1.2 从立体图形到平面图形 讲义 -2026-2027学年北师大版七年级上册数学

本初中数学讲义聚焦“从立体图形到平面图形”核心知识点，系统梳理正方体表面展开图的11种类型（一四一型等四类）、棱柱/圆柱/圆锥的表面展开图特征、几何体截面形状及从三个方向看物体的形状，构建立体与平面转化的完整知识链，为学生提供递进式学习支架。 资料以“知识梳理+达标检测”为特色，通过分类归纳（如正方体展开图分类）和多样题型（如正方体展开图顶点关系判断、由视图确定立方块个数），培养学生空间观念与几何直观。课中辅助教师构建知识体系，课后助力学生通过检测查漏补缺，强化知识应用与推理意识。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 从立体图形到平面图形（知识梳理+达标检测） 知识点一正方体的表面展开图 1、正方体是特殊的四棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种：二三一型有3种：三三型有1种：二二二型有1种。 知识点二棱柱的表里面展开图 1、棱柱是由两个大小相同的多边形和一些平行四边形围成的，沿棱柱表面不同的棱剪开，可得到不同组合方式的表面展开图。 知识点三圆柱、圆锥的表面展开图 1、圆柱的表面展开图。 由两个大小相同的圆（底面）和一个矩形（侧面）组成，期中矩形的一边长等于底面圆的周长，另一边的长等于圆柱的高。 2、圆锥的表面展开图。 由一个扇形（侧面）和一个圆（底面）组成。 知识点四几种常见几何体的截面形状 1、截面。 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。 2、截面形状。 通常为三角形、正方形、长方形、梯形、圆等，截面的形状既与被截的几何体有关，也与截面的角度和方向有关。 知识点五从三个方向看物体的形状 1、一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如下图） 2、画从三个方向看到的形状图 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法： （1）确定从三个方向看到的组合体的行数或列数； （2）确定每行或每列中小正方形的个数； （3）根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图 3、由三个方向看到的形状图确定几何体 三个方向看到的形状图与上下、前后、左右之间的关系： （1）正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数. （2）左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数. （3）上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数. 一、选择题 1．在下面的几何图形中再添1个，从左面观察不可能看到（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出从左面看到没有添加小正方体的图形，再添加小正方体逐一判断即可． 【解答】解：从左面看到没有添加小正方体得到的图形为： ， 添1个小正方体后不可能看到： ． 2．一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，将正方体的表面展开图还原成几何体即可解答本题． 【解答】解：将正方体的表面展开图还原成几何体，如图， ①点与点重合，结论正确； ②与垂直，不是重合，故结论错误； ③，结论正确； ④连接，则是等边三角形，所以，即与的夹角是，故结论正确． 所以，正确的结论为①③④． 故选：B． 3．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了正方体和长方体的体积和表面展开图的面积， 如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x，得到，根据这两个长方体的体积之比为列式得到，，然后分别表示出两个长方体的表面展开图的面积求解即可． 【解答】解：如图所示，设分成的两个长方体的底面宽分别为a，b，原正方体的边长为x， ∴， ∵这两个长方体的体积之比为， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴长方体和的表面展开图的面积之比为． 故选：A． 4．如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【分析】本题考查长方体的展开图，长方体的容积． 由长方体的展开图，可知长方体的长，宽，高，代入长方体的容积公式计算即可． 【解答】解：根据长方体的展开图，可知长方体的高是，宽是，长是， 长方体的容积是， 故选：D． 5．数学课上，研究正方体的截面特征时，以下说法正确的是（　　） ①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与正方体其中的四个面都相交时，所得截面一定是正方形； ③用一个平面去截正方体，可能截出七边形； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条． A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体的应用，主要考查学生的观察图形的能力、空间想象能力和动手操作能力．根据用一个平面截正方体，从不同角度截取所得形状会不同，进而得出答案． 【解答】解：①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面，说法正确； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与四个平面相交时，所得的截面不一定是正方形，原来的说法是错误的； ③正方体不可能截出七边形，原来的说法是错误的； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条，说法正确． 故选：C． 6．如图，5个边长为1的立方体摆在桌子上，则露在表面（不含底面）的部分的面积为（   ） A．13 B．16 C．20 D．23 【答案】B 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，将最上面的小正方体平移到一边，根据从不同方向观察几何体得出上面看到个面，从正面看到个面，从左侧看到个面，即可求解． 【解答】解：将最上面的小正方体平移到一边，则从上面看到个面，从正面看到个面，从左侧看到个面， ∵立方体的边长为 ∴露在表面的部分的面积为 故选：B． 二、填空题 7．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，从不同方向看几何体，熟练掌握正方体的展开图特点是解题关键． 先根据图1可得数字1所在面的相对面上的数字是5，数字4所在面的相对面上的数字是2，则可得数字6所在面的相对面上的数字是3，再根据图2可得标有的面与标有数字2的面是相对面，由此即可得解． 【解答】解：由图1可知，与标有数字1的面相邻的面上的数字有， ∴数字1所在面的相对面上的数字是5， 同理可得：数字4所在面的相对面上的数字是2， ∴数字6所在面的相对面上的数字是3， 由图2可知，标有的面与标有数字2的面是相对面， ∴． 故答案为：． 8．七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 【答案】2.5 【分析】本题主要考查七巧板各个图形面积之间的关系，熟练掌握七巧板各个图形之间的关系是解题的关键． 根据七巧板的面积为8，得知七巧板分割成的大三角形的面积为2，小三角形的面积为，即可计算阴影部分的面积． 【解答】解：如图，∵正方形的两条对角线分正方形为4等份， ∴三角形①面积等于七巧板面积的， ∴， ∵三角形②的面积等于三角形①的面积的， ∴三角形②的面积为：， ∴阴影的面积为：． 故答案为：2.5． 9．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 【答案】④ 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，熟练掌握正方体展开图的11种类型，是解题的关键． 根据正方体展开图的11种特征分析； 此展开图属于“141”结构，上、下面的“1”分成了两部分，上面两部分合成正方体的上面，下面两部分合成正方体的下面，带有红心的面与中间从左到右第二个正方形相对； 再看上面等腰三角的两边，当等腰三角形的顶点与我们相对时，红心居左面，即可以得出答案． 【解答】解：据分析可知，将平面展开图对应正方体的各个点进行标记出来，如图： 因此，可知标志在正方形上，图甲中的标志所在的正方形是正方体中的面④． 故答案为：④． 10．七年级学生设计了正方体礼盒弘扬“载人航天精神”．如图是该正方体礼盒的部分平面展开图，“神”字加在______号正方形中，可以使其构成完整的正方体展开图．（填出所有可能的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查正方体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解题的关键． 根据正方体表面展开图的特征即可得出答案． 【解答】解：根据正方体的展开图可知，“神”字可加在①或②或③号正方形中，使它们构成完整的正方体展开图， 故答案为：①②③． 11．下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是____________字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是____________平方厘米，体积是____________立方厘米．    【答案】“功” 96 64 【分析】此题考查了正方体展开图的特征、正方体表面积的计算、正方体体积的计算． 此图属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，“自”与“功”相对；根据正方体表面积计算公式“”、正方体体积计算公式“”即可计算出折成成的正方体的表面积、体积． 【解答】解：面是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是“功”字 （平方厘米） （立方厘米） 答：这个正方体的表面积是96平方厘米，体积是64立方厘米． 故答案为：“功”，96，64． 12．在综合实践课学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.甲、乙、丙三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形， 请将这三位同学所折成的无盖长方体的容积（）按从大到小的顺序排列：______． 【答案】 【分析】此题主要考查了展开图折叠成几何体，解题的关键是正确题意，然后根据题目的数量关系列出代数式解决问题．根据展开图分别求出每个同学的无盖长方体的容积，再比较大小即可． 【解答】解：由图1可得：盒子底面的正方形的边长为（厘米），高为（厘米），则甲所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， 由图2可得：盒子底面的正方形的边长为（厘米），高为（厘米），则乙所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， 由图3可得：盒子底面的长方形的边长为（厘米），（厘米），高为（厘米），则丙所折成的无盖长方体的容积为：（立方厘米）， ． 故答案为：． 三、解答题 13．