第22章 章末考点整合与素养提升（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦相似图形与变换，通过分点突破搭建学习支架，从平行线分线段成比例入手，逐步过渡到相似三角形判定与性质、应用及坐标变换，衔接前后知识脉络。 资料包含真题演练与素养提升，部分题目配有视频解析，分层训练巩固基础，结合实践操作题培养几何直观与推理能力，助力学生用数学语言表达现实问题，提升应用意识。

章末考点整合与素养提升 01分点突破 考点一 平行线分线段成比例 1. 如图，∥∥，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F．已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，D在AC边上，，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 考点二 相似图形 3. 如图，取一张长为，宽为的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边、应满足的条件是（ ） A. B. C. D. （2025·甘肃） 4. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录．为丰富校园生活，某校开展风筝制作活动，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝两条对角线长的和为________． 考点三 相似三角形的判定与性质 5. 如图，，，，，，，，，都是方格纸中的格点（即小正方形的顶点），要使与相似，则点应是，，，四点中的（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 6. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则与的周长比为_________． 7. 如图，正方形中，为的中点，于，延长交于点，延长交于点，交于，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 考点四 相似三角形的应用 8. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿上长为时，它离地面的高度为，则坝高为__________． 9. 如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是，点O是凸透镜的中心，光线，点F是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点D，B，O，F在同一条直线上． （1）如图1，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为 ； ②求此时虚像的高度； （2）如图2，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 考点五 图形的变换与坐标 10. 在坐标平面内，的顶点位置如图所示． （1）将作平移变换，使得点变换成得到 （2）以点O为位似中心，在网格中画出与位似的图形，且使得与的相似比为2：1． 02真题演练 （2025・广东） 11. 下列命题：①两个相似多边形面积之比等于相似比的平方：②两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比；③在与中，，，那么；④已知及位似中心O，能够作一个且只能作一个三角形与位似，使位似比为2其中真命题的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 （2025·安徽） 12. 如图是赵师傅利用一块三角形的白铁皮剪成一块正方形铁皮备用．在△ABC中，BC＝120，高AD＝80，正方形EFGH的边GH在边BC上，E，F分别在边AB，AC上，则正方形EFGH的边长为（ ） A. 36 B. 42 C. 48 D. 54 （2025·浙江） 13. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端（人眼）望点，使视线通过点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．令BG=x（m）， EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. （2025·扬州） 14. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ （2025・陕西） 15. 如图，已知矩形OABC的面积为27，以O为位似中心，作矩形OABC的位似图形OEDF，使矩形OABC与矩形OEDF的位似比为3：2，若双曲线y＝恰好经过点D，则k的值为_____． （2025・广西） 16. 如图，在平行四边形中，为对角线上一点，交于点，交的延长线于点． （1）请找出一对相似的三角形并证明； （2）若，求的值． 03素养提升 17. 【实践与操作】如图1、图2是正方形网格图，每个最小的正方形的边长都为1，它的顶点叫做格点． （1）如图1，、、、四点均在正方形网格的格点上，线段、相交于点，连接，，求线段的长． （2）如图2，点、点、点、点都是格点，在边上作出点，使得与相似．（只能使用无刻度的直尺和铅笔作图，保留作图痕迹） 章末考点整合与素养提升 01分点突破 考点一 平行线分线段成比例 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】∵∥∥，， ∴===， 故选D． 视频 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】过O作BC的平行线交AC与G，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出的比． 【详解】解：如图，过O作，交AC于G， ∵O是BD的中点， ∴G是DC的中点． 又， 设，又， ， 故选B． 【点睛】考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式． 考点二 相似图形 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先根据两次对折得到小长方形的长和宽，再利用相似多边形对应边成比例的性质，列方程求解与的关系． 【详解】解：原长方形长为，宽为 由图可知，两次对折均平行于宽边进行， 小长方形的长为，宽为  小长方形与原长方形相似， ，即 整理得：  ， ． （2025·甘肃） 【4题答案】 【答案】195 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的应用，证明大风筝和小风筝相似，相似比为，即可解决问题．熟练掌握相似多边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， 大风筝和小风筝相似，相似比为， 大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， 大风筝两条对角线的长分别为和， 大风筝两条对角线长的和为， 故答案为：195． 考点三 相似三角形的判定与性质 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】令每个小正方形的边长为1，分别求出两个三角形的边长，从而根据三条边对应成比例，两三角形相似进行解答． 【详解】设小正方形的边长为，则的各边分别为、、， 只能是或时，△DEF各边是6，，． 此时与各边对应成比例，与相似， 故选：C 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 【6题答案】 【答案】 【解析】 【分析】设、分别与交于点、 ，则 ，可得到，在网格图中，利用锐角三角函数值得到，继而，可得到，证得，然后分别求出、，即可解答． 【详解】如图， 设、分别与交于点、 ，则 ， ∴ , ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 由图可知： ， ∴ ， 即与的相似比为 ， ∴与的周长比为 故答案为： 【点睛】本题主要考查了网格图中的两个相似三角形周长之比，解题的关键是找到相似三角形的相似比． 【7题答案】 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据正方形性质，结合全等三角形、相似三角形的判定与性质，逐一验证四个结论． 【详解】解：在 和 中， ， 四边形是正方形， ，  ，结论①正确； ，   设正方形 的边长为 ∵为 中点， ∴ 由 可知  ， ，结论②正确； ③如下图示，过点作， ∴根据 ，有 ， 则： ， ∴ ， ， 即是：，故③正确． 在中， 于， ， ​ ，即，结论④正确． 综上所述，正确结论的序号是 ①②③④． 考点四 相似三角形的应用 【8题答案】 【答案】2.7 【解析】 【分析】根据，可得，进而得出即可． 【详解】解：如图，过作于，则， ∴，即， 解得， 故答案为：2.7 【点睛】本题考查了相似三角形应用，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质． 【9题答案】 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到线段之间的关系． （1）根据可证，根据相似三角形对应边成比例可证；由可得，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据的高度可求的高度； （2）根据可证，根据相似三角形的性质可证，根据焦距的长为，可求，从而可得：，根据可知，已知，从而可求的长度． 【小问1详解】 解：①如图1，∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， ∴， 答：此时虚像的高度为； 【小问2详解】 解：如图2，∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：此时物距的长为． 考点五 图形的变换与坐标 【10题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）点变换成得到平移的方向和距离，然后根据平移的规律即可求解； （2）把的横纵坐标都乘以2或者，得到对应点的坐标，然后描点即可求解． 【小问1详解】 如图，为所作； 【小问2详解】 如图，为所作． 【点睛】本题考查作图，解题的关键是掌握以原点为位似中心的对应点的坐标变换规律． 02真题演练 （2025・广东） 【11题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质及位似比的概念解答即可． 【详解】①正确，两个相似多边形面积之比等于相似比的平方； ②正确，两个相似三角形的对应高之比等于它们的相似比； ③正确，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：在△ABC与△A′B′C′中，，∠A=∠A′，那么△ABC∼△A′B′C′； ④错误，因为已知△ABC及位似中心O，能够作两个三角形与△ABC位似，且位似比为2． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，涉及到相似三角形的性质和位似比的有关概念，熟记性质概念是解题的关键． （2025·安徽） 【12题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD，从而得出边长之比，得到，进而求出正方形的边长． 【详解】解：设正方形零件的边长为x 在正方形EFGH中，EF∥BC，EH∥AD ∴∠AEF=∠ABC，∠EAF=∠BAC；∠BHE=∠BDA，∠B=∠B ∴△AEF∽△ABC，△BEH∽△BAD ∴ ∴ ∴ 解得：x＝48 即：正方形零件的边长为48； 故选：C． 【点睛】本题考查综合考查相似三角形性质的应用以及正方形的有关性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （2025·浙江） 【13题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，然后根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （2025·扬州） 【14题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到， ∴， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， 平分，故②正确； ， ， ， ， ， ， 故③正确 故选D 【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． （2025・陕西） 【15题答案】 【答案】12 【解析】 【分析】设点D的坐标为（m，n），则OE=m，DE=n，由矩形OABC与矩形OEDF的位似比为3：2，得到，可推出，则． 【详解】解：设点D的坐标为（m，n）， ∴OE=m，DE=n， ∵矩形OABC与矩形OEDF的位似比为3：2， ∴， ∴， ∴ ∵点D（m，n）在上， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了位似图形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （2025・广西） 【16题答案】 【答案】（1），证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，即可找到，即可求解； （2）根据，得到，由平行四边形的性质得到得到，再证明，得到，设，则，故，再表示出MN，故可代入求解． 【详解】解：（1）， ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴，． ∴． （2）∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，． ∴， ∴． 设，， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质及比例式的应用． 03素养提升 【17题答案】 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由题意可得，则，根据相似三角形的性质将各数据代入可求出，即可求出线段的长； （2）作点与点关于对称，连接与的交点即为点，此时 ，，则 ． 【小问1详解】 解：， ， ， ，，， ， 【小问2详解】 解：作点与点关于对称，连接与的交点即为点，如图所示： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $