第22章 阶段提升自测 (二)（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦相似三角形的判定与性质，课堂导入从基础判定（如等边三角形相似）切入，通过矩形、平行四边形等几何图形中的相似问题搭建学习支架，逐步过渡到实际应用（如正方体加工、道路面积计算），衔接前后知识脉络。 特色在于题目设计层次分明，从基础选择到综合解答，融入开放条件添加、图形分割等探究性问题，结合实际应用场景。能培养学生的几何直观和推理能力，提升模型意识与应用意识，帮助学生用数学思维解决问题，适合自主学习与课堂检测。

阶段提升自测（二） 一、选择题 1. 下列说法中正确的是（ ） A. 两个直角三角形相似 B. 两个等腰三角形相似 C. 两个等边三角形相似 D. 两个锐角三角形相似 2. 如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( ) A. B. C. D. 3. 如图，点是矩形的边上一点，射线交的延长线于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，则图中相似三角形共有（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 5. 如图，正方形中，为中点，，那么图中与相似的三角形有（ ） A. B. C. D. ， 6. 如图，一块材料的形状是等腰，底边，高．若把这块材料加工成正方体零件（阴影部分为正方体展开图），则正方体的边长为（ ） A. 20 B. 24 C. 28 D. 32 二、填空题 7. 如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF，写出图中任意一对相似三角形：_____． 8. 如图，点在的边上，请你添加一个条件，使得，这个条件可以是__________． 9. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，顶点、分别在、轴的正半轴上．点在对角线上，且，连接并延长交边于点．则点的坐标为__________． 10. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴上，，与反比例函数的图象交于点，且，过点作轴的垂线交轴于点，若，则的值为__________． 11. 如图，一条宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为________． 三、解答题 12. 如图，在中，，，，． （1）求的长； （2）若，求证：． 13. 如下图，在和中，． （1）判断这两个三角形是否相似，并说明理由． （2）在这两个三角形中，能否分别过点A，D各作一条辅助线，使分割成的两个三角形与分割成的两个三角形分别对应相似？如果能，证明你的结论；如果不能，请说明理由． 14. 中，，，为上的动点，小慧拿含角的透明三角板，使角的顶点落在点，三角板可绕点旋转． （1）如图1，当三角板的两边分别交、于点、时．求证：． （2）将三角板绕点旋转到图2情形时，三角板的两边分别交的延长线、边于点、．与还相似吗？请说明理由． 阶段提升自测（二） 一、选择题 【1题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定直接解答即可． 【详解】解：A、30°、60°、90°的直角三角形和45°、45°、90°的直角三角形不相似； B、两个顶角不同的等腰三角形不相似； C、正确，因为可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定； D、两个锐角三角形不一定相似． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解决此题的关键． 【2题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和定理分别求出各个选项中三角形的每个角的度数，然后与题干中的三角形的度数相比较即可得出答案． 【详解】∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°， ∴∠C=75°，∠A=30°， A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°， B选项中三角形各角的度数都是60°， C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°， D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和相似三角形的判定，此题难度不大． 【3题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先根据矩形的性质得，，，再根据相似三角形的性质或平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ，，， A、， ， ，结论正确，不符合题意； B、， ， ，结论错误，符合题意； C、， ， ，结论正确，不符合题意； D、， ， ， ，结论正确，不符合题意． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴△ABD∽△CDB，△GFC∽△GAB，△DEF∽△BEA，△AED∽△GEB，△ADF∽△GCF，△ADF∽△GBA. 即图中有6对相似三角形. 故选D. 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质，设，则，， ，利用勾股定理计算出，，，然后根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可判断，． 【详解】解：设，则，， ， 在中， ， 在中， ， 在中， ， ， ， ， ， ， ，，， ． ∴图中与相似的三角形有，． 【6题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】设正方形边长为，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到结论． 【详解】解：设正方形边长为， 为的高， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 二、填空题 【7题答案】 【答案】△ADF∽△ECF 【解析】 【详解】【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥CE， ∴△ADF∽△ECF， 故答案为△ADF∽△ECF． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定是解题的关键. 【8题答案】 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】由相似三角形的判定可知：对应角相等，对应边成比例或两对角相等的两个三角形相似，题中为公共角，再有一对应角相等即可． 【详解】解：在与中，为两三角形的公共角，只需再有一对应角相等即可，即， 故答案为：（答案不唯一）． 【9题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，证明 ，对应边成比例即可求出的长，进而可得的长，可得点的坐标． 【详解】解∵四边形是边长为的正方形， ，，． ， ． ， ， ，即 ， ， ∴点的坐标为． 【10题答案】 【答案】-16 【解析】 【分析】先证明，即可得到 ，根据相似三角形的性质，结合，可得到，可设，，，，则点坐标为，再根据三角形的面积求出的值，即可求出的值． 【详解】解： ， ， ， ， ， 设，，，， 点坐标为， ， ， 解得：， ． 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】作DE⊥AC于点E，根据∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，得到∠BAE=∠ADE，从而得到△DAE∽△ACB，求得AB=16cm，利用平行四边形的面积公式求解即可． 【详解】如图，作DE⊥AC于点E， ∵道路的宽为4m， ∴DE=4米， ∴AE=3m， ∵∠DAE+∠BAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠BAE=∠ADE， ∴△DAE∽△ACB， ∴ DE：AB = AE：BC， 即4：AB = 3：12， 解得：AB=16（cm）， ∴道路的面积为AD×AB=5×16=80（m2）， 故答案为80. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据相似三角形的性质求得线段AB的长． 三、解答题 【12题答案】 【答案】（1）6 （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理，关键是由，得到：；证明． （1）由相似性质得到，代入有关数据即可求出 （2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，由此即可证明问题． 【小问1详解】 解：∵， 故， 【小问2详解】 证明：∵6， ∴， ∵， ∴． 【13题答案】 【答案】（1）不相似，理由见解析 （2）能，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由题意可得，根据两个三角形对应边的比值是否相等即可判断； （2）作和，则；根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证得． 【13题详解】 解：不相似，理由如下： ， ， ， ， 与不相似． 【14题详解】 （2）能作辅助线进行分割．证明如下： 如图，作，交于点；作，交于点， 则． ， ． ， ， ． 故能作辅助线进行分割． 【14题答案】 【答案】（1） 见解析 （2） 见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角的性质，得到，再结合平角的定义，推出，即可证明相似； （2）同（1）证明相似即可． 【小问1详解】 证明：∵在中，，， ． ， ． ， 又， ． ． 又， ． 【小问2详解】 解：． 理由：∵在中，，， ． ， ． ， 又， ． ． 又， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $