2.1《认识有理数》讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

北师大版七年级上册预习 第二章 有理数及其运算 第 1 节 认识有理数 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时25分钟） ✅ 完成目标：掌握正负数意义、有理数分类、相反数与数轴基础 1.通读课本正负数与有理数分类部分，自主完成知识点 1-3、6-7、概念 1-6 的学习； 2.背诵有理数分类标准、数轴三要素、相反数定义； 3.完成预习训练题相关题目，对照答案订正。 打卡自检：能准确判断正负数、给有理数分类、能在数轴上描点读数。 【Day2 预习任务】（建议用时30分钟） ✅ 完成目标：掌握绝对值性质、有理数大小比较与综合应用 1.通读课本绝对值与大小比较部分，自主完成知识点 4-5、8-10、概念 7-10 的学习； 2.背诵绝对值三条性质、两个负数比较大小规则、绝对值非负性； 3.完成剩余所有练习题，对照答案订正。 打卡自检：能正确化简绝对值、比较有理数大小、能运用非负性解题。 一、核心知识点梳理 知识点 1：相反意义的量与正负数 生活中像加分与扣分、零上与零下温度这类意义完全相反的量，叫做__________。 把其中一种意义的量规定为正，用带 “+” 号的数表示；相反意义的量规定为负，用带 “-” 号的数表示。 大于0的数是 ，正数前面的 “+” 可以省略不写；小于0的数是 ；____既不是正数，也不是负数。 ⚠️ 易错点标注：0 是正负数的分界点，既不是正数也不是负数！相反意义的量必须是同类量，比如 “向东走” 和 “向西走” 是，“向东走” 和 “上升” 就不是相反意义的量。 知识点 2：有理数的分类 整数分为正整数、_________、负整数三类。 分数分为正分数、__________两类。 ________和________统称为有理数。 ⚠️ 易错点标注：有限小数和无限循环小数都属于分数，但无限不循环小数（如 π）不是有理数！分类时不要漏掉 0，0 是整数，既不属于正整数也不属于负整数。 知识点 3：相反数相关规律 只有________不同的两个数互为 ，0 的相反数是 。 在数轴上，互为相反数的两个点位于________两侧，且到________的距离相等。 ⚠️ 易错点标注：多重符号化简看负号个数，奇负偶正！比如 -(-(-3))=-3，不要数错负号个数。相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数。 知识点 4：绝对值的定义与性质 一个数的________叫做这个数的绝对值，记作|a|，几何意义是 。 正数的绝对值是________；负数的绝对值是________；0 的绝对值是_______。 ⚠️ 易错点标注：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数！比如∣x∣=5，则x=±5，不要漏掉负数解。 知识点 5：有理数大小比较规则 正数____0，负数____0，正数___负数。 两个负数比较大小，________越大，这个数反而越小。 数轴上的数，越往____方向数值越大，右边的数总比左边的数____。 ⚠️ 易错点标注：两个负数比较，绝对值大的反而小！很多同学会直接按正数大小判断，比如写成−5>−3就是典型错误。 知识点 6：数轴的三要素与特征 数轴的三大要素： 、 、________，三者缺一不可。 所有________都可以用数轴上唯一的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数。 ⚠️ 易错点标注：数轴三要素缺一不可！单位长度必须统一，不能一段长一段短。数轴上的点不都表示有理数，还可以表示无理数。 知识点 7：数轴读数与描点 原点左侧的点表示____数，原点右侧的点表示____数，原点表示____。 在数轴上描数时，先判断正负确定左右方向，再根据________确定距离原点的长度。 知识点 8：实际误差表示 形如a±b的标识，代表标准量为____，实际取值范围是。 知识点 9：相反数的代数写法 数的相反数写作_______。 知识点 10：绝对值非负性 任意有理数的绝对值都____0，即 。 如果，那么 ，. ⚠️ 易错点标注：几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0！解题时要先让每个绝对值内部都等于 0，再计算字母的值。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 避坑提示 0 的分类 0 既不是正数，也不是负数 整数分类 整数包含正整数、0、负整数，勿忘 0 绝对值解 绝对值为正数的数有两个，互为相反数 负数比大小 两个负数比大小，绝对值大的反而小 非负性 几个绝对值相加为 0，则每个都为 0 数轴三要素 原点、正方向、单位长度，缺一不可 相反意义的量 必须是同类量，如东对西、收对支 二、基本概念定义 1.相反意义的量：两个量属性相同、________恰好相反的量。 2.正数：大于 0 的数，前面可加 “____” 号，符号可省略。 3.负数：在正数前面加上 “____” 号得到的数，负数___0。 4.整数：________、0、负整数的统称。 5.分数：正分数、________的统称，有限小数、无限循环小数都属于分数。 6.有理数：________和分数的统称。 7.相反数：只有 不同、数量相等的两个数互称相反数，________的相反数是它本身。 8.绝对值：一个数在数轴上对应点到原点的________，就是这个数的绝对值。 9.数轴：规定了________、单位长度、正方向的水平直线。 10.数集：把具有共同特征的数放在一起组成的集合，如正数集合、整数集合等。 三、数学思想方法 1. 数形结合思想 把抽象的有理数、相反数、绝对值和直观的数轴图形结合，用数轴上点的位置、距离分析数的大小、相反数与绝对值特征，是本节核心思想。 2. 分类讨论思想 对有理数按整数 / 分数、正数 / 0 / 负数两种标准分类；分析绝对值性质时分正数、负数、0 三类讨论；比较负数大小时按绝对值分类分析。 3. 转化思想 把生活里相反意义的实际问题，转化为正负数的数学表示；把两个负数的大小比较，转化为它们绝对值的大小比较。 4. 模型思想 用数轴构建表示所有有理数的数学模型；用构建产品误差范围的模型，解决生活质检类问题。 5. 归纳推理思想 从气温、海拔、涨幅等多个生活实例中，归纳出正负数表示相反意义量的通用规律；从多组相反数案例归纳相反数的数轴分布特征。 四、预习训练 一、选择题 1.在，，，，五个数中，负数有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 2.的相反数是（       ） A.6 B. C. D. 3.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作米，则向南运动80米可记作（       ） A.80米 B.米 C.100米 D.米 4.有理数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中不正确的是（       ） A. B. C. D. 5.若，则（       ） A.3 B. C.1 D. 二、 填空题   6.的相反数是__________． 7.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温上升记作，则下降记作__________． 8.若，则      ． 9.在数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数是________. 10.如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为_________________． 11.如果的相反数是最大的负整数，是绝对值最小的数，则   ． 三、 解答题   12.所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，， 正数集合：； 负数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 13.小华设计了一个正方体包装盒的展开图，由于粗心少设计了其中一个盖子，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子，并在补全的图中填入，0.2，，，2，，使得折成的正方体的相对面上的两个数互为相反数． 14.在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序用“”号连接起来． ，，，，．   15.有理数在数轴上的位置如图所示． （1）根据数轴化简：①_______；②_______；③______；④_______；⑤_______；⑥_______； （2）若，求的值． 16.国庆期间，某地方举行特技飞行表演，其中一架飞机从地面起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升2.5千米 下降1千米 上升2千米 下降2.5千米 记作 （1）完成表格； （2）飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是多少千米？ （3）如果飞机每上升1千米需消耗5升燃油，平均每下降1千米需消耗3升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版七年级上册预习 第二章 有理数及其运算 第 1 节 认识有理数 📅 两日预习打卡安排 【Day1 预习任务】（建议用时25分钟） ✅ 完成目标：掌握正负数意义、有理数分类、相反数与数轴基础 1.通读课本正负数与有理数分类部分，自主完成知识点 1-3、6-7、概念 1-6 的学习； 2.背诵有理数分类标准、数轴三要素、相反数定义； 3.完成预习训练题相关题目，对照答案订正。 打卡自检：能准确判断正负数、给有理数分类、能在数轴上描点读数。 【Day2 预习任务】（建议用时30分钟） ✅ 完成目标：掌握绝对值性质、有理数大小比较与综合应用 1.通读课本绝对值与大小比较部分，自主完成知识点 4-5、8-10、概念 7-10 的学习； 2.背诵绝对值三条性质、两个负数比较大小规则、绝对值非负性； 3.完成剩余所有练习题，对照答案订正。 打卡自检：能正确化简绝对值、比较有理数大小、能运用非负性解题。 一、核心知识点梳理 知识点 1：相反意义的量与正负数 生活中像加分与扣分、零上与零下温度这类意义完全相反的量，叫做___互为相反意义的量_______。 把其中一种意义的量规定为正，用带 “+” 号的数表示；相反意义的量规定为负，用带 “-” 号的数表示。 大于0的数是 正数 ，正数前面的 “+” 可以省略不写；小于0的数是 负数 ；__0__既不是正数，也不是负数。 ⚠️ 易错点标注：0 是正负数的分界点，既不是正数也不是负数！相反意义的量必须是同类量，比如 “向东走” 和 “向西走” 是，“向东走” 和 “上升” 就不是相反意义的量。 知识点 2：有理数的分类 整数分为正整数、____0______、负整数三类。 分数分为正分数、____负分数______两类。 ____整数____和____分数____统称为有理数。 ⚠️ 易错点标注：有限小数和无限循环小数都属于分数，但无限不循环小数（如 π）不是有理数！分类时不要漏掉 0，0 是整数，既不属于正整数也不属于负整数。 知识点 3：相反数相关规律 只有____符号____不同的两个数互为 相反数 ，0 的相反数是 0 。 在数轴上，互为相反数的两个点位于____原点____两侧，且到___原点_____的距离相等。 ⚠️ 易错点标注：多重符号化简看负号个数，奇负偶正！比如 -(-(-3))=-3，不要数错负号个数。相反数是成对出现的，不能单独说某个数是相反数。 知识点 4：绝对值的定义与性质 一个数的____数量大小____叫做这个数的绝对值，记作|a|，几何意义是 数轴上表示这个数的点到原点的距离 。 正数的绝对值是___它本身_____；负数的绝对值是___它的相反数_____；0 的绝对值是____0____。 ⚠️ 易错点标注：绝对值等于一个正数的数有两个，它们互为相反数！比如∣x∣=5，则x=±5，不要漏掉负数解。 知识点 5：有理数大小比较规则 正数__大于__0，负数__小于__0，正数__大于__负数。 两个负数比较大小，___绝对值_____越大，这个数反而越小。 数轴上的数，越往__右__方向数值越大，右边的数总比左边的数__大__。 ⚠️ 易错点标注：两个负数比较，绝对值大的反而小！很多同学会直接按正数大小判断，比如写成−5>−3就是典型错误。 知识点 6：数轴的三要素与特征 数轴的三大要素： 原点 、 正方向 、__单位长度______，三者缺一不可。 所有____有理数____都可以用数轴上唯一的一个点来表示，但数轴上的点不都表示有理数。 ⚠️ 易错点标注：数轴三要素缺一不可！单位长度必须统一，不能一段长一段短。数轴上的点不都表示有理数，还可以表示无理数。 知识点 7：数轴读数与描点 原点左侧的点表示__负__数，原点右侧的点表示__正__数，原点表示__0__。 在数轴上描数时，先判断正负确定左右方向，再根据___绝对值大小_____确定距离原点的长度。 知识点 8：实际误差表示 形如a±b的标识，代表标准量为____，实际取值范围是。 知识点 9：相反数的代数写法 数的相反数写作________。 知识点 10：绝对值非负性 任意有理数的绝对值都____0，即 。 如果，那么 ，. ⚠️ 易错点标注：几个非负数的和为 0，则每个非负数都为 0！解题时要先让每个绝对值内部都等于 0，再计算字母的值。 ⚠️ 高频易错点汇总（必看！） 易错类型 避坑提示 0 的分类 0 既不是正数，也不是负数 整数分类 整数包含正整数、0、负整数，勿忘 0 绝对值解 绝对值为正数的数有两个，互为相反数 负数比大小 两个负数比大小，绝对值大的反而小 非负性 几个绝对值相加为 0，则每个都为 0 数轴三要素 原点、正方向、单位长度，缺一不可 相反意义的量 必须是同类量，如东对西、收对支 二、基本概念定义 1.相反意义的量：两个量属性相同、____意义____恰好相反的量。 2.正数：大于 0 的数，前面可加 “____” 号，符号可省略。 3.负数：在正数前面加上 “____” 号得到的数，负数____0。 4.整数：___正整数_____、0、负整数的统称。 5.分数：正分数、____负分数____的统称，有限小数、无限循环小数都属于分数。 6.有理数：___整数_____和分数的统称。 7.相反数：只有 符号 不同、数量相等的两个数互称相反数，____0____的相反数是它本身。 8.绝对值：一个数在数轴上对应点到原点的___距离_____，就是这个数的绝对值。 9.数轴：规定了___原点_____、单位长度、正方向的水平直线。 10.数集：把具有共同特征的数放在一起组成的集合，如正数集合、整数集合等。 三、数学思想方法 1. 数形结合思想 把抽象的有理数、相反数、绝对值和直观的数轴图形结合，用数轴上点的位置、距离分析数的大小、相反数与绝对值特征，是本节核心思想。 2. 分类讨论思想 对有理数按整数 / 分数、正数 / 0 / 负数两种标准分类；分析绝对值性质时分正数、负数、0 三类讨论；比较负数大小时按绝对值分类分析。 3. 转化思想 把生活里相反意义的实际问题，转化为正负数的数学表示；把两个负数的大小比较，转化为它们绝对值的大小比较。 4. 模型思想 用数轴构建表示所有有理数的数学模型；用构建产品误差范围的模型，解决生活质检类问题。 5. 归纳推理思想 从气温、海拔、涨幅等多个生活实例中，归纳出正负数表示相反意义量的通用规律；从多组相反数案例归纳相反数的数轴分布特征。 四、预习训练 一、选择题 1.在，，，，五个数中，负数有（       ） A.个 B.个 C.个 D.个 【答案】 B 【解析】 先把各式化简，再根据负数的含义进行判断即可． 【解答】 ，为正数； ，为负数； ，为正数； ，为负数； ，为负数； 故选． 2.的相反数是（       ） A.6 B. C. D. 【答案】 A 【解析】 只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【解答】 解：6的相反数是6，故此题答案为． 故选．  3.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向北运动100米记作米，则向南运动80米可记作（       ） A.80米 B.米 C.100米 D.米 【答案】 B 【解析】 此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量。在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示. 【解答】 解：“正”和“负”相对，所以，若向北运动100米记作+100米，则向南运动80米可记作-80米， 故选：B.  4.有理数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中不正确的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由数轴知，再逐一判定即可得出答案． 【解答】 解：由数轴知，， ，选项正确，不符合题意； ，选项错误，符合题意； ，选项正确，不符合题意； ，选项正确，不符合题意． 故选．  5.若，则（       ） A.3 B. C.1 D. 【答案】 A 【解析】 本题考查绝对值的非负性，关键点在于两个非负数的和为零，则每个数都为零利用绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，解答. 【解答】 且 解得 故选：A. 二、 填空题   6.的相反数是___________． 【答案】 ． 【解析】 先根据绝对值的意义计算，再根据相反数的定义解答． 【解答】 解：，而的相反数为， 故答案为：．  7.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．大意是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若气温上升记作，则下降记作___________． 【答案】 【解析】 根据“正”和“负”所表示的意义解答． 【解答】 8.若，则      ． 【答案】 【解析】 此题考查了绝对值的意义和相反数的定义，先由绝对值意义求出，再求即可． 【解答】 解：，， ， 故此题答案为： 9.在数轴上与表示的点相距个单位的点表示的数是___，_____. 【答案】 ， 【解析】 此题暂无解析 【解答】 在数轴上，与表示的点相距个单位长度的点表示的数是或， 故答案为：，  10.如图所示的数轴被墨迹盖住了一部分，则被遮住的所有整数个数为_______13个__________． 【答案】 个 【解析】 本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，有理数大小比较，根据数轴可以得到被盖住的整数，由此即可求解． 【解答】 解：根据题意得：被盖住的整数为 ， 被盖住的整数的个数为， 故答案为：个  11.如果的相反数是最大的负整数，是绝对值最小的数，则 1  ． 【答案】 【解析】 根据相反数的意义、绝对值的意义等确定出、的值，即可求得答案. 【解答】 的相反数是最大的负整数，是绝对值最小的数，，， ， 故答案为． 三、 解答题   12.所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合，请把下列各数填入相应的集合中： ，，，，，，， 正数集合：； 负数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 【答案】 ，，；，，，，一，，，，，，，，． 【解析】 有理数的一种分类是包括整数和分数，另一种分类是包括正数、和负数，非负数包括和正数，正确按分类填写即可． 【解答】 正数集合：； 负数集合：； 分数集合：； 非负数集合：． 13.小华设计了一个正方体包装盒的展开图，由于粗心少设计了其中一个盖子，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子，并在补全的图中填入，0.2，，，2，，使得折成的正方体的相对面上的两个数互为相反数． 【答案】 见解析 【解析】 根据正方体的展开图，补全展开图，然后根据题意，填上数字即可求解. 【解答】 解：如图所示：（补法、填法均不唯一） 14.在数轴上表示下列各数，并把这些数按从小到大的顺序用“”号连接起来． ，，，，． 【答案】 在数轴上表示下列各数见解析，用“”号连接起来 【解析】 先在数轴上表示出各个数，再比较即可． 【解答】 解： ，，故如图所示： ．  15.有理数在数轴上的位置如图所示． （1）根据数轴化简：①_______；②_______；③_______；④_______；⑤_______；⑥_______； （2）若，求的值． 【答案】 ，， 【解析】 （1）由绝对值的几何意义，参考数轴信息判定的正负，数形结合，去绝对值即可得到答案； （2）根据的正负性，由绝对值的代数意义求解即可得到答案． 【解答】 （1） 解：如图所示： ， 则①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； 故答案为：； （2）解：由知，， ， ，，． 16.国庆期间，某地方举行特技飞行表演，其中一架飞机从地面起飞后的高度变化如下表： 高度变化 上升2.5千米 下降1千米 上升2千米 下降2.5千米 记作 （1）完成表格； （2）飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是多少千米？ （3）如果飞机每上升1千米需消耗5升燃油，平均每下降1千米需消耗3升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？ 【答案】 见解析 飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是1千米. 这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了33升燃油. 【解析】 （1）根据具有相反意义的量即可得； （2）将表格中记作的四个数字相加即可得； （3）根据上升和下降消耗燃油的情况列出运算式子，再根据有理数的乘法与加法法则进行计算即可得. 【解答】 （1）解：因为上升和下降是一对具有相反意义的量，且上升2.5千米记作 所以完成表格如下： 高度变化 上升2.5千米 下降1千米 上升2千米 下降2.5千米 记作 +2.5km -1km +2km -2.5km （2）解： （千米）， 答：飞机完成上述四个表演动作后，飞机高度是1千米. （3）解： （升）， 答：这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了33升燃油. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $