若其腰长越小，则三角形的周长越小； 【小问2详解】 解：①略； ②略； ③由①得，且为定角， ∴在等腰中，当腰值最小时，最小，即值最小， 根据垂线段最短可得，当时，的值最小，即的值最小， ∴当时，值最小． 23. 综合探究 【基本模型】 （1）如图①，由，可得间的数量关系是 ； （2）如图②，可得间的数量关系是 ； （直接写结论，不用证明） 【模型拓广】 （3）如图③，，分别平分．写出与间的数量关系，并证明你的结论； （4）如图④，，分别平分．写出间的数量关系，并证明你的结论； （5）如图⑤，分别平分．写出间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3），证明如下： ∵， ∴同（1）可得， ∵分别平分， ∴， 即， ∵， ∴同（1）可得． ∴； （4），证明如下： 如图所示，过点E作． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵分别平分， ∴，， ∴； （5），证明如下： 如图所示，延长交于点G． ∵分别平分， ∴， ∴， ∴． ∴， 同（2）可得， ∴． ∴． 整理，得． 【解析】 【分析】（1）过点作，得出，然后根据平行线的性质得出相等的角即可； （2）延长交于点，利用三角形的外角定理求解； （3）利用平行线的性质得出角之间的数量关系，根据角平分线的定义得出角之间的倍数关系，然后进行求解证明； （4）过点E作，根据平行线的性质得出相等的角，根据角平分线的性质得出角之间的数量关系，然后根据角的和差进行求解证明； （5）延长交于点G，根据角平分线的定义得出角之间的数量关系，根据三角形的外角定理得出，得出，然后利用角的和差进行求解证明． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点， ∴， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：略； 【小问4详解】 解：略； 【小问5详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $