2.1 认识有理数 讲义-2026-2027学年北师大版七年级上册数学

本讲义聚焦“认识有理数”核心知识点，系统梳理用正数负数表示相反意义的量、正数负数概念、有理数分类、数轴、相反数及绝对值。从实际意义引入，定义概念后分类整合，借助数轴工具深化理解，最终掌握相反数与绝对值性质，构建有理数认知的完整学习支架。 该资料亮点在于知识逻辑递进且检测题型多样，结合温度、足球质量等生活情境题。通过实例培养数学眼光（抽象能力、符号意识），分类推导发展数学思维（推理能力），实际应用提升数学语言表达（应用意识）。课中辅助教师系统授课，课后帮助学生巩固查漏，强化知识应用。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.1 认识有理数（知识梳理+达标检测） 知识点一用正数、负数表示具有相反意义的量 1、具有相反意义的量。 分别由具有相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量。 2、用正数、负数表示具有相反意义的量。 为了表示具有相反意义的量，我们可以把期中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。 3、具有相反意义的词。 如“零上和零下”“收入和支出”“增加和减少”“升高和降低”。 知识点二正数和负数的概念 1、正数：大于0的数叫做正数。 2、负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 3、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 知识点三有理数及其分类 1、概念。 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 2、分类。 知识点四数轴 1、概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度。 2、对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3、应用：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 知识点五相反数 1、概念：只有符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别的0的相反数是0。 2、性质：若a与b互为相反数，则a+b=0，即α=-b；反之，若a+b=0，则a与b互为相反数。 3、多重符号的化简：（1）两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数；（2）多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数。 知识点六绝对值 1、概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值。 2、代数意义：（1）正数的绝对值是它的本身（若｜a｜=｜b｜，则a=b或α=-b）；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0。 3、代数符号意义：（1）a>0，｜a｜=a，反之，｜a｜=a，则 a≥0；｜a｜= - a，则 a≤0；（2）a=0，｜a｜=0：③a<0，｜a｜=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4、性质：绝对值是a（a>0）的数有2个，他们互为相反数.即±a。 5、非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即｜a｜>0，几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。 6、利用绝对值比较大小 正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 一、选择题 1．在，0，，，2五个数中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题根据负数的定义，即小于0的数是负数，逐个判断给出的数，统计负数的个数即可得到答案． 【解答】解：根据负数的定义：小于0的数是负数. 是负数，既不是正数也不是负数， 是负数， 是正数， 是正数． ∴ 负数共有个． 因此答案选B． 2．刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】正负数可用来表示一对相反意义的量，根据题目给定的规则即可直接得出结果． 【解答】解：∵盈利与亏损是相反意义的量，规定盈利元记作元， ∴亏损元应记作元． 3．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解答】解：① 不是最小的整数，∵负整数比小，不存在最小的整数，∴①错误； ② 非负数包含正数和，因此非负数不只是正数，∴②错误； ③ 是无限不循环小数，不属于有理数，∴③错误； ④ 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，该说法正确； 综上，错误的说法共有个． 4．如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】一般地，数轴上左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小． 【解答】解：∵在这个数轴上，正方向向右，且点位于最左边， ∴在这四个点中，点表示的数最小． 5．在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有理数大小比较规则：负数小于0，0小于正数，两个负数比较，绝对值大的数反而小． 【解答】解：∵ ，，， ∴ ， 因此四个数中最小的数是． 6．某日河北省4个地区的最低气温：石家庄，唐山，沧州，秦皇岛．则最低气温最高的地区是（    ） A．石家庄 B．唐山 C．沧州 D．秦皇岛 【答案】A 【分析】本题考查负数比较大小的知识点，根据“绝对值大的负数反而小”的规则比较四个地区最低气温的大小即可得出答案．熟练掌握负数比较大小的方法是解题关键，注意负数比较时不要混淆绝对值与数的大小关系． 【解答】解：∵ 四个地区的最低气温分别为、、、， 又∵ 负数比较大小，绝对值大的数反而小， ，，，， 且， ∴ ， ∴ 最低气温最高的地区是石家庄． 故选：A． 7．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】本题主要考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．根据数轴的特征写出被遮住的点即可得到答案． 【解答】解：被盖住的整数有，共9个． 故选：C． 二、填空题 8．中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位上升记作，那么水位下降记作______． 【答案】 【分析】正负数可以表示具有相反意义的量，已知水位上升记为正，则水位下降记为负，据此即可求解． 【解答】解：水位上升记作， 那么水位下降记作． 9．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 【答案】①⑤/⑤① 【分析】根据有理数的分类，整数的定义，偶数和自然数的定义，逐一判断每个说法的正误，即可得到结果． 【解答】解：①根据正有理数的分类，正有理数包括正整数和正分数，该说法正确； ②整数是正整数、0、负整数的统称，原说法漏掉0，故该说法错误； ③有理数是整数和分数的统称，其中整数包含0， ∴有理数包括正整数、0、负整数、正分数、负分数，原说法漏掉0，故该说法错误； ④0是偶数，也是自然数，原说法错误； ⑤根据偶数的定义，偶数包括正偶数、负偶数和0，该说法正确． 10．在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 【答案】3 2 【分析】本题考查了有理数的分类．负有理数包括负整数和负分数，非负整数包括正整数和零；逐个判断每个数，即可作答． 【解答】解：是负整数，属于负有理数； 是正分数，不属于负有理数，也不是非负整数； 即，是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； π是无理数，不属于有理数； 是负循环小数，属于负有理数； 0是非负整数，不属于负有理数； 是负有限小数，属于负有理数； 6.3是正小数，属于有理数但非负，不属于负有理数，也不是整数； 2022是正整数，属于非负整数，不属于负有理数； 故负有理数有、、，共3个；非负整数有0、2022，共2个； 故答案为：3，2． 11．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了数轴的概念和实数与数轴上点的对应关系，熟练掌握数轴上左边的数总比右边的数小这一性质是解题的关键． 先根据数轴上点的位置关系，判断出数与的大小关系，再写出一个满足该关系的数即可． 【解答】解：∵数轴上表示数的点在表示数的点的左侧， ∴． 取（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12．数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查数轴上的平移，列代数式，点A的初始位置为，以每秒2个单位长度的速度运动，t秒后的位置为初始位置加上位移（速度乘以时间）． 【解答】解：∵点A的初始位置为，运动速度为2个单位长度/秒， ∴当向右移动时，t秒后，点A表示的数是； 当向左移动时，t秒后，点A表示的数是； 故答案为：或． 13．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 【答案】向右移动4个单位长度 【分析】本题考查了对数轴概念的理解，掌握数轴的概念是解题的关键．原有点的正确坐标为，但标错原点后点落在的相反数的位置即处，则点错误位置与正确位置相差个单位长度；点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度，进而得到答案． 【解答】解：点原本表示的数为，现在却落在的相反数即处， 这两个位置之间的距离为个单位长度． 即点错误位置与正确位置相差个单位长度． 由于是数轴的原点标错了位置才导致点位置错误，而点的坐标从变为，说明错误的原点相对于正确原点的位置向左移动了个单位长度， 所以要想把数轴画正确，原点应向右移动个单位长度． 故答案为：向右移动4个单位长度 14．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【解答】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 三、解答题 15．把下列各数填在相应的括号里： ，，，，，，， 正数集合{                                        }； 整数集合{ }； 分数集合{ }； 负数集合{ }． 【答案】0.275，，，；，0，，；0.275，，，；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，绝对值，解题的关键是正确理解正数、整数、分数、负数的定义． 先化简，再按照正数、整数、分数、负数的定义求解即可． 【解答】解：， 正数集合{0.275，，，} 整数集合{，0，，} 分数集合{0.275，，，} 负数集合{，，} 16．为加强校园周边治安综合治理，治安巡逻车从地出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定向南为正．巡逻车先向北行驶4千米，然后折回向南行驶5千米，又折回向北行驶7千米，最后折回向南行驶3千米．此时巡逻车在地的什么方向？距地多远？ 【答案】巡逻车在地的北边，距地千米． 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加、减、运算，掌握正负数的意义是解题的关键． 【解答】解：由题意得向南为正， 则巡逻车行驶距离为： 答：巡逻车在地的北边，距地千米． 17．正式足球比赛时所用的足球质量有严格规定，下面是对6个足球检查结果（用正数记超过规定质量的数，用负数记不足规定质量的数）（单位：克）：，，，，，．指出哪个足球的质量好些，并用绝对值的知识进行说明． 【答案】质量为克的足球质量好些，说明见详解 【分析】本题考查了绝对值的应用， 先计算各偏差的绝对值，再比较绝对值的大小后确定质量好的足球． 【解答】解：，，，，，， ∵， ∴质量为克的足球质量好些． 18．画出数轴，并解答下列问题： （1）画出数轴，在数轴上表示下列各数：； （2）在数轴上标出表示的点，直接写出将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数． 【答案】（1）数轴见详解； （2）图见详解，向右平移4个单位长度得到的数是3． 【解答】（1）解：， 数轴如图： （2） 解：点的位置如图： 将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数是． 19．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中 ， ， ； （2）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】（1），， （2）见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【解答】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 20．国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 （1）求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ （2）求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ （3）若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）3天 【分析】本题主要考查正负数的实际应用、平均数的计算以及不等式的简单应用．根据记录值与标准温度的关系，计算实际温度，进而求解最高与最低温差、平均温度以及适合户外活动的天数． （1）根据正负数的意义判断出月5日气温最高，月7日气温最低，然后列式计算即可得解； （2）准确将每日记录值转换为实际气温（实际值记录值），再用平均数公式计算七日平均值； （3）明确“以上”的标准（），从转换后的气温数据中筛选符合条件的日期数量． 【解答】（1）解：由题意得，月5日平均气温最高，当日平均气温为（）， 月7日平均气温最低，当日平均气温为（）， ∴这一周内的最高气温与最低气温相差（）． 故答案为：； （2）解：月1日平均气温为（）， 月2日平均气温为（）， 月3日平均气温为（）， 月4日平均气温为（）， 月5日平均气温为（）， 月6日平均气温为， 月7日平均气温为（）， ∴这一周内的平均气温是（）． 故答案为； （3）解：由（2）可知，10月3日、10月4日和10月5日的气温分别为、和，均在以上，适合户外活动 故这一周中有3天适合户外活动． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 2.1 认识有理数（知识梳理+达标检测） 知识点一用正数、负数表示具有相反意义的量 1、具有相反意义的量。 分别由具有相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量。 2、用正数、负数表示具有相反意义的量。 为了表示具有相反意义的量，我们可以把期中一个量规定为正的，把与这个量意义相反的规定为负的，并分别用“+”“-”来表示。 3、具有相反意义的词。 如“零上和零下”“收入和支出”“增加和减少”“升高和降低”。 知识点二正数和负数的概念 1、正数：大于0的数叫做正数。 2、负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 3、0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 知识点三有理数及其分类 1、概念。 整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 2、分类。 知识点四数轴 1、概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。三要素：原点、正方向、单位长度。 2、对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 3、应用：（1）比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （2）求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 知识点五相反数 1、概念：只有符号不同，数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别的0的相反数是0。 2、性质：若a与b互为相反数，则a+b=0，即α=-b；反之，若a+b=0，则a与b互为相反数。 3、多重符号的化简：（1）两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数；（2）多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数。 知识点六绝对值 1、概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值。 2、代数意义：（1）正数的绝对值是它的本身（若｜a｜=｜b｜，则a=b或α=-b）；（2）负数的绝对值是它的相反数；（3）0的绝对值是0。 3、代数符号意义：（1）a>0，｜a｜=a，反之，｜a｜=a，则 a≥0；｜a｜= - a，则 a≤0；（2）a=0，｜a｜=0：③a<0，｜a｜=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4、性质：绝对值是a（a>0）的数有2个，他们互为相反数.即±a。 5、非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即｜a｜>0，几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。 6、利用绝对值比较大小 正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数比较大小时，绝对值大的反而小. 一、选择题 1．在，0，，，2五个数中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．刘徽在公元3世纪为《九章算术》作注时写道：“今两算得失相反，要令正负以名之，正算赤，负算黑．”即明确正负数是表示相反意义的量，若盈利300元记作元，则亏损100元应记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．下列说法中：①0是最小的整数；②非负数就是正数；③ 不仅是有理数，而且是分数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法的个数为（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，数轴上的点 A，B，C，D所表示的数中最小的是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．在，，，这四个数中，最小的数是（     ） A． B． C． D． 6．某日河北省4个地区的最低气温：石家庄，唐山，沧州，秦皇岛．则最低气温最高的地区是（    ） A．石家庄 B．唐山 C．沧州 D．秦皇岛 7．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 二、填空题 8．中国是最早使用正、负数表示具有相反意义的量的国家．如果水位上升记作，那么水位下降记作______． 9．①正有理数包括正整数和正分数；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和0．以上说法中，正确的序号为_________． 10．在，，，，，0，，，2022中，负有理数的个数为________；非负整数的个数为________． 11．如图，数轴上的两个点分别表示数和，则可以是_____．（写出一个即可） 12．数轴上点A表示的数是，若点A以每秒2个单位长度在数轴上运动，那么t秒后，点A表示的数是______（用含有t的代数式表示）． 13．小花在做题时，画了一条数轴（向右为正方向），数轴上原有一点，其表示的数是．由于粗心，小花把数轴的原点标错了位置，使得点正好落在的相反数的位置，要想把数轴画正确，原点应______． 14．如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 三、解答题 15．把下列各数填在相应的括号里： ，，，，，，， 正数集合{                                        }； 整数集合{ }； 分数集合{ }； 负数集合{ }． 16．为加强校园周边治安综合治理，治安巡逻车从地出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，规定向南为正．巡逻车先向北行驶4千米，然后折回向南行驶5千米，又折回向北行驶7千米，最后折回向南行驶3千米．此时巡逻车在地的什么方向？距地多远？ 17．正式足球比赛时所用的足球质量有严格规定，下面是对6个足球检查结果（用正数记超过规定质量的数，用负数记不足规定质量的数）（单位：克）：，，，，，．指出哪个足球的质量好些，并用绝对值的知识进行说明． 18．画出数轴，并解答下列问题： （1）画出数轴，在数轴上表示下列各数：； （2）在数轴上标出表示的点，直接写出将点沿数轴向右平移4个单位长度后得到的点所表示的数． 19．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． （1）图中 ， ， ； （2）若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 20．国庆黄金周到来之际，小明欲到美丽的“兰茂故里”嵩明开启一段美妙旅行！为更好地规划行程，临行前特意查找了该地区一周内（月1日至月7日）每日的平均气温情况；若以为标准，超过或不足的气温度数分别用正数、负数来表示，记录如下： 日期 月1日 月2日 月3日 月4日 月5日 月6日 月7日 日平均气温（℃） 0 （1）求这一周内的最高气温与最低气温相差多少摄氏度？ （2）求这一周内的平均气温是多少摄氏度？ （3）若小明希望气温在以上时进行户外活动，那么这一周中有几天适合户外活动？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $