2.3二次函数与一元二次方程、不等式新授课2026-2027学年高一上学期必修一

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 一、学习目标 1. 掌握一元二次不等式的解法（图像法）； 1. 理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的 “三位一体” 关系； 1. 能解决简单的一元二次不等式恒成立问题。 二、知识点精讲 1. “三位一体” 关系： 设二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0），一元二次方程 ax² + bx + c = 0，一元二次不等式 ax² + bx + c > 0（或＜0）判别式 Δ = b² - 4ac：决定方程的根，进而决定不等式的解集； 图像关系：不等式的解集是二次函数图像在 x 轴上方（>0）或下方（＜0） 1. 一元二次不等式解法步骤： ① 化标准型：确保二次项系数 a > 0（若 a＜0，两边乘 - 1，不等号反向）； ② 求根：计算 Δ，解方程 ax² + bx + c = 0，得根 x₁ 和 x₂，不妨记x₁ ＜ x₂（Δ＜0无实根，Δ = 0 时 x₁ = x₂ =-）； ③ 写解集：根据图像写解集： 记忆口诀：开口向上时，大于取两边，小于取中间 1. 分式不等式及其解法 解题步骤： ①移项通分，右边化为 0，只剩一个分式 ②转化为整式不等式，保留分母不为 0 条件 ③求根，用一元二次不等式规则写解集 1. 恒成立问题： ①不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 ②一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 ③一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 三、例题解析 例 1：解下列一元二次不等式 （1）x² - 5x + 6 > 0； （2）-x² + 2x - 1 ≥ 0。 解： （1）a=1>0，Δ=25-24=1>0，解方程 x²-5x+6=0 得 x₁=2，x₂=3； 解集为 {x|x＜2或x＞3}； （2）化标准型：x² - 2x + 1 ≤ 0（两边乘 - 1，不等号反向）； a=1>0，Δ=4-4=0，根 x1=x2=1； 解集为 {x | x=1}。 例 2：解不等式 x² - (a + 1) x + a ＜0（a∈R） 解： 因式分解：(x - 1)(x - a) ① 当 a > 1 时，解集为 {x|1＜x＜a}； ② 当 a = 1 时，不等式化为 (x - 1)²＜0，此时为∅； ③ 当 a＜1，解集为 {x|a＜x＜1}； 综上， a > 1时，x∈{x|1＜x＜a}，a = 1 时，x=∅，a＜1时，x∈ {x|a＜x＜1} 例 3：解不等式 ≤0 解： 原式等价于 (x+3)(x-1)≤0 且 x-1≠0 解得：-3≤x＜1 例4：已知不等式 mx² - 2x + m < 0 对∀x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围 解： 分两种情况讨论： 1. 当 m = 0 时 原式变为 -2x < 0，即 x > 0。 不能对所有实数x都成立，不符合题意。 当 m ≠ 0 时，该式为一元二次不等式 要使 mx² - 2x + m < 0 对全体实数恒成立，需同时满足两个条件： ① 二次项系数小于0：m < 0 ② 判别式 Δ < 0 计算判别式： Δ = (-2)² - 4·m·m = 4 - 4m² 令 Δ < 0： 4 - 4m² < 0 两边除以4： 1 - m² < 0 m² > 1 解得 m > 1 或 m < -1 结合条件 m < 0，取公共部分： m < -1 结论：实数 m 的取值范围是 {m|m < -1}。 四、课堂练习 1. 解不等式 2x² - 3x - 2 ≤0 解： 第一步：二次项系数2>0，标准形式不用变形 第二步：解方程 2x²-3x-2=0 因式分解：(2x+1)(x-2)=0 根：x₁=-，x₂=2 第三步：开口向上，小于等于取中间 得：-- ≤ x ≤ 2，所以不等式的解集为{x|- ≤ x ≤ 2} 1. 解不等式 ＞0 解： 分式大于0等价分子分母同号 (x-1)(x+2)＞0 两根 x=-2，x=1，开口向上大于取两边 得：x ＜ -2 或 x ＞ 1,所以不等式的解集为{x|x ＜ -2 或 x ＞ 1} 1. 已知不等式 x² - 2x + k > 0 对∀x∈R 恒成立，求 k 的取值范围 解： 二次项系数a=1>0，恒成立只需Δ＜0 Δ = (-2)² - 4×1×k = 4 - 4k ，4 - 4k ＜ 0， 4 ＜ 4k， k ＞ 1 答：k的取值范围是{k|k ＞ 1} 1. 解不等式 ax² - (a + 2) x + 2 > 0（a∈R） 解： 因式分解左边： ax²-(a+2)x+2 = (ax-2)(x-1) 分情况讨论： （1）a=0时，原式变为 -2x+2＞0，解得 {x|x ＜ 1 } （2）a＞0时，两根 x=，x=1 ，① ＞ 1时，即 0＜a＜2， 解集：{x|x ＜ 1 或 x ＞ ② = 1，即 a=2 原式：(2x-2)(x-1)＞0 → 2(x-1)²＞0 解集：{x|x ≠ 1} ③ ＜ 1，即 a＞2 解集：{x|x ＜ 或 x ＞ 1 } (3)a＜0时，二次项系数为负，两边除以a不等号反向 (ax-2)(x-1)＞0 ⇒ (x -)(x - 1) ＜ 0 ,a＜0，则＜0，则 ＜ 1 解集：{x| ＜ x ＜ 1 } 总结： a＜0时，{x| ＜ x ＜ 1 } ,a=0时， {x|x ＜ 1 }, 0＜a＜2时，{x|x ＜ 1 或 x ＞ , a=2时，{x|x ≠ 1}, a＞2时，{x|x ＜ 或 x ＞ 1 } 五、易错点总结 1. 化标准型：未将二次项系数化为正数，直接求解 1. 含参数讨论：漏讨论二次项系数为 0 的情况； 1. 恒成立问题：混淆 “>0 恒成立” 与 “≥0 恒成立” 的条件。 6、 课后作业 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.不等式的解集为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 3.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 或 4.若：，：，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是(    ) A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 解下列不等式： ； ； ． 8.本小题分 已知不等式的解集为． 求，的值 若不等式对于均成立，求实数取值范围． 1.【答案】  【解析】解：解分式不等式，步骤如下： 将不等式变形为，即两边同乘，不等号方向改变； 分式不等式等价于整式不等式且分母； 解二次不等式：二次函数开口向上，根为和，故解集为； 排除分母为的情况，最终解集为。 2.【答案】  3.【答案】  【解析】解：因为命题“，”是假命题，所以命题的否定命题为真命题， 即：命题“，”是真命题， 即不等式在上恒成立． 当时，不等式转化为恒成立，则满足题意； 当时，若在上恒成立，需满足抛物线开口向上，即，且同时满足函数图像在轴上方，即； 则有，解得． 综上可知，实数的取值范围为． 故答案为：． 4.【答案】  【解析】：，即 ， ：，即， 且， 是的必要不充分条件． 5.【答案】  【解析】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有且，即解得综上可得，． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，解不含参的一元二次不等式，属于基础题． 选项，根据不等式的解集得到；，选项，转化为和是关于的方程的两根，根据韦达定理得到两根之和，两根之积，求出，，的关系，解不等式，得到的解集，并得到；选项，变形得到的解集即可． 解：关于的不等式的解集为或， ，故A错误； ，选项，因为和是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即， 又，解得，故B正确； 且，故C错误； 选项，不等式， 即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，故D正确． 故选：． 7.【答案】解：由得，即，解得， 所以不等式的解集为或． 因为，即，解得或， 所以不等式的解集为或． ，解得， 所以不等式的解集为．  8.【答案】解：由题意知，和是方程的两根， 所以，解得； 由可知， 则不等式对于均成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上，实数取值范围为．  【解析】本题考查一元二次不等式与相应函数和方程的关系，不等式的恒成立问题，属于基础题．一元二次不等式与对应方程的关系，由根与系数的关系求出的值； 分为，，由解集为，求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 一、学习目标 1. 掌握一元二次不等式的解法（图像法）； 1. 理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的 “三位一体” 关系； 1. 能解决简单的一元二次不等式恒成立问题。 二、知识点精讲 1. “三位一体” 关系： 设二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0），一元二次方程 ax² + bx + c = 0，一元二次不等式 ax² + bx + c > 0（或＜0）判别式 Δ = b² - 4ac：决定方程的根，进而决定不等式的解集； 图像关系：不等式的解集是二次函数图像在 x 轴上方（>0）或下方（＜0） 1. 一元二次不等式解法步骤： ① 化标准型：确保二次项系数 a > 0（若 a＜0，两边乘 - 1，不等号反向）； ② 求根：计算 Δ，解方程 ax² + bx + c = 0，得根 x₁ 和 x₂，不妨记x₁ ＜ x₂（Δ＜0无实根，Δ = 0 时 x₁ = x₂ =-）； ③ 写解集：根据图像写解集： 记忆口诀：开口向上时，大于取两边，小于取中间 1. 分式不等式及其解法 解题步骤： ①移项通分，右边化为 0，只剩一个分式 ②转化为整式不等式，保留分母不为 0 条件 ③求根，用一元二次不等式规则写解集 1. 恒成立问题： ①不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 ②一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 ③一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为空集的条件为 三、例题解析 例 1：解下列一元二次不等式 （1）x² - 5x + 6 > 0； （2）-x² + 2x - 1 ≥ 0。 例 2：解不等式 x² - (a + 1) x + a ＜0（a∈R） 例 3：解不等式 ≤0 例4：已知不等式 mx² - 2x + m < 0 对∀x∈R 恒成立，求实数 m 的取值范围 四、课堂练习 1. 解不等式 2x² - 3x - 2 ≤0 1. 解不等式 ＞0 1. 已知不等式 x² - 2x + k > 0 对∀x∈R 恒成立，求 k 的取值范围 1. 解不等式 ax² - (a + 2) x + 2 > 0（a∈R） 五、易错点总结 1. 化标准型：未将二次项系数化为正数，直接求解 1. 含参数讨论：漏讨论二次项系数为 0 的情况； 1. 恒成立问题：混淆 “>0 恒成立” 与 “≥0 恒成立” 的条件。 6、 课后作业 一、单选题：本题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.关于的不等式的解集为(    ) A. B. C. 或 D. 或 2.不等式的解集为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 3.若命题“，”是假命题，则实数的取值范围为(    ) A. B. C. D. 或 4.若：，：，则是的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 6.已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是(    ) A. B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为或 三、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 7.本小题分 解下列不等式： ； ； ． 8.本小题分 已知不等式的解集为． 求，的值 若不等式对于均成立，求实数取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $