第3章 第5讲 利用导数研究不等式恒(能)成立问题(提升课)（Word教参）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与不等式恒（能）成立问题，涵盖分离参数法、分类讨论法、双变量问题三大核心考点，按“方法梳理-真题精讲-规律总结”逻辑架构知识体系，通过师生共研典例、分层练习巩固等环节，帮助学生构建解题框架，突破高考难点。 资料特色在于紧扣高考命题规律，创新采用“问题转化-参数分类-双变量最值”三阶突破策略，如分离参数法中引导学生构造函数求最值培养数学思维，双变量问题中转化为“最值比较”模型发展模型观念。设置基础到提升的分层练习，配合即时反馈，确保高效突破难点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

第5讲　利用导数研究不等式恒(能)成立问题(提升课) 恒成立问题与有解问题是高考数学的重要知识，其中不等式恒成立问题经常与导数及其几何意义、函数、方程等知识相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力． [对应学生用书P78] 考点一　分离参数法求参数范围 重难考点　师生共研 (2025·山师附中一模节选)已知函数f(x)＝x ln x－ax.若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≤x2＋2恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　由任意x∈(0，＋∞)，f(x)≤x2＋2知x ln x≤x2＋ax＋2恒成立． 因为x>0，故a≥ln x－x－，在x∈(0，＋∞)上恒成立． 设h(x)＝ln x－x－(x>0)，则h′(x)＝－1＋＝－， 令h′(x)＝0，得x1＝2，x2＝－1(舍去)， 当x∈(0，2)时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 当x∈(2，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， 故当x＝2时，h(x)取得极大值，也是最大值，所以h(x)max＝h(2)＝ln 2－3， 所以若a≥h(x)在x∈(0，＋∞)上恒成立，则a≥h(x)max＝ln 2－3， 故实数a的取值范围是[ln 2－3，＋∞]. 利用分离参数法来确定不等式f(x，λ)≥0(x∈I，λ为实参数)恒成立问题中参数取值范围的基本步骤： (1)将参数与变量分离，化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式． (2)求f2(x)在x∈I时的最大值或最小值． (3)解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min，得到λ的取值范围． 1．若关于x的不等式ex(2x－x2)≥aex－x有解，则实数a的取值范围为________． 解析　因为ex(2x－x2)≥aex－x 有解， 所以ex(2x－x2)＋x≥aex 有解， 因为ex>0，所以2x－x2＋xe－x≥a 有解， 令f(x)＝2x－x2＋xe－x，则a≤f(x)max， f′(x)＝2－2x＋e－x－xe－x＝2(1－x)＋e－x·(1－x)＝(1－x) (2＋e－x)， 因为2＋e－x>0，则当x<1时，f′(x)>0，当x>1时，f′(x)<0， 故当x∈(－∞，1)时，f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，则f(x)max＝f(1)＝2－1＋e-1＝1＋，则a≤1＋， 故实数a的取值范围是. 答案　 考点二　分类讨论法求参数范围 重难考点　师生共研 已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝(x－1)·ex－. (1)若a＝e，讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)≤3在(0，2]上恒成立，求实数a的取值范围． [解析]　(1)f′(x)＝xex－ax＝x(ex－a)， 当a＝e时，f′(x)＝x(ex－e). 在(0，1)上，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 在(1，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增． (2)函数f(x)的导数为f′(x)＝x(ex－a). ①若a≤1，则在(0，2]上，f′(x)＞0恒成立，f(x)单调递增，因此f(x)max＝f(2)＝e2－2a＞3，不符合题意； ②若1＜a＜e2，令f′(x)＝0得x＝ln a，当x∈(0，ln a)时，f′(x)＜0，当x∈(ln a，2]时，f′(x)＞0，因此f(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，2]上单调递增，又因为f(0)＝－1＜3，所以只需f(2)≤3即可，即e2－2a≤3，解得≤a＜e2； ③若a≥e2，则在(0，2)上，f′(x)＜0恒成立，f(x)单调递减，因此f(x)＜f(0)＝－1＜3，符合题意． 综上所述，实数a的取值范围是. 根据不等式恒成立求参数范围的关键是将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足题意即可． 2．(2026·马鞍山模拟)已知函数f(x)＝ex＋(m＋1)x，m∈R.若存在x∈[1，2]，使得不等式ex＋＋m ln x＋m≥f(x)成立，求m的取值范围． 解析　不等式ex＋＋m ln x＋m≥f(x)可化为＋m ln x－(m＋1)x＋m≥0， 即存在x∈[1，2]，使得不等式＋m ln x－(m＋1)x＋m≥0成立． 构造函数h(x)＝＋m ln x－(m＋1)x＋m，x∈[1，2]，则h′(x)＝x＋－(m＋1)＝(x－m)·(x－1). ①当m≤1时，h′(x)≥0恒成立，故h(x)在[1，2]上单调递增，故h(x)max＝h(2)＝m ln 2－m≥0，解得m≤0，故m≤0； ②当1<m<2时，令h′(x)>0，解得m<x<2；令h′(x)<0，解得1<x<m，故h(x)在[1，m]上单调递减，在(m，2]上单调递增，又h(1)＝－，故h(2)＝m ln 2－m≥0，解得m≤0，这与1<m<2相矛盾，舍去； ③当m≥2时，h′(x)≤0恒成立，故h(x)在[1，2]上单调递减，故h(x)max＝h(1)＝－<0，不符合题意，应舍去． 综上所述，m的取值范围为(－∞，0]. 考点三　双变量的不等式恒(能)成立问题 重难考点　师生共研 已知f(x)＝＋x ln x，g(x)＝x3－x2－3. (1)如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立，求满足上述条件的最大整数M； (2)如果对于任意的s，t∈，f(s)≥g(t)成立，求实数a的取值范围． [解析]　(1)存在x1，x2∈[0，2]，使得g(x1)－g(x2)≥M成立， 即存在x1，x2∈[0，2]，使得[g(x1)－g(x2)]max≥M，即g(x)max－g(x)min≥M(x∈[0，2]). 由g(x)＝x3－x2－3，得g′(x)＝3x2－2x＝3x， 当＜x＜2时，g′(x)＞0， 当0＜x＜时，g′(x)＜0， 列表如下： x g′(x) － 0 ＋ g(x) 单调递减 极小值 单调递增 又g(0)＝－3，g(2)＝1，所以当x∈[0，2]时，g(x)max＝g(2)＝1，g(x)min＝g＝－， 所以g(x)max－g(x)min＝≥M， 所以满足条件的最大整数M为4. (2)对于任意的s，t∈，f(s)≥g(t)成立，则f(s)min≥g(t)max. 由(1)易得当x∈时，g(x)max＝g(2)＝1， 所以对任意的x∈，＋x ln x≥1恒成立，即a≥x－x2ln x恒成立． 令h(x)＝x－x2ln x，则a≥h(x)max. 求导得h′(x)＝1－2x ln x－x，令m(x)＝1－2x ln x－x，则m′(x)＝－3－2ln x＜0， 所以h′(x)在上单调递减，又h′(1)＝0，故列表如下： x 1 (1，2) h′(x) ＋ 0 － h(x) 单调递增 极大值 单调递减 所以a≥h(x)max＝h(1)＝1，故实数a的取值范围是[1，＋∞). 双变量的恒(能)成立问题常见的转化 (1)∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (2)∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (3)∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min. (4)∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. 3．(2025·汕头联考改编)设函数f(x)＝(x－1)(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，若∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的最大值． 解析　由题意，f(x)＝(x－1)(ex－e)，x∈R， 当x<1时，x－1<0，ex－e<0，∴f(x)>0， 当x≥1时，x－1≥0，ex－e≥0，∴f(x)≥0， ∴f(x)≥0恒成立，且f(x)min＝f(1)＝0. ∵∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立， ∴∀x2∈[0，＋∞)，f(x1)min≤g(x2)恒成立， ∴∀x2∈[0，＋∞)，g(x2)≥0恒成立，即∀x∈[0，＋∞)，g(x)＝ex－ax－1≥0恒成立． g′(x)＝ex－a，易知g′(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴当x≥0时，g′(x)≥g′(0)＝1－a， ①当1－a≥0，即a≤1时，g′(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴g(x)在[0，＋∞)上单调递增， ∴此时g(x)在[0，＋∞)上的最小值为g(0)＝0， ∴a≤1满足题意； ②当1－a<0，即a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝ln a， ∴当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0， 当x∈(ln a，＋∞)时，g′(x)>0， ∴g(x)在(0，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0. ∴此时g(x)在[0，＋∞)上的最小值为g(ln a)<0，∴a>1不满足题意． 综合①②可得，a的取值范围为(－∞，1]， ∴a的最大值为1. 学科网（北京）股份有限公司 $