学情监测（五）（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

**基本信息** 本卷聚焦九年级概率单元复习，以生活情境与文化素材为载体，覆盖概率概念、计算及应用，适配单元学情监测，融合地方真题趋势。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|必然事件、随机事件、几何概率|结合太极图考几何概率（文化传承），猜拳游戏考和为奇数概率（生活情境）| |填空|5|频率估计概率、多袋摸球|电子元件通电概率（科学情境），不等式组有解结合概率（数学思维）| |解答|8|列表/树状图、统计与概率综合|跳绳成绩统计与分组概率（数据意识），摸球试验与频率稳定性（模型观念）|

九年级数学HS（上册）学情监测（五） 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 1. 下列事件中是必然事件的是（ ） A. 一个直角三角形的两锐角分别是和 B. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 C. 当是实数时， D. 长为、、的三条线段能围成一个三角形 2. 下列说法：①“掷一枚质地均匀的骰子两次，两次向上的点数都是6”是随机事件；②小概率事件一定不会发生．（ ） A. 只有①正确 B. 只有②正确 C. ①②都正确 D. ①②都错误 3. 下列图形：任取一个是中心对称图形的概率是 （ ） A. B. C. D. 1 4. 小明在做一道正确答案是2的计算题时，由于运算符号(“＋”“－”“×”或“÷”)被墨迹污染，看见的算式是“4■2”，那么小明还能做对的概率是( ) A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ） A. 摸出黑球的可能性最小 B. 不可能摸出白球 C. 一定能摸出红球 D. 摸出红球的可能性最大 6. 某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为，那么他遇到黄灯的概率为 A. B. C. D. 7. 小明与小亮做猜拳游戏（各出单拳），规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为奇数时，小明获胜，那么，小明获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如796就是一个“中高数”．若十位上数字为7，则从3、4、5、6、8、9中任选两数，与7组成“中高数”的概率是（ ） A. B. C. D. （2025・大连） 9. 如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为(　　) A. B. C. D. 10. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字．随机摸出一个小球（不放回），将其数字记为，再随机摸出另一个小球，将其数字记为，则关于的方程有实数根的概率是（    ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 如图是一个转盘，转盘共有红、白两种不同的颜色，已知红色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针指向白色区域的概率是__________． 12. 小芳抛一枚硬币10次，有7次正面朝上，当她抛第11次时，正面朝上的概率为______． 13. 现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是_____． （2025・滨州） 14. 在一次试验中，每个电子元件▄有通电或断电两种状态，并且这两种状态的可能性相等．如图，在一定时间段内，A，B之间电流能够正常通过的概率是______． 15. 有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为_________. 三、解答题 16. 如图，在的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C． （1）使A，B，C三点在同一直线上是______事件； （2）使△ABC为等腰三角形的概率是______． 17. 某人的钱包内有10元、20元和50元的纸币各1张，从中随机取出2张纸币． （1）求取出纸币的总额是30元的概率； （2）求取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率． 18. 2021年河南中招理化生实验考试中，化学有4个大实验，8个小实验，4个大实验分别是“探究二氧化碳的制取、收集和检验”，“探究酸的某些化学性质”，“探究实验室制取二氧化碳的酸性废液的处理方法”，“探究碳酸钠的某些性质”，它们分别用①，②，③，④表示．若今年理化生实验考试试题不变，且在一次模拟考试中小辉和小龙都抽到化学大实验试题，则他们抽到同一个大题的概率是多少？ 19. 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的球（除颜色外其余都相同）若干，其中红球有2个，黄球有1个，已知从中任意摸出一个是红球的概率为． （1）试求袋中蓝球的个数； （2）一次从袋中同时摸出两个球，求出摸到两个不同颜色球的概率． 20. 今年某市为创评“全国文明城市”称号，周末团市委组织志愿者进行宣传活动.班主任梁老师决定从4名女班干部（小悦、小惠、小艳和小倩）中通过抽签的方式确定2名女生去参加. 抽签规则：将4名女班干部姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，梁老师先从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名. （1）该班男生“小刚被抽中”是 事件，“小悦被抽中”是 事件(填“不可能”或“必然”或“随机”)；第一次抽取卡片“小悦被抽中”的概率为 ； （2）试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出“小惠被抽中”的概率． （2025・广州） 21. 甲、乙两位同学相约打乒乓球． （1）有款式完全相同的4个乒乓球拍（分别记为A，B，C，D），若甲先从中随机选取1个，乙再从余下的球拍中随机选取1个，求乙选中球拍C的概率； （2）双方约定：两人各投掷一枚质地均匀的硬币，如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上，那么甲先发球，否则乙先发球．这个约定是否公平？为什么？ 22. 在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；（精确到 （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 23. 某校为了“中考体测”的顺利进行，引导同学们积极参加体育锻炼，学校购买了一批跳绳供学生借用，现从九年级随机抽取了部分学生对新跳绳进行测试，绘制了如下的两幅不完整的统计表和统计图．请根据相关信息，解答下列问题： 一分钟跳绳成绩的分组统计表 组别 跳绳次数分段 频数 A 10 B C 42 D 13 一分钟跳绳成绩的扇形统计图 （1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 人，统计表中的的值为 ； （2）抽取学生一分钟跳绳成绩的中位数所在的组别是 ； （3）现在指定两名男生和两名女生负责跳绳发放和整理工作，若两人一组，随机组合，则恰好分组都是一男一女的概率是多少？ 九年级数学HS（上册）学情监测（五） 一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．） 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查必然事件的概念，必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，根据定义逐一判断各选项即可得到答案. 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角和为，但不一定是和，该事件可能发生也可能不发生，属于随机事件； B、抛掷一枚硬币，落地后可能正面朝上也可能反面朝上，该事件是随机事件； C、对任意实数，都有，该事件一定发生，是必然事件； D、根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，，这三条线段不能围成三角形，该事件是不可能事件． 【2题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用随机事件的定义以及概率的意义分别分析得出答案． 【详解】①“掷一枚质地均匀的骰子两次，两次向上的点数都是6”是随机事件，正确； ②“小概率事件也有可能发生”，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了随机事件的定义以及概率的意义，熟练掌握其定义和意义是解题的关键. 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查概率的计算和中心对称图形的概念,根据中心对称图形的概念可以判定①③④是中心对称图形,4个图形任取一个是中心对称的图形的概率为P=,因此本题正确选项是C. 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算符号只有“+”、“-”、“×”或“÷”有4种，再根据概率的定义进行解题即可. 【详解】因为运算符号只有“+”、“-”、“×”或“÷”有4种情况， 小明能做对是其中两种情况：“÷”或“-”，所以小明还能做对的概率是． 故选D． 【点睛】概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球， ∴摸出黑球的概率是， 摸出白球的概率是， 摸出红球的概率是， ∵＜＜， ∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大； 故选：D． 【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯， ∴在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1．， ∵在路口遇到红灯的概率为，遇到绿灯的概率为， ∴遇到黄灯的概率为．故选D． 【7题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】画出树状图，共有种等可能的结果，两人出拳的手指数之和为奇数的结果有种，再由概率公式即可得出答案． 【详解】解：画树状图如图： 共有种等可能的结果，两人出拳的手指数之和为奇数的结果有种， ∴小明获胜的概率为． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：列表得： ∵共有30种等可能的结果，与7组成“中高数”的有12种情况，∴与7组成“中高数”的概率是：=．故选C． 考点：1．列表法与树状图法；2．新定义． 视频 （2025・大连） 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由图可知，黑色区域是圆面积的一半，设正方形的边长为，用黑色区域的面积除以正方形的面积即可. 【详解】设正方形的边长为， 针尖落在黑色区域内的概率． 故选C． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【10题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率，一元二次方程根的判别式的运用，解答时运用列表求出所有可能的情况是关键． 首先画树状图，然后求得所有等可能的结果与满足关于x的方程有实数根的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵有实数根， ∴， ∵由树状图可得共有6种等可能的结果，满足关于x的方程有实数根的有，，共3种情况， ∴满足关于x的方程有实数根的概率是： ． 故选A． 二、填空题 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】求出白色区域面积是整个圆形转盘面积的几分之几即可求出自由转动转盘，停止后指针落在白色区域的概率． 【详解】P（指针落在白色区域）=， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了几何概率的计算方法，在解题时能够计算出红色区域面积占整个圆形转盘面积的比例是本题的关键． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算，根据概率公式即可解答． 【详解】解：抛一枚硬币，有正面向上和反面向上2种等可能情况， ∴正面向上的概率为， 故答案为：． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得． 【详解】解：列表如下： 黄 红 红 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 白 （黄，白） （红，白） （红，白） 由表知，共有9种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有4种结果， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为， 故答案为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图的知识，解题的关键是能够用列表或列树状图将所有等可能的结果列举出来，难度不大． （2025・滨州） 【14题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列举法求概率，列出所有等可能的结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：由题意，共有A断B通，A断B断，A通B断，A通B通，共4种等可能的结果，其中A，B之间电流能够正常通过的结果只有A通B通1种情况， 故A，B之间电流能够正常通过的概率是； 故答案为：． 【15题答案】 【答案】 【解析】 【详解】解：设不等式有解，则不等式组的解为， 那么必须满足条件，， ∴， ∴满足条件的a的值为6，7，8，9， ∴有解的概率为． 故答案为． 考点：1．解一元一次不等式组；2．含字母系数的不等式；3．概率公式． 视频 三、解答题 【16题答案】 【答案】 ①. 随机 ②. 【解析】 【分析】（1）根据随机事件的定义即可判断； （2）找到满足条件的点的个数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）在余下的7个点中任取一点C； A，B，C三点可能再同一直线上，也可能不在同一条直线上， 故是随机事件， 故答案为：随机； （2）使△ABC为等腰三角形的点有如下4种情况， 故概率为：． 【点睛】本题考查了随机事件的概率、利用概率公式求概率，解题的关键是找出满足事件的情况数，再利用概率公式求解． 【17题答案】 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）先列表得到所有3种等可能的结果数，再找出总额是30元所占结果数，然后根据概率公式计算； （2）找出总额超过51元的结果数，然后根据概率公式计算． 试题解析：（1）列表： 共有3种等可能的结果数，其中总额是30元占1种，所以取出纸币的总额是30元的概率=； （2）共有3种等可能的结果数，其中总额超过51元的有2种，所以取出纸币的总额可购买一件51元的商品的概率为． 考点：列表法与树状图法． 视频 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与抽到同一个大题的结果，再利用概率公式求解即可求得答案； 【详解】下表列举出小辉和小龙抽到化学实验大题的所有可能结果 ① ② ③ ④ ① ①① ①② ①③ ①④ ② ②① ②② ②③ ②④ ③ ③① ③② ③③ ③④ ④ ④① ④② ④③ ④④ 由表可以看出，小辉和小龙抽到化学实验大题的可能结果共有16种，并且它们出现的可能性相等 他们抽到同一个大题（记为事件A）的结果有4种：①①，②②，③③，④④． 答：他们抽到同一个大题的概率是． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m是解题的关键，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率． 【19题答案】 【答案】（1）1 （2）两次摸到不同颜色球的概率为 【解析】 【分析】（1）根据摸出红球的概率，以及红球个数，利用概率公式求出袋中球总数，即可确定出蓝球的个数； （2）列表得出所有等可能的情况数，找出摸到不同颜色球的情况数，即可求出所求的概率． 【小问1详解】 解：由题意可知：袋中共有个球， 则蓝球的个数为个． 【小问2详解】 解：画树状图如下： ∴一共有12种情况，摸到不同颜色球的有10种情况， ∴两次摸到不同颜色球的概率为： ． 【20题答案】 【答案】（1）不可能；随机；；（2） 【解析】 【分析】（1）根据从女班干部中抽取，由此可知男生“小刚被抽中”是不可能事件，“小悦被抽中”是随机事件，第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，由此即可求得概率； （2）画树状图得到所有可能的情况，然后找出符合题意的情况数，利用概率公式进行计算即可得． 【详解】（1）因为从女班干部中进行抽取，所以男生“小刚被抽中”是不可能事件， “小悦被抽中”是随机事件， 第一次抽取有4种可能，“小悦被抽中”有1种可能，所以“小悦被抽中”的概率为， 故答案为不可能， 随机， ； （2）画树状图如下： 由树状图可知共12种可能，其中“小惠被抽中”有6种可能， 所以“小惠被抽中”的概率是: ． 【点睛】本题考查了随机事件、不可能事件、列表或画树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （2025・广州） 【21题答案】 【答案】（1） （2）公平．理由见解析 【解析】 【分析】（1）用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，再用乙选中球拍C的结果数除以总的结果数即可； （2）分别求出甲先发球和乙先发球的概率，再比较大小，如果概率相同则公平，否则不公平． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 一共有12种等可能的结果，其中乙选中球拍C有3种可能的结果， ∴乙选中球拍C的概率； 【小问2详解】 解：公平．理由如下： 画树状图如下： 一共有4种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上有2种可能的结果， ∴甲先发球的概率， 乙先发球的概率， ∵， ∴这个约定公平． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求等可能事件的概率，游戏的公平性，掌握列表法或画树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键． 【22题答案】 【答案】（1）0.5 （2）2（个） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数； （3）先利用列表法展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：由题可得，当很大时，摸到白球的频率接近； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）摸到白球的概率为， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数（个）； 【小问3详解】 解：列表得： 第二次 第一次 白1 白2 黑1 黑2 白1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2） 白2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2） 黑1 （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2） 黑2 （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2） 由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能． （颜色相同）． 【23题答案】 【答案】（1）100 ，35 （2）C （3）恰好分组都是一男一女的概率是 【解析】 【分析】（1）将A组的频数除以扇形所占的百分比即可求出学生总数，再将总数减去A、C、D的频数即可求出m； （2）由（1）可知学生总数为100人，按顺序排列后，中位数应该是55和56两个数的平均数，A组是10人，B组为35人，即可得答案； （3）通过列表即可分析出分组都是一男一女的概率． 【小问1详解】 解：学生总数为：10÷10%=100，m=100-10-42-13=35， 故答案是：100，35； 【小问2详解】 ∵A、B、C、D组已经按顺序排列，学生总数为100人，A组是10人，B组为35人， ∴中位数应该是第51个数和第52个数的平均数， ∴中位数在C组； 【小问3详解】 根据题意列表 男1 男2 女1 女2 男1 男2，男1 女1，男1 女2，男1 男2 男1，男2 女1，男2 女2，男2 女1 男1，女1 男2，女1 女2，女1 女2 男1，女2 男2，女2 女1，女2 由上表可知，共有12种情况，并且它们出现的机会均等，其中都是一男一女的有8种， 所以， 【点睛】本题考查了频数，中位数和概率的求法，解题的关键是列出表格求概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $