第8章 第10讲 圆锥曲线中的定点、定值问题(提升课)（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

第10讲　圆锥曲线中的定点、定值问题(提升课)

圆锥曲线中的定点、定线、定值问题是高考考查的热点，难度较大，是高考的压轴题，定点问题的类型一般为直线过定点与圆过定点等；定线问题的类型一般是证明或探究动点在直线上．定值问题是指在解析几何题目中，有些几何量与参数无关的问题．

[对应学生用书P244]

考点一　定值问题

重难考点　师生共研

　(2025·河南洛平许济二模)已知椭圆C：＋＝1的焦距为2，且过点P.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点P作两条直线分别交椭圆C于A，B两点，若直线x＝－1平分∠APB，求证：直线AB的斜率为定值，并求出这个定值．

[解析]　(1)依题意可得解得

所以椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)证明　依题意直线PA，PB的斜率存在且不为0，

设A，B，直线PA的方程为y－2＝k，

由消去y得x2＋2kx＋k2＋4k－4＝0，

所以x1＝，

因为直线x＝－1平分∠APB，

所以直线PA，PB的斜率互为相反数，

所以设直线PB的方程为y－2＝－k，同理可得x2＝，

因为y1－2＝k，y2－2＝－k，

所以y1－y2＝k＋2k

＝k＋2k＝，

又x1－x2＝－＝，

所以kAB＝＝－2，

即直线AB的斜率为定值－2.

圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

1．(2025·海淀模拟)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形．A为圆O：x2＋y2＝a2上一点(不在x轴上)，B为椭圆E上一点，且满足AB⊥x轴，直线l与圆O切于点A，过F1作l的垂线，垂足为M.

(1)求椭圆E的方程及圆O的方程；

(2)求证：|F1M|＋|BF2|为定值．

解析　(1)已知以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为的正方形，设椭圆的焦距为2c，则c＝b，且c2＋b2＝2，

所以c＝b＝1，a2＝b2＋c2＝2，

则椭圆E的方程为＋y2＝1，

圆O的方程为x2＋y2＝2.

(2)证明　由椭圆方程得F1，F2，

因为AB⊥x轴，所以设A的坐标为，B的坐标为，不妨取x1>0，

因为直线l与圆O切于点A，切线l的方程为x1x＋y1y＝2，

因为F1M⊥l，所以|F1M|＝＝＝x1＋，

由B，F2得，|BF2|2＝＋y，

又＋y＝1，所以|BF2|2＝＋1－＝－2x1＋2＝，

因为x1<2，所以|BF2|＝＝－x1，

所以|F1M|＋|BF2|＝x1＋＋－x1＝2.

即|F1M|＋|BF2|为定值．

考点二　定点问题

重难考点　师生共研

　(2025·山东青岛一模节选)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴长为2，离心率为.

(1)求C的方程；

(2)记C的左顶点为A，直线l与C交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为－.证明：直线l过定点．

[解析]　(1)由题意得2b＝2，＝，故b＝，a＝2c，