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． （1）x，z 各表示多少？ （2）y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 【答案】（1） （2）y 可能是 1 或 2；最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成 【分析】（1）结合从正面看到的图形与上面看到的图形在每个位置上的个数，即可求解； （2）根据从正面看和从上面看得到的图形，相应位置的数据，求得的可能数，即可求解． 【解答】（1）解：由从正面看得到的图形，最右侧是1个，最左侧是3个， 根据从上面看得到的图形，可得，； （2）解：从正面看，中间一列最高有 2 个小立方块，由俯视图看，最后一列有 2 个小立方块， 所以中间可以是 1 个小立方块或2个小立方块，即或 ； 最少：， 最多：， 这个几何体最少由 11 个立方体搭成，最多由 12 个立方体搭成． 14．如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，请在下列网格中，画出这个几何体从三个方向看到的形状图． 【答案】见解析 【分析】根据立体图形，分别画出从正面看，从左面看，从上面看的图即可． 【解答】解：如图， 15．综合与实践： 在数学实践课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积底面积高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 【答案】任务1：；任务2：①见解析；② 【分析】本题考查长方体的容积，立体图形的展开图，掌握知识点是解题的关键． 任务1：根据长方体的容积公式计算即可； 任务2：①根据长方体的展开图解答即可； ②根据长方体的容积公式计算即可． 【解答】解：任务无盖长方体纸盒底面为正方形， 底面边长为，高为， 容积为， 答：无盖长方体纸盒的容积为． 任务2：①如图所示： ②新无盖长方体纸盒底面为正方形，边长为，高为， 容积为， 答：新无盖长方体纸盒的容积为． 16．如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： （1）如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． （2）如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． （3）如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 【答案】（1）D （2）D （3） 【分析】本题考查几何体的展开图，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． （1）根据长方体表面展开图的特征，即“相间、Z形是对面”进行判断即可； （2）根据各个面之间的相邻、相对关系进行判断即可； （3）根据长方体表面积的计算方法进行计算即可． 【解答】（1）解：由长方体表面展开图的“相间、Z形是对面”可知，“B”与“D”是对面，如果面B在长方体的上面，那么下面是D， 故答案为：D； （2）解：从上面看是面E，从前面看是C，那么右面是D； 故答案为：D； （3）解：由题意得，长方体的长为宽为，高为，所以这个长方体的表面积是， 答：这个长方体的表面积为． 17．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： （1）该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； （2）用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 （3）若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 【答案】（1）六棱柱，8 （2）①②③ （3） 【分析】本题考查了几何体，认识几何体的底面和侧面是解题的关键． （1）根据几何体的底面边数确定几何体的名称，再数出底面个数和侧面个数，相加即可； （2）要判断棱柱截面的形状，核心依据是：平面切割棱柱时，切到几个面，截面就是几边形；且截面边数最少为3（三角形），最多等于棱柱的总面数（侧面+2个底面）； （3）棱长总和=底面棱总长+侧棱总长，分别计算两类棱的长度和再求和． 【解答】（1）解：该几何体的名称是六棱柱，共8个面 故答案为：六棱柱，8； （2）解：用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是六边形、七边形，八边形，不可能是九边形； 故答案为:①②③； （3）解：若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边所需丝带的长为， ． 答:所需丝带的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 从立体图形到平面图形（知识梳理+达标检测） 知识点一正方体的表面展开图 1、正方体是特殊的四棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图，把它归为四类：一四一型有6种：二三一型有3种：三三型有1种：二二二型有1种。 知识点二棱柱的表里面展开图 1、棱柱是由两个大小相同的多边形和一些平行四边形围成的，沿棱柱表面不同的棱剪开，可得到不同组合方式的表面展开图。 知识点三圆柱、圆锥的表面展开图 1、圆柱的表面展开图。 由两个大小相同的圆（底面）和一个矩形（侧面）组成，期中矩形的一边长等于底面圆的周长，另一边的长等于圆柱的高。 2、圆锥的表面展开图。 由一个扇形（侧面）和一个圆（底面）组成。 知识点四几种常见几何体的截面形状 1、截面。 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。 2、截面形状。 通常为三角形、正方形、长方形、梯形、圆等，截面的形状既与被截的几何体有关，也与截面的角度和方向有关。 知识点五从三个方向看物体的形状 1、一般地，我们从正面、左面（或右面）和上面三个方向观察同一物体。（如下图） 2、画从三个方向看到的形状图 画从三个方向看小立方块的组合体的形状图的方法： （1）确定从三个方向看到的组合体的行数或列数； （2）确定每行或每列中小正方形的个数； （3）根据小正方形的个数及对应位置画出从三个方向看到的形状图 3、由三个方向看到的形状图确定几何体 三个方向看到的形状图与上下、前后、左右之间的关系： （1）正面的形状图：反映几何体的左右列数和每一列的上下层数. （2）左面的形状图：反映几何体的前后列数和每一列的上下层数. （3）上面的形状图：反映几何体的前后行数和每一行的左右列数. 一、选择题 1．在下面的几何图形中再添1个，从左面观察不可能看到（     ） A． B． C． D． 2．一个正方体的表面展开图如图所示．在这个正方体中，下列结论：①点与点重合；②与重合；③；④与的夹角是．其中所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 3．如图所示，某同学用透明的硅胶泥做成一个正方体．并用薄塑料刀竖直切割这个正方体，分成了左右两个长方体和，若这两个长方体的体积之比为，则长方体和的表面展开图的面积之比为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），则该无盖长方体的容积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．64 5．数学课上，研究正方体的截面特征时，以下说法正确的是（　　） ①用一个平面去截正方体，能得到三条边都相等的三角形截面； ②用一个平面去截正方体，当这个平面同时与正方体其中的四个面都相交时，所得截面一定是正方形； ③用一个平面去截正方体，可能截出七边形； ④用一个平面去截正方体，截面的边数最多有六条． A．①③ B．②③ C．①④ D．③④ 6．如图，5个边长为1的立方体摆在桌子上，则露在表面（不含底面）的部分的面积为（   ） A．13 B．16 C．20 D．23 二、填空题 7．一个正方体的六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，从三个不同的方向看到的情形如图1所示，图2为这个正方体的侧面展开图，则图中的表示的数字是________． 8．七巧板是我国古代劳动人民的发明，它是一种古老的传统智力游戏．如图②，是小明用七巧板图①拼出的“马到成功”图，若图①中的七巧板面积为8，则图②中阴影部分的面积和为___________． 9．将图甲围成图乙的正方体，则在面中，图1中的标志所在的正方形是正方体中的面_____．（填序号） 10．七年级学生设计了正方体礼盒弘扬“载人航天精神”．如图是该正方体礼盒的部分平面展开图，“神”字加在______号正方形中，可以使其构成完整的正方体展开图．（填出所有可能的序号） 11．下图是一个正方体的展开图，与“自”字相对的是____________字，如果折成的正方体棱长是4厘米，这个正方体的表面积是____________平方厘米，体积是____________立方厘米．    12．在综合实践课学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒.甲、乙、丙三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒． 甲：如图1，盒子底面的四边形是正方形 乙：如图2，盒子底面的四边形是正方形 丙：如图3，盒子底面的四边形是长方形， 请将这三位同学所折成的无盖长方体的容积（）按从大到小的顺序排列：______． 三、解答题 13．用小立方块搭一个几何体，使它从正面和从上面看的形状图如图所示．从上面看的形状图中，小方格中的字母表示该位置小立方块的个数，试回答下列问题． （1）x，z 各表示多少？ （2）y 可能是多少？这个几何体最少由几个小立方块搭成？最多呢？ 14．如图，一个几何体由5个大小相同的正方体搭成，请在下列网格中，画出这个几何体从三个方向看到的形状图． 15．综合与实践： 在数学实践课中，同学们围绕“用卡纸制作无盖纸盒”探究立体图形与平面图形的转化关系，老师提供了长方形和正方形卡纸，具体活动及任务如下： 活动一：用长、宽的长方形卡纸，按“图1展开图”样式裁剪（裁去阴影余料），沿虚线折成无盖长方体纸盒． 活动二：为了提高材料的利用率，在活动一的基础上，将图1中的阴影余料裁剪下来拼接在图2上，使其能再折成一个新无盖长方体纸盒． 任务1：计算活动一制作的无盖长方体纸盒的容积（容积底面积高）． 任务2：①在图2中补齐活动二拼接后的展开图； ②计算这个新无盖长方体纸盒的容积． 16．如图，这是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母（注：标有字母的面向外），请根据要求回答问题： （1）如果面B在长方体的上面，那么下面是面______． （2）如果从上面看是面E，从前面看是面C，那么从右面看是面______． （3）如果A面的长为、宽为，D面的宽为，那么这个长方体的表面积是多少？ 17．某公司生产一种仿蜂巢形状的直立式储物箱，框架如图所示，它是一种常见的几何体，底面边长都是，侧面棱长是，观察这个框架，解答下列问题： （1）该几何体的名称是_______棱柱，共有_______个面； （2）用一个平面去截这个几何体，截面形状可能是_______；（填序号） ①六边形；②七边形；③八边形；④九边形 （3）若用丝带给这个几何体的每条棱上都缠上边，所需丝带的长度是多少厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $