学情监测（六）（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

**基本信息** 本卷为九年级数学上册单元复习卷，涵盖二次根式、一元二次方程、相似三角形等核心知识，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，结合社会热点与实际问题，适配单元学情监测。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|最简二次根式（1）、一元二次方程解（2）、概率事件（4）|结合电影《长津湖》票房考增长率（7），体现时代性| |填空题|5|根与系数关系（12）、平行四边形与相似（14）|翻折问题（15）考查空间观念，培养几何直观| |解答题|8|解直角三角形应用（20）、利润问题（22）、几何探究（23）|23题分问题探究-猜想论证-拓展运用，层次分明，培养推理能力与创新意识|

九年级数学HS（上册）学情监测（六） 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列式子属于最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ） A. -1 B. 1 C. -3 D. 3 3. 在中， ，则边的长是（ ） A. B. 3 C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. “买中奖概率为的奖券10张中奖”是必然事件 B. 气象局预报说“明天下雨的概率是70%”，就是说明天70%的时间下雨 C. 抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 D. “水中捞月”是不可能事件 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. k＞﹣1 B. k＞﹣1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k＜﹣1或k=0 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列结论不正确的是（　　） A. AB•CD＝AC•BC B. BC2＝BD•AB C. AC2＝CD•AB D. CD2＝AD•BD 7. 电影《长津湖》讲述了一段波澜壮阔的历史，一上映就获得全国人民的追捧，全国第一天票房约3亿元，假设以后每天票房按相同的增长率增长，第三天的票房收入约4亿元，若把增长率设为x，则下列方程正确的是（　　） A. （1+x）2＝4 B. 3（1+x）2＝4 C. 3（1+x）3＝4 D. （1+x）3＝4 8. 如图，在中，平分，按如下步骤作图： 第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点、； 第二步，连接分别交、于点、； 第三步，连接、． 若，，，则的长是（  ） A. B. C. D. 9. 如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段平移至，那么的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 如图1，在矩形中，点在上，，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、填空题 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 12. 若方程的两个根分别是与，则_____． 13. 有3张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4．随机抽取1张后，放回并混在一起，再随机抽取1张，则两次取出的数字之和是奇数的概率为_________． 14. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，若，则________． 15. 如图，在中，，，，，点在边上，连接，如果将沿直线翻折后，点的对应点为点，那么点到直线的距离为__________． 三、解答题 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，已知点O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为，，以点O为位似中心，在轴的左侧将放大到原来的2倍（即新图形与原图形的相似比为），画出．根据所画图形回答下列问题： （1）分别写出B，C两点的对应点的坐标为_________，_________； （2）如果内部一点M的坐标为，写出点M的对应点的坐标为_________． 18. 如图，与交于点O，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 19. 已知关于的一元二次方程，其中为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根． （2）试写出三个的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由． 20. 越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角 （点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到1米；参考数据：） 21. 4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、3，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张．将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来． （1）第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为______； （2）小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜：否则，乙获胜．小敏设计的游戏规则公平吗？为什么？（请用画树状图或列表等方法说明理由）． 22. 某商店准备销售一种多功能旅行背包，计划从厂家以每个30元的价格进货，经过市场发现当每个背包的售价为40元时，月均销量为280个，售价每增长1元，月均销量就相应减少10个． （1）若使这种背包的月均销量不低于130个，每个背包售价应不高于___________元？ （2）在（1）的条件下，当该这种书包销售单价为多少元时，销售利润是3120元？ （3）这种书包的销售利润有可能达到3700元吗？若能，请求出此时的销售单价；若不能，请说明理由． 23. 在中，，，垂足为点，点为的中点，与相交于点．交于点． （1）【问题探究】（请根据思路梳理的过程填空） 当时，如图1，过点分别作、的垂线，垂足分别为点、．由于，，，所以四边形是矩形，于是①__________度．由于点为的中点，所以与的数量关系是②__________，与的数量关系是③__________．由，可得，则． ，． ．与的数量关系是④__________． （2）【猜想论证】当时，如图2，试猜想与的数量关系并证明你的结论． （3）【拓展运用】若，，如图3，求的长．（直接写出结果不说明理由） 九年级数学HS（上册）学情监测（六） 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A.的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B.是最简二次根式，故本选项符合题意； C.的被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D.不是最简二次根式，故本选项不符合题意, 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的含义，理解最简二次根式的含义是解题的关键． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】把x=-1代入方程x2-2x+m=0得1+2+m=0，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：根据题意，将x=-1代入x2-2x+m=0，得：1+2+m=0， 解得m=-3， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据求出，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，熟记正弦的定义和勾股定理是解题的关键． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用概率的意义，必然事件、随机事件、不可能事件的意义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．“买中奖概率为的奖券10张中奖”是随机事件，故此选项不符合题意； B．气象局预报说“明天的降水概率为70%”，意味着明天大概率下雨，是随机事件，故此选项不符合题意； C．抛掷―枚质地均匀的硬币两次，正面朝上的概率是，故此选项不符合题意； D．“水中捞月”是不可能事件，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了概率的意义以及必然事件、随机事件、不可能事件等知识，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生．正确掌握概率的意义是解题的关键． 【5题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得k≠0且△=（﹣2）2﹣4k（﹣1）＞0， 解得k＞﹣1且k≠0． 故选B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 【6题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积公式计算，判断A；证明，根据相似三角形对应边长成比例列式，判断B；同B的方法判断C；证明，列出比例式，判断D． 【详解】解：A，由三角形面积公式可知，所以AB•CD＝AC•BC，本选项结论正确，不符合题意； B，由，可得，由对应边长成比例可得，所以BC2＝BD•AB，本选项结论正确，不符合题意； C，由，可得，由对应边长成比例可得，所以AC2＝AD•AB，本选项结论错误，符合题意； D，证明，由对应边长成比例可得，CD2＝AD•BD，本选项结论正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键，此题还可以用射影定理直接进行判断． 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】设增长率为x，根据第一天的票房收入及第三天的票房收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设增长率为x， 依题意，得3（1+x）2＝4 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明出四边形的形状是解题关键．根据作法可知：是线段的垂直平分线，再根据等边对等角的性质，得出，证明四边形是菱形，得到，然后由相似三角形的判定和性质，即可求出的长． 【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点坐标的平移，代数式求值．解题的关键在于熟练掌握：点坐标平移，左减右加，上加下减． 由，，，，可得线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至，则，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵，，，， ∴线段向右平移1个单位，向上平移1个单位至， ∴，， ∴， 故选：A． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长． 【详解】解：由图象可知： AE＝3，BE＝4，， ∴AB= 当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图 此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3 ∵ABCD是矩形, ∴AB // CD ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：B． 【点睛】本题考查的是动点问题函数图象，涉及到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程． 二、填空题 【11题答案】 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．分式的分母不能为零，二次根式的被开方数必须非负． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴有意义，要求，且分母，即． 因此，且． 故答案为：且． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用直接开平方法得到，得到方程的两个根互为相反数，所以，解得，则方程的两个根分别是与，则有，然后两边平方得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程的两个根互为相反数， ∵方程的两个根分别是与， ∴， 解得， ∴，， ∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是与， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出表格，找出所有可能结果和满足条件的结果即可求出． 【详解】依题意列的表格如下： 由表格看出共有9种结果，奇数的结果是4种． 故答案是． 【点睛】本次主要考查了概率知识点，准确的找出所有结果和满足条件的结果是解题关键． 【14题答案】 【答案】4 【解析】 【详解】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，和△DEF∽△BCF，由已知条件求出△DEF的面积，根据相似三角形的面积比是相似比的平方得到答案. 解：因为E为AD中点，AD∥BC，所以，△DFE∽△BFC， 所以，，，所以，＝1， 又，所以，4． “点睛”本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质；掌握三角形相似的判定和性质定理是解题的关键，注意：相似三角形的面积比是相似比的平方. 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】过点作于，首先证明是等边三角形，然后通过翻折可得，即可求出，最后解直角三角形求出即可． 【详解】解：如图，过点作于． ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 到直线的距离为． 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并即可得出答案． （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，再利用二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及特殊角的三角函数值，正确化简二次根式是解此题的关键． 【17题答案】 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质． （1）根据位似变换的定义作出点B和点C的对应点，再与点O首尾顺次连接即可得出答案； （2）根据新图形与原图形的相似比为，得到新点横纵坐标是原对应点横纵坐标的倍，据此可得答案． 【小问1详解】 解：画如图所示， 由图知、， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意知，点M的对应点的坐标为， 故答案为：． 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用“AAS”判定两三角形全等即可； （2）先分别求出BE和DC的长，再利用相似三角形的判定与性质进行计算即可． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定与性质等，解决本题的关键是牢记相关概念与公式，能结合图形建立线段之间的关联等，本题较基础，考查了学生的几何语言表达和对基础知识的掌握与应用等． 【19题答案】 【答案】（1）见解析 （2）0，2，，理由见解析 【解析】 【分析】对于（1），先求出b2-4ac，再判断即可； 对于（2），根据求根公式求出方程的解，再根据题意判断． 【小问1详解】 证明：原方程整理，得x2-5x+4-p2=0， ∴b2-4ac=（-5）2-4×（4-p2）=4p2+9＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 0，2，，理由如下： 原方程的解为. ∵一元二次方程有整数解， ∴为大于1的奇数，即3或5或7或···， 当时，； 当时，； 当时，， ··· 所以p的值为0，2，，原方程有整数解． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系等，掌握b2-4ac与一元二次方程的解的关系是解题的关键． 【20题答案】 【答案】8米 【解析】 【分析】过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米，可证四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形，设MF=EF=x，可求FB= x+3.5，由tan∠MBF=，解得 米，可求MN=MF+FN=6.5+1.6≈8米． 【详解】解：过E作EF⊥MN于F，连接EB，设MF=x米， ∵∠EFN=∠FND=∠EDN=∠A=90°， ∴四边形FNDE，四边形FNAB均是矩形， ∴FN=ED=AB=1.6米，AD=BE=3.5米， ∵∠MEF=45°，∠EFM=90°， ∴MF=EF=x, ∴FB=FE+EB=x+3.5， ∴tan∠MBF=， ∴解得 米， 经检验米符合题意， ∴MN=MF+FN=6.5+1.6=8.1≈8米． 【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键． 【21题答案】 【答案】（1）；（2）公平，见解析 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能，进而求出概率； （2）利用树状图法列举出所有可能，再利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】解：（1）共有4种等可能的结果，其中数字是负数情况占1种 P（数字是负数）=； （2）用树状图或表格列出所有等可能的结果： ∵共有12种等可能的结果，两个数的差为非负数的情况有6种， ∴（结果为非负数）， （结果为负数）． ∴游戏规则公平． 【点睛】本题考查的是概率以及游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【22题答案】 【答案】（1）每个背包售价应不高于55元． （2）当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元． （3）这种书包的销售利润不能达到3700元． 【解析】 【分析】（1）设每个背包的售价为x元，则月均销量为个，根据月均销量不低于130个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最大值即可得出结论； （2）根据总利润=每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （3）根据总利润=每个的利润×月均销量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-36＜0，即可得出这种书包的销售利润不能达到3700元． 【小问1详解】 解：设每个背包的售价为x元，则月均销量为个，依题意， 得：， 解得：． 答：每个背包售价应不高于55元． 【小问2详解】 依题意，得：， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：当该这种书包销售单价为42元时，销售利润是3120元． 【小问3详解】 依题意，得：， 整理，得：． ∵， ∴该方程无解， ∴这种书包的销售利润不能达到3700元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【23题答案】 【答案】（1）①90；②；③；④ （2）； 证明：如图2，过点分别作、的垂线，垂足分别为点、． ，，， ∴四边形是矩形， ，，， 又∵点为的中点， ，即， 同理，， 在中，， ，即， ，即， ， ． 又， ， ∴ ∴与的数量关系是：． （3） 【解析】 【分析】（1）根据思路梳理的过程填空即可； （2）过点分别作、的垂线，垂足分别为点、．证明，可得结论； （3）过点作于点，通过三角函数结合勾股定理可求出、，通过等角的余角相等得到，即可证明，利用相似三角形的性质解决问题即可． 【小问1详解】 解：当时，如图1，过点分别作、的垂线，垂足分别为点、． ，，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵点为的中点， ，， ， ，则． ， ． ． ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图3，过点作于点， 由（2）得，． 可得， 设，， 在中，，， ， 解得：（舍负） ，， ，， ， 又， ， ，即， 解得：， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $