第4章 第2讲 抛体运动（Word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习讲义·物理（江苏专版）

该高中物理讲义聚焦抛体运动高考核心考点，涵盖平抛运动规律及应用、多体平抛问题、与斜面或圆弧面关联的平抛运动、斜抛运动等内容，按“基础规律—多体问题—特殊情境—拓展应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、方法指导（如化曲为直）、真题训练（典例及配套题）帮助学生突破难点，体现复习的系统性和针对性。 资料突出科学思维与模型建构，如推导平抛速度反向延长线推论、对比分析多体平抛运动差异，设计临界问题突破策略（总结三种临界特征）和分层练习（基础巩固、能力提升题），培养学生问题分析能力，为教师提供精准复习节奏指导，助力学生高效提升应考能力。

第2讲　抛体运动 考点一　平抛运动的规律及应用 1．平抛运动 (1) 定义：将物体以一定的初速度沿__水平__方向抛出，物体只在__重力__作用下的运动． (2) 性质：平抛运动是加速度为g的__匀变速__曲线运动，运动轨迹是__抛物线__． (3) 研究方法：化曲为直 ① 水平方向：__匀速直线__运动． ② 竖直方向：__自由落体__运动． 2．平抛运动的规律 (1) 速度变化量 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度变化量Δv＝__gΔt__是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示． (2) 基本规律 如图所示，以抛出点O为坐标原点，以初速度v0方向(水平方向)为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立平面直角坐标系xOy． (3) 两个推论 ① 做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时__水平位移__的中点，如图所示，即xB＝． 推导→xB＝ ② 做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α． 推导→tan θ＝2tan α 典例1　(2025·泰州调研)如图所示，足球运动员训练罚点球，足球放置在球门中央的正前方O点，两次射门，足球分别垂直打在水平横梁上的a点和竖直梁上的b点，到达a、b两点瞬间速度大小为va、vb，从射出到打到a、b两点的时间是ta、tb，不计空气作用力，则(　A　) A．va＜vb B．va＞vb C．ta＜tb D．ta＝tb 【解析】 设球门宽度为x1，足球到球门的距离为x2，根据逆向思维法可知，足球做平抛运动，当足球打到a点时，有x2＝vata，ha＝gt，当足球打到b点时，有＝vbtb，hb＝gt，由于ha＞hb，则ta＞tb，va＜vb，故选A． 典例2　如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物体以v的速度水平抛出，小物体刚好穿过窗口并落在水平地面上，取g＝10 m/s2.则v的取值范围是(　C　) A．v＞7 m/s B．v＜2.3 m/s C．3 m/s＜v＜7 m/s D．2.3 m/s＜v＜3 m/s 【解析】 小物体做平抛运动，恰好擦着窗子上沿右侧穿过时v最大，此时有L＝vmaxt，h＝gt2，代入解得 vmax＝7 m/s；恰好擦着窗口下沿左侧穿过时速度v最小，则有L＋d＝vmint′，H＋h＝gt′2，解得vmin＝3 m/s，故v的取值范围是3 m/s＜v＜7 m/s，C正确． 常见的三种临界特征 1． 若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点． 2． 若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点． 3． 若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点也往往是临界点． 考点二　多物体的平抛运动问题 典例3　(2025·南通四模)如图所示，一个柱形大水槽放在水平地面上，边缘同一竖线上开有三个小孔a、b、c，水从小孔水平流出后落在地面上．某时刻水面到孔c与孔c到地面的距离相等，此时水流径迹可能是(　A　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【解析】 设小孔到水面的深度为h，水从小孔流出的初速度大小为v，根据机械能守恒定律得Δm·gh＝Δm·v2，解得v＝，可见小孔越深水流出时的初速度越大，所以va＜vb＜vc，设水面到地面的高度差为H，水流出后做平抛运动，则x＝vt，H－h＝gt2，联立解得x＝2，当h＝时，水平射程x最大，即c水平射程最大，故选A． 三类常见的多体平抛运动 1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动． 2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由两物体的水平分运动和竖直高度差决定． 3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动． 考点三　与斜面或圆弧面有关的平抛运动 图示 方法 基本规律 运动时间 分解速度，构建速度的矢量三角形 水平：vx＝v0 竖直：vy＝gt 合速度：v＝ 由tan θ＝＝ 得t＝ 分解位移，构建位移的矢量三角形 水平：x＝v0t 竖直：y＝gt2 合位移：x合＝ 由tan θ＝＝ 得t＝ 在运动起点同时分解v0、g 由0＝v1－a1t，0－v＝－2a1d 得t＝，d＝ 分解平行于斜面的速度v 由vy＝gt得t＝ 典例4　如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球，落在斜面上某处Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为 α.若把初速度变为 3v0，小球仍落在斜面上．下列说法中正确的是(　B　) A．小球在空中的运动时间不变 B．P、Q 间距是原来的 9 倍 C．夹角 α与初速度大小有关 D．夹角 α将变小 【解析】 位移与水平方向夹角的正切值tan θ＝＝，则小球在空中运动的时间t＝，初速度变为原来的3倍，则小球在空中运动的时间变为原来的3倍，且竖直位移和水平位移都变为原来的9倍，P、Q间距变为原来的9倍，A错误，B正确；速度与水平方向夹角的正切值 tan β＝，可知速度方向与水平方向夹角β的正切值是位移与水平方向夹角θ正切值的2倍，小球落在斜面上，位移方向相同，则速度方向相同，可知夹角α与初速度大小无关，C、D错误． 典例5　(2025·淮安第一次联考)如图所示，半球面的半径为R，球面上A点与球心O等高，小球先后两次从A点以不同的速度v1、v2沿AO方向抛出，下落相同高度h，分别撞击到球面上B、C点．设上述两过程中小球运动时间分别为tAB、tAC，速度的变化量分别为ΔvAB、ΔvAC.则(　C　) A．tAB＜tAC B．ΔvAB＜ΔvAC C．v1＋v2＝2R，式中g为重力加速度 D．撞击C点时的速度方向与球面垂直 【解析】 小球做平抛运动，根据h＝gt2可知，运动时间相同，A错误；根据Δv＝gt，由于运动时间相同，所以速度变化量也相同，B错误；设两小球的水平位移分别为x1和x2，由几何关系可知x1＝R－，x2＝R＋，根据平抛运动规律，可知x1＝v1t，x2＝v2t，h＝gt2，联立可得v1＋v2＝2R，C正确；若撞击C点时的速度方向与球面垂直，则C点速度方向的反向延长线过圆心O，根据平抛运动的推论，速度的反向延长线一定过水平位移的中点，而O点不是水平位移的中点，与假设相矛盾，所以撞击C点时的速度方向与球面不垂直，D错误． 落点在圆弧面上的三种常见情境 甲 乙 丙 1．如图甲所示，小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置．由半径和几何关系制约时间t，有h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t． 2．如图乙所示，小球恰好沿B点的切线方向进入圆轨道，此时速度方向垂直于半径OB，圆心角α与速度的偏向角相等． 3．如图丙所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时速度方向垂直于半径OQ，圆心角θ与速度的偏向角相等． 考点四　斜抛运动 1．斜抛运动 (1) 定义：将物体以初速度v0__斜向上方__或斜向下方抛出，物体只在__重力__作用下的运动． (2) 性质：斜抛运动是加速度为g的__匀变速__曲线运动，运动轨迹是__抛物线__． (3) 研究方法：化曲为直 ① 水平方向：__匀速__直线运动． ② 竖直方向：__匀变速__直线运动． 2．基本规律 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy． (1) 初速度可以分解为v0x＝v0cos θ，v0y＝v0sin θ 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t，vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt (2) 当斜抛物体落点位置与抛出点等高时 ① 射高：h＝＝． ② 斜抛运动的飞行时间：t＝＝． ③ 射程：s＝v0cos θ·t＝＝， 对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝． 典例6　(2025·苏州期末调研)如图所示，同时从H点斜向上抛出物体1、2，分别落于Q1、Q2两位置，两条轨迹交于P点且最高点等高，不计空气阻力．物体2(　B　) A．在空中运动的时间更长 B．经过P点时的速度更大 C．落地时的速度方向与水平方向的夹角更大 D．与物体1之间的距离先增大，后减小，再增大 【解析】 斜抛可看成由最高点向两侧的平抛运动，两条轨迹最高点等高，竖直方向的位移相同，根据h＝gt2，可知两次在空中运动的时间相同，故A错误；根据斜抛的水平方向为匀速直线运动，可得x＝vxt，由图可知，物体2的水平位移较大，则v2x＞v1x，经过P点时的速度为vP＝，两球竖直速度相等，所以物体2经过P点的速度更大，故B正确；落地时的速度方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由于v2x＞v1x，所以落地时物体2的速度方向与水平方向的夹角更小，故C错误；由于两物体运动时间相同，所以两物体始终处于同一高度，则两物体间的距离为Δx＝(v2x－v1x)t，由此可知，两物体之间的距离不断增大，故D错误． 1．(2025·无锡期末调研)如图所示，在“抛堶”游戏中，某同学在同一位置将石子水平抛出，第一次石子落在靶位右方，第二次石子恰好落在靶位上，则第二次(　B　) A．初速度更大 B．初速度更小 C．运动时间更长 D．运动时间更短 【解析】 两次的高度相同，由h＝gt2可知运动时间相同，则C、D错误；运动的时间相同，水平位移第二次小于第一次，根据x＝v0t可知第二次的初速度小于第一次初速度，则A错误，B正确． 2．(2025·徐州调研)如图所示，将小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面的位移最小，则飞行时间t为(重力加速度为g)(　C　) A．v0tan θ B． C． D． 【解析】 过抛出点作斜面的垂线，如图所示．当质点落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则水平方向x＝v0t，竖直方向y＝gt2，根据几何关系有＝tan θ，解得t＝，故选C． 3．(2026·南通期初)如图所示，距离水平地面一定高度的水平线上有A、B两点，两点间距离为L，两石子分别在A、B两点以大小相等的初速度抛出，初速度方向与水平方向夹角均为θ.已知A处石子的运动轨迹恰好经过B点，不计空气阻力，则两石子在地面上的落点距离为(　A　) A．0 B．0.5L C．L D．1.5L 【解析】 从A点抛出的石子经过B点，由斜抛运动的对称性，可知此时速度方向与水平方向夹角为θ，且斜向下，则与从B点抛出的石子的初速度相同，二者轨迹重叠，则两石子在地面上的落点为同一点，故选A． 4．(2026·高邮期初)在某次抢险救灾中救援人员利用无人机空投物资保障受灾群众的生活．若无人机以v0＝10 m/s的速度水平向右匀速飞行，某时刻释放了一包物资，此时无人机到水平地面的高度h＝20 m，不计空气阻力，取g＝10 m/s2． (1) 求物资落地时与释放点的水平距离． (2) 若无人机运动速度大小不变，方向与水平方向成30°斜向右上方，求物资从释放到落地所需的时间(结果可用根号表示)． 答案： (1) 20 m　(2) s 【解析】 (1) 竖直方向上h＝gt2 水平方向上x＝v0t 解得x＝20 m (2) 以向上为正方向，则竖直分速度 vy＝v0sin 30°＝5 m/s 竖直方向上－h＝vyt′－gt′2 解得t′＝ s 配套热练 一、 选择题 1．(2026·南通期初)如图所示，小球位于竖直墙MN右侧A点，球的右侧有水平的平行光线．将小球水平向右抛出，球在墙MN上的影子做(　C　) A．变加速运动 B．变减速运动 C．自由落体运动 D．匀速直线运动 【解析】 球的右侧有水平的平行光线，则球在墙MN上的影子与小球在竖直方向具有相同的运动情景，所以球在墙MN上的影子做自由落体运动，故选C． 2．(2025·宿迁高三期中)如图所示．摩托车后轮离开地面后可以视为平抛运动．摩托车以某一速度飞出，后轮落到壕沟对面水平路面．忽略运动中空气阻力，若摩托车冲出的速度增大，则(　A　) A．在空中运动时间不变 B．在空中运动时间变短 C．落地速度与水平面夹角不变 D．落地速度与水平面夹角变大 【解析】 根据平抛运动规律有h＝gt2，由此可知，若摩托车冲出的速度增大，但h不变，则运动时间不变，故A正确，B错误；设落地速度与水平面夹角为θ，则tan θ＝，由于运动时间t不变，v0增大，tan θ减小，θ减小，故C、D错误． 3．(2026·扬州中学期初)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列说法中正确的是(　D　) A．A比B先落入篮筐 B．A、B运动的最大高度相同 C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小 D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同 【解析】 若研究两个过程的逆过程，可看作是从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，故A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即在最高点的速度比B在最高点的速度大，故C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，故D正确． 4．(2025·湖北卷)某网球运动员两次击球时，击球点离网的水平距离均为L，离地高度分别为、L，网球离开球拍瞬间的速度大小相等，方向分别斜向上、斜向下，且与水平方向夹角均为θ.击球后网球均刚好直接掠过球网，运动轨迹平面与球网垂直，忽略空气阻力，tan θ的值为(　C　) A． B． C． D． 【解析】 网球水平方向上做匀速直线运动，有t＝，设球网高度为h，则对于斜向下击出的球，有L－h＝v0sin θ·t＋gt2，对于斜向上击出的球，有－h＝－v0sin θ·t＋gt2，联立以上各式，可得tan θ＝，故选C． 5．如图所示，将一小球从倾角为θ＝30°的斜面顶端A点以初速度v0水平抛出，落在斜面上的B点，C为小球运动过程中与斜面相距最远的点，CD垂直AB.小球可视为质点，空气阻力不计，重力加速度为g，则(　C　) A．小球在C点的速度大小为2v0 B．小球从A到B点所用时间等于 C．小球在B点的速度与水平方向的夹角正切值是2tan θ D．A、B两点间距离等于 【解析】 在C点时速度方向与斜面平行，则此时有vC＝＝v0，A错误；设小球从A到B点所用时间为t，则有tan 30°＝，解得t＝v0，B错误；由平抛运动物体在任意时刻(任意位置)速度夹角的正切值为位移夹角正切值的2倍可得，小球在B点的速度与水平方向的夹角正切值是2tan θ，C正确；水平方向做匀速直线运动，则xAB＝v0t＝v，则A、B两点间距离sAB＝＝，D错误． 6．在海边的山坡高处的岸防炮，可以同时向两个方向投出弹丸，射击海面上的不同目标．如图所示，在一次投射中，岸防炮以相同大小的初速度v0在同一竖直平面内同时射出两颗弹丸，速度方向与水平方向夹角均为θ，不计空气阻力．则(　D　) A．到达海面时两炮弹的速度大小相同，方向不同 B．到达海面前两炮弹之间的距离越来越小 C．到达海面前两炮弹的相对速度越来越大 D．到达海面前两炮弹总在同一竖直线上 【解析】 如图所示，斜向上飞出的弹丸经过一段时间到达水平位置时与斜下抛速度方向相同，且在此时与斜下抛高度相同，故到达海面时两炮弹的速度大小相同，方向相同，A错误；由题知，初速度大小相等，与水平方向夹角相同，则水平分速度相同，所以始终保持在同一竖直线上，一个斜向上运动，一个斜向下运动，竖直方向加速度相同，则到达海面前两炮弹之间的距离越来越大，B错误，D正确；到达海面前两炮弹的水平方向速度不变，竖直方向加速度相同，相同时间内速度变化相同，则竖直方向相对速度也不变，C错误． 7．如图所示，从足够高的O处同时抛出两粒相同的石子，其轨迹在同一竖直平面内且轨迹交于P点，抛出时石子1和石子2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向斜向上，v2方向水平．忽略空气阻力，关于两石子在空中的运动，下列说法中正确的是(　D　) A．v1一定小于v2 B．两石子可能同时到达P点 C．石子1的加速度大于石子2的加速度 D．抛出后两石子连线的方向始终不变 【解析】 石子1做斜抛运动，石子2做平抛运动，加速度都为g，故C错误；石子1竖直方向有竖直向上的分速度，到P点时两石子的位移相同，则石子1到达P点的时间较长，即两石子不可能同时到达P点，两石子的水平位移相同，根据v＝可知，石子1的水平速度小于石子2的速度v2，但是石子1的速度v1不一定小于v2，故A、B错误；两石子的加速度相同，则以石子2为参考系，石子1做匀速直线运动，则两石子连线的方向始终不变，故D正确． 8． (2023·江苏卷)达·芬奇的手稿中描述了这样一个实验：一个罐子在空中沿水平直线向右做匀加速运动，沿途连续漏出沙子．若不计空气阻力，则下列图中能反映空中沙子排列的几何图形是(　D　) 　　　　　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D 【解析】 设t＝0时刻，罐子初速度为v0，加速度为a，经过时间t，罐子位移为x1＝v0t＋at2.t＝0时刻漏出的沙子以初速度v0做平抛运动，水平方向位移为x2＝v0t，竖直方向位移y＝gt2，则t时刻沙子与罐子的连线与水平方向夹角θ满足tan θ＝＝＝，为定值，且对任何一粒沙子都满足，故空中沙子排列的图形为一条向右倾斜的直线，故D正确． 二、 计算题 9．(2026·南通期初)如图所示，质量均为m的两小球A、B在O点以v0＝3 m/s的速度向左、向右水平抛出，经过t＝0.4 s进入下方的水平风洞区域．风洞的竖直宽度L＝1 m，长度足够长．球在风洞中受到恒定的水平向左的风力，大小F＝mg，取g＝10 m/s2.求： (1) 球A进入风洞时的速度大小v． (2) 球A、B离开风洞时水平位置间的距离x． 答案： (1) 5 m/s　(2) 3.6 m 【解析】 (1) 设球进入风洞时的竖直分速度为vy 竖直方向小球做自由落体运动，则vy＝gt 球进入风洞时的速度大小v＝ 解得v＝5 m/s (2) 设球在风洞中运动的时间为t1，球在风洞中的水平加速度大小为a，A、B两球在风洞中的水平位移分别为x1、x2 在风洞中竖直方向有L＝vyt1＋gt 由牛顿第二定律得a＝ 由水平方向的运动规律得 x1＝v0t1＋at，x2＝v0t1－at 两球离开风洞时水平位置间的距离 x＝x1＋x2＋2v0t 解得x＝3.6 m 10．如图所示，排球场总长为18 m，设球网高度为2 m，运动员站在网前3 m 处正对球网跳起将球水平击出，不计空气阻力，取g＝10 m/s2． (1) 若击球高度为2.5 m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围． (2) 当击球点的高度低于何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是出界？ 答案： (1) 3 m/s＜v≤12 m/s　(2) m 【解析】 (1) 排球被水平击出后，做平抛运动，如图所示 若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间 t1＝＝s＝ s由此得排球不出界的临界速度v1＝＝12 m/s 若球恰好触网，则球在网上方运动的时间 t2＝＝s＝ s 得排球触网的临界击球速度值 v2＝＝3 m/s 要使排球既不触网又不出界，水平击球速度v的取值范围为3 m/s＜v≤12 m/s (2) 设击球点的高度为h，当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在边界线上 由几何知识可得 ＝ 得h＝＝ m＝ m 即击球高度低于 m时，球不是出界就是触网 学科网（北京）股份有限公司 $