1.1 生活中的立体图形 讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版七年级上册预习 第一章 丰富的图形世界 第 1 节 生活中的立体图形 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时25分钟） ✅ 完成目标：掌握立体图形分类与棱柱特征 1.通读课本立体图形识别部分，自主完成知识点1-2、概念1-6的学习 2.背诵n棱柱公式：顶点2n、棱3n、面n+2 3.完成预习训练相关题目，对照答案订正 打卡自检：能准确识别柱体、锥体、球体，能计算n棱柱顶点、棱、面数量 【Day2 预习任务】（建议用时30分钟） ✅ 完成目标：掌握点线面体关系与旋转体 1.通读课本点线面体与旋转部分，自主完成知识点3-4、概念7-11的学习 2.背诵"点动成线、线动成面、面动成体"动态关系 3.完成剩余所有练习题，对照答案订正 打卡自检：能判断生活实例对应的动态转化，能识别平面图形旋转后的立体图形 一、核心知识点梳理 知识点 1：常见立体图形的认识 其中正方体、长方体都是特殊的四棱柱，棱柱包括三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等。 ⚠️ 易错点标注：圆柱是柱体但不是棱柱！棱柱必须全由平面围成，圆柱有曲面！ 知识点 2：棱柱的特征与分类 按底面多边形边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱…… n 棱柱的数量关系（重点）： 顶点数： 个； 棱数： 条（其中侧棱 条）； 面数： 个（其中侧面 个）； 所有侧棱长 ； 上、下底面 完全相同； 侧面都是 （直棱柱的侧面是 ）。 ⚠️ 易错点标注：棱数是3n，不是2n！总棱数=上下底面棱数+侧棱数=n+n+n=3n，很多同学容易漏掉一组！ 知识点 3：点、线、面、体的关系 静态关系： 图形由 构成； 面与面相交得到 ； 线与线相交得到 ； 动态关系（核心考点）： 点动成 ； 线动成 ； 面动成 。 ⚠️ 易错点标注：雨刷是线动成面，不是点动成线！雨刷本身是一条线，运动后扫过一个面！ 知识点 4：欧拉公式（拓展） 对于任意凸多面体：顶点数 (V) + 面数 (F) - 棱数 (E) = 。 ⚠️ 易错点标注：欧拉公式只适用于凸多面体，有洞的多面体不适用！ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 错误示例 正确写法 避坑口诀 n棱柱棱数记错 五棱柱有10条棱 五棱柱有15条棱 棱数永远是3n 柱体分类混淆 圆柱是棱柱 圆柱是柱体不是棱柱 有曲面≠棱柱 动态转化判断错 雨刷→点动成线 雨刷→线动成面 看起点：雨刷本身是线 欧拉公式用错 V+F+E=2 V+F-E=2 加面减棱等于2 旋转体识别错 直角三角形绕斜边转得圆锥 绕直角边转才得圆锥 圆锥必须绕直角边 。 二、基本概念定义 1.几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，分为立体图形和平面图形。 2.立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形。 3.棱柱：有两个面 ，其余各面都是 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 4.棱：在棱柱中，相邻 的交线叫做棱。 5.侧棱：相邻 的交线叫做侧棱。 6.直棱柱：侧棱与底面 的棱柱，侧面是长方形。本书主要讨论直棱柱。 7.斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱。 8.点：构成几何图形的最基本元素，只有位置，没有大小。 9.线：分为 ，是点运动的轨迹。 10.面：分为 ，是线运动的轨迹。 11.体：几何体，是面围成的封闭空间图形。 三、数学思想方法 1. 分类讨论思想 应用场景：立体图形的分类 分类标准： 按柱体、锥体、球体分类 按有无曲面分类 按棱柱的底面边数分类 举例：将几何体分为 "有曲面"（圆柱、圆锥、球）和 "无曲面"（棱柱、棱锥）两类 2. 数形结合思想 应用场景：将抽象的几何概念与具体图形结合理解。 体现：通过观察具体实物认识抽象几何体；通过画图理解棱柱的顶点、棱、面的数量关系 3. 转化思想（动态生成思想） 核心："点动成线、线动成面、面动成体" 本质：低维元素通过运动生成高维图形 生活实例： 笔尖写字（点动成线） 汽车雨刷器刮玻璃（线动成面） 长方形绕一边旋转形成圆柱（面动成体） 4. 归纳猜想思想 应用：从三棱柱、四棱柱、五棱柱的具体数据中，归纳出 n 棱柱的一般规律 过程：特殊→一般→验证 5. 空间想象思想 培养：通过观察、操作、想象，建立平面图形与立体图形之间的联系 训练：想象平面图形旋转后形成的立体图形 四、预习训练 一、选择题 1.汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（       ） A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.以上答案都不对 2.深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（       ）． A.图1（平安金融中心）——球体 B.图2（华润大厦）——圆柱 C.图3（深业上城主副塔）——棱柱 D.图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 3.下列说法正确的是（       ） A.五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B.如果两个数不相等，那么它们的绝对值也不相等 C.两数相减，差一定小于被减数 D.整数和分数统称为有理数 4.随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像．如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕轴旋转一周可以近似得到该花瓶的是（       ）． A B. C. D. 5.马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（     ） A. B. C. D. 二、填空题   6.一个棱柱的面数为14，棱数是36，则其顶点数为________． 7.下列立体图形中的柱体有________，锥体有________，球有________．（填序号） 8.如图，一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长．这个直七棱柱所有侧面的面积之和是________． 9.如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是______________． 10.如图，现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的几何体其中一个底面的面积为________．（结果保留） 三、解答题   11.观察图中的几何体，回答下列问题： （1）请将图中的几何体分类： 柱体：            （填序号） 锥体：            （填序号） 球体：           （填序号） （2）请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 12.如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． （1）将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是_____；用数学知识解释这一现象是______； （2）求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 13.已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． （1）这个直棱柱是_________棱柱，有_________个面，有_________条棱； （2）求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； （3）通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 14.如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． （1）所得几何体名称是________ （2）根据图中数据，求出该几何体的表面积．（结果保留） 15.数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． （1）这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ （2）这个棱柱一共有      条棱，      个顶点； （3）这个棱柱的侧面积之和是多少？ （4）通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第一章 丰富的图形世界 第 1 节 生活中的立体图形 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时25分钟） ✅ 完成目标：掌握立体图形分类与棱柱特征 1.通读课本立体图形识别部分，自主完成知识点1-2、概念1-6的学习 2.背诵n棱柱公式：顶点2n、棱3n、面n+2 3.完成预习训练相关题目，对照答案订正 打卡自检：能准确识别柱体、锥体、球体，能计算n棱柱顶点、棱、面数量 【Day2 预习任务】（建议用时30分钟） ✅ 完成目标：掌握点线面体关系与旋转体 1.通读课本点线面体与旋转部分，自主完成知识点3-4、概念7-11的学习 2.背诵"点动成线、线动成面、面动成体"动态关系 3.完成剩余所有练习题，对照答案订正 打卡自检：能判断生活实例对应的动态转化，能识别平面图形旋转后的立体图形 一、核心知识点梳理 知识点 1：常见立体图形的认识 其中正方体、长方体都是特殊的四棱柱，棱柱包括三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等。 ⚠️ 易错点标注：圆柱是柱体但不是棱柱！棱柱必须全由平面围成，圆柱有曲面！ 知识点 2：棱柱的特征与分类 按底面多边形边数分类：三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱…… n 棱柱的数量关系（重点）： 顶点数： 2n 个； 棱数： 3n 条（其中侧棱 n 条）； 面数： n+2 个（其中侧面 n 个）； 所有侧棱长 相等 ； 上、下底面 形状、大小 完全相同； 侧面都是 平行四边形 （直棱柱的侧面是 长方形 ）。 ⚠️ 易错点标注：棱数是3n，不是2n！总棱数=上下底面棱数+侧棱数=n+n+n=3n，很多同学容易漏掉一组！ 知识点 3：点、线、面、体的关系 静态关系： 图形由 点、线、面 构成； 面与面相交得到 线 ； 线与线相交得到 点 ； 动态关系（核心考点）： 点动成 线 ； 线动成 面 ； 面动成 体 。 ⚠️ 易错点标注：雨刷是线动成面，不是点动成线！雨刷本身是一条线，运动后扫过一个面！ 知识点 4：欧拉公式（拓展） 对于任意凸多面体：顶点数 (V) + 面数 (F) - 棱数 (E) = 2 。 ⚠️ 易错点标注：欧拉公式只适用于凸多面体，有洞的多面体不适用！ ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 错误示例 正确写法 避坑口诀 n棱柱棱数记错 五棱柱有10条棱 五棱柱有15条棱 棱数永远是3n 柱体分类混淆 圆柱是棱柱 圆柱是柱体不是棱柱 有曲面≠棱柱 动态转化判断错 雨刷→点动成线 雨刷→线动成面 看起点：雨刷本身是线 欧拉公式用错 V+F+E=2 V+F-E=2 加面减棱等于2 旋转体识别错 直角三角形绕斜边转得圆锥 绕直角边转才得圆锥 圆锥必须绕直角边 二、基本概念定义 1.几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形，分为立体图形和平面图形。 2.立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形。 3.棱柱：有两个面 互相平行 ，其余各面都是 四边形 ，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 4.棱：在棱柱中，相邻 两个面 的交线叫做棱。 5.侧棱：相邻 两个侧面 的交线叫做侧棱。 6.直棱柱：侧棱与底面 垂直 的棱柱，侧面是长方形。本书主要讨论直棱柱。 7.斜棱柱：侧棱与底面不垂直的棱柱。 8.点：构成几何图形的最基本元素，只有位置，没有大小。 9.线：分为 直线和曲线 ，是点运动的轨迹。 10.面：分为 平面和曲面 ，是线运动的轨迹。 11.体：几何体，是面围成的封闭空间图形。 三、数学思想方法 1. 分类讨论思想 应用场景：立体图形的分类 分类标准： 按柱体、锥体、球体分类 按有无曲面分类 按棱柱的底面边数分类 举例：将几何体分为 "有曲面"（圆柱、圆锥、球）和 "无曲面"（棱柱、棱锥）两类 2. 数形结合思想 应用场景：将抽象的几何概念与具体图形结合理解 体现：通过观察具体实物认识抽象几何体；通过画图理解棱柱的顶点、棱、面的数量关系。 3. 转化思想（动态生成思想） 核心："点动成线、线动成面、面动成体" 本质：低维元素通过运动生成高维图形 生活实例： 笔尖写字（点动成线） 汽车雨刷器刮玻璃（线动成面） 长方形绕一边旋转形成圆柱（面动成体） 4. 归纳猜想思想 应用：从三棱柱、四棱柱、五棱柱的具体数据中，归纳出 n 棱柱的一般规律 过程：特殊→一般→验证 5. 空间想象思想 培养：通过观察、操作、想象，建立平面图形与立体图形之间的联系 训练：想象平面图形旋转后形成的立体图形 四、预习训练 一、选择题 1.汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，用数学知识解释为（       ） A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.以上答案都不对 【答案】 B 【解析】 本题考查点、线、面、体的动态转化关系，需结合雨刷的运动形式判断对应数学原理. 【解答】 解：汽车雨刷可看作一条线，汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净， 用数学知识解释为线动成面. 故选：B. 2.深圳地标建筑的外观蕴含丰富的数学立体图形元素，是“数学源于生活”的生动体现．请观察下方四幅地标图片，其可以近似地看作立体图形对应正确的是（       ）． A.图1（平安金融中心）——球体 B.图2（华润大厦）——圆柱 C.图3（深业上城主副塔）——棱柱 D.图4（深圳湾区之光摩天轮）——圆锥 【答案】 C 【解析】 本题考查常见的几何体根据地标建筑几何体的特征，对各选项对应的地标建筑进行分析判断即可. 【解答】 解：A. 平安金融中心不能近似看成球体，不符合题意； B. 华润大厦不能近似看成圆柱，不符合题意； C. 深业上城主副塔可以近似看成棱柱，符合题意； D. 深圳湾区之光摩天轮不能近似看成圆锥，不符合题意. 故选：C. 3.下列说法正确的是（       ） A.五棱柱有10个顶点，10条棱，7个面 B.如果两个数不相等，那么它们的绝对值也不相等 C.两数相减，差一定小于被减数 D.整数和分数统称为有理数 【答案】 D 【解析】 根据五棱柱的定义和有理数的概念和运算及绝对值的相关知识解答选项A中五棱柱的棱数错误，选项B中不相等的数可能绝对值相等，选项C中差可能大于被减数，选项D符合有理数的定义. 【解答】 选项A：五棱柱有两个五边形底面和五个矩形侧面， 个顶点，7个面正确，但棱数应为15（每个底面5条棱，共10条，加上5条侧棱），故A错误； 选项B： 例如3和-3不相等，但 ， 绝对值可能相等，故B错误； 选项C： 例如 ， 差可能大于被减数，故C错误； 选项D： 有理数包括整数和分数， D正确. 故选D.  4.随着人工智能技术的快速发展，利用画图可快速生成多样图像．如图是利用某国产软件生成的一个创意花瓶，下列平面图形绕轴旋转一周可以近似得到该花瓶的是（       ）． A B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查点、线、面、体的关系，掌握几何体的曲面的形状是关键. 根据面动成体，逐一判断选项的形状即可. 【解答】 解：根据面动成体，只有选项C的平面图形绕轴旋转一周可以得到该花瓶. 故选：C. 5.马上过年了，妈妈给孩子准备了一个新年礼盒，该礼盒（图1）是一个八棱柱，将其抽象成图2的八棱柱，若该棱柱所有侧棱长的和是，则每条侧棱的长是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 本题考查了棱柱的侧棱性质，解题的关键是明确八棱柱有8条侧棱且侧棱长度相等． 根据八棱柱侧棱的数量和性质，用所有侧棱长的和除以侧棱的条数，即可求出每条侧棱的长． 【解答】 解： 八棱柱有8条侧棱，且每条侧棱的长度相等， 每条侧棱的长为 ． 故选：C． 二、填空题   6.一个棱柱的面数为14，棱数是36，则其顶点数为____24____． 【答案】 24 【解析】 利用简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为： ，这个公式叫做欧拉公式，公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律，进而得出答案. 【解答】 ：简单多面体的顶点数V，面数F及棱数E之间的关系为： 一个棱柱的面数为14，棱数为36， 顶点数为：V+14-36=2, 解得： V=24. 故答案为：24.  7.下列立体图形中的柱体有________，锥体有________，球有________．（填序号） 【答案】 ,, 【解析】 本题考查常见立体图形的识别,掌握常见立体图形的特征是解题关键. 根据柱体、锥体、球的定义和特征对选项依次判断即可. 【解答】 解：柱体：有两个互相平行且全等的底面，侧面为平行四边形或曲面. 图中①正方体、②长方体、⑤六棱柱、⑥五棱柱、⑦三棱柱、⑧圆柱，都符合柱体特征， 故柱体有：①②⑤⑥⑦⑧； 锥体：只有一个底面，顶部有一个顶点，侧面为三角形或曲面。 图中④圆锥符合锥体特征， 故锥体有：④； 球：只有一个曲面，没有顶点和棱. 图中③球符合特征, 故球有：③. 故答案为：①②⑤⑥⑦⑧，④，③. 8.如图，一个直七棱柱的底面边长都是，侧棱长．这个直七棱柱所有侧面的面积之和是____224____． 【答案】 224 【解析】 本题考查认识立体图形. 根据直七棱柱的形体特征以及长方形面积的计算方法进行计算即可. 【解答】 解：这个直七棱柱的每一个侧面都是长为4cm，宽为8cm的长方形， 所以这个直七棱柱的侧面的面积之和为 故答案为：224. 9.如图，从一个棱长为的正方体的一顶点处挖去一个棱长为的正方体，则剩余部分的表面积是______________． 【答案】 【解析】 从顶点处挖去一个小正方体，挖去小正方体后，小正方体外露的三个面正好可以补上原正方体缺失部分，故表面积不变． 【解答】 解：挖去小正方体后，其实剩下的图形的表面积与原正方体的面表积相等， 剩余部分的表面积为：． 故答案为：． 10.如图，现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的宽所在的直线旋转一周，得到的几何体其中一个底面的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 本题考查了点、线、面、体, 掌握 “面动成体” 和圆柱体的体积计算方法是正确解答的关键。以长方形的长边为轴旋转, 得出圆柱体的底面半径和高, 根据体积的计算方法进行计算即可. 【解答】 解：以宽为轴旋转一周所得到的圆柱体的底面半径为 , 高为 , 因此底面的面积为: , 故答案为： . 三、解答题   11.观察图中的几何体，回答下列问题： （1）请将图中的几何体分类： 柱体：   ① ② ④ ⑤ ⑥          （填序号） 锥体：      ⑦       （填序号） 球体：      ③      （填序号） （2）请用自己的语言描述图②和图⑤的相同点与不同点（各写一条即可） 【答案】 ① ② ④ ⑤ ⑥ ， ⑦ ， ③ 图 ②和图 ⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面 关键. (1) 根据柱体、锥体、球体划分即可； (2) 根据棱柱和圆柱的特点可得出答案. 【解析】 根据相关概念解析 【解答】 （1）解：按柱体、锥体、球体划分可分为三类： 是柱体； ⑦是锥体； ③是球体. （2）解：图 ②和图 ⑤的相同点：都是柱体，都有上、下两个底面且都是平面（答案不唯一）； 不同点：圆柱的底面是圆，圆柱的侧面是曲面，而棱柱的底面是多边形，棱柱的侧面是平面（答案不唯一）.  12.如图，某酒店大堂的旋转门内部由三块宽为、高为的玻璃隔板组成． （1）将此旋转门旋转一周，能形成的几何体是__圆柱___；用数学知识解释这一现象是___面动成体___； （2）求该旋转门旋转一周形成的几何体的体积．（边框及衔接处忽略不计，结果保留） 【答案】 圆柱，面动成体 【解析】 （1）旋转门的形状是长方形；长方形旋转一周，能形成的几何体是圆柱； （2）根据圆柱体的体积底面积高计算即可． 【解答】 （1）解：旋转门的形状是长方形， 旋转门旋转一周，能形成的几何体是圆柱，这能说明的事实是面动成体． 故答案为：圆柱，面动成体． （2）解：该旋转门旋转一周形成的几何体是圆柱， 体积为：． 故形成的几何体的体积是． 13.已知一个直棱柱，它有个顶点，其中一条侧棱长为，底面各边长都为． （1）这个直棱柱是____八_____棱柱，有___10______个面，有____24_____条棱； （2）求这个直棱柱的所有侧面的面积之和； （3）通过对棱柱的了解，请写出n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】 八，10，24； (3) n棱柱共有2n个顶点，共有3n条棱 【解析】 （1）由 棱柱有2n个顶点，有 个面，3n条棱求解可得； （2）由八棱柱有8个侧面求解可得； （3）由n棱柱有2n个顶点，有(n+2)个面，3n条棱求解可得答案. 【解答】 （1）解：因为此直棱柱有16个顶点， 所以由 = 8知，此棱柱是八棱柱，有10个面，有24条棱；. （2）八棱柱的所有侧面的面积之和是：5 ×11×8=440 （cm2）； （3）n棱柱共有2n个顶点，共有3n条棱.  14.如图，已知长方形的长为，宽为，将该长方形绕其中一条长边所在直线旋转一周． （1）所得几何体名称是___圆柱_____ （2）根据图中数据，求出该几何体的表面积．（结果保留） 【答案】 圆柱 【解析】 （1）根据长方形绕其中一条边所在直线旋转一周所得的图形是圆柱； （2）先计算出圆柱的底面积与底面周长，则可计算出侧面积，从而求得表面积． 【解答】 （1）解：长方形绕其中一条边所在直线旋转一周所得的图形是圆柱； 故答案为：圆柱． （2）解：根据题意可得：，， 所以， 所以． 15.数学活动课上，小辰用硬纸板制成了一个底面边长都是、侧棱长是的直七棱柱形笔筒（有盖）． （1）这个直七棱柱共有多少个面？侧面是什么形状？ （2）这个棱柱一共有   21   条棱，  14    个顶点； （3）这个棱柱的侧面积之和是多少？ （4）通过对棱柱的观察，请写出直n棱柱的顶点数及棱的条数． 【答案】 共有9个面；侧面是长方形 21, 14 这个棱柱的侧面积之和是 直n棱柱共有2n个顶点，共有3n条棱 【解析】 （1）直接观察七棱柱即可解答； （2）观察七棱柱即可解答； （3）将根据长方形的面积公式求出每个侧面的面积，再乘以侧面的数量7个即可解答； （4）由七棱柱的规律，总结即可解答. 【解答】 （1）这个直七棱柱有7个侧面，2个底面，共有9个面；侧面是长方形； （2）七棱柱一共有21条棱，一共有14个顶点. 故答案为：21，14； （3） 故这个棱柱的侧面积之和是 （4）直n棱柱共有2n个顶点，共有3n条棱. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $