22.3.2 第1课时 三角形相似的判定定理 1（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“相似三角形的判定定理1（两个角分别相等的两个三角形相似）”，通过基础达标巩固概念理解，能力提升深化应用，思维拓展延伸探究，构建从定义到综合运用的学习支架，衔接相似图形概念与后续判定定理学习。 资料分层设计题型丰富，基础题夯实判定方法，能力题结合几何图形培养推理意识，拓展题融入实际情境发展几何直观，解析详尽助力学生理解逻辑关系，有效提升数学思维与问题解决能力，适合课堂教学与自主学习使用。

22.3.2 相似三角形的判定 第1课时 三角形相似的判定定理1 01基础达标 知识点 两个角分别相等的两个三角形相似 1. 下列命题中，是真命题的是（ ） A. 等腰三角形都相似 B. 等边三角形都相似 C. 锐角三角形都相似 D. 直角三角形都相似 2. 如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（   ） A. B. C. 2 D. 3 3. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则图中相似三角形共有(　　) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 4. 如图，在中，，点D在边上，点E在边上且．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）． 5. 如图，，垂足为点，，垂足为点，与交于点．若，，，则__________． 6. 如图，在中，，于，，，则__________cm． 7. 如图，在正方形中，点，，分别在，，上，且．求证：． 8. 如图，点在的边上，，，，求的长． 02能力提升 9. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，F是BA延长线上一点, FD⊥BC于D,交AC于点E，则图中相似三角形共有几对（ ） A. 6对 B. 5对 C. 4对 D. 3对 10. 如图，在中，为边上一点，且，已知，，则__________． （2025·北京） 11. 如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________． 12. 如图，，点、分别在、上，且． （1）尺规作图：作的角平分线，与相交于点（保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）所作的图中，求证：． 13. 将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并说明它们相似的理由． 03思维拓展 14. 如图，在边长为9的正三角形中，，． （1）求证：； （2）求的长． 22.3.2 相似三角形的判定 第1课时 三角形相似的判定定理1 01基础达标 知识点 两个角分别相等的两个三角形相似 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、等腰三角形不一定相似，是假命题，故A选项错误； B、等边三角形都相似，是真命题，故B选项正确； C、锐角三角形不一定都相似，是假命题，故C选项错误； D、直角三角形不一定都相似，是假命题，故D选项错误． 故选B． 【点睛】本题考查命题与定理；相似三角形的判定． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，∴△ABD∽△BDC，∴ ．∵AB=3，BD=2，∴，解得：CD=．故选B． 点睛：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【详解】∵∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴△ABC∽△ACD， △ACD∽CBD， △ABC∽CBD， 所以有三对相似三角形． 故选C． 【4题答案】 【答案】 【解析】 【分析】由相似三角形的判定定理可求解． 【详解】解：添加， 又∵， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 【5题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】利用两角对应相等的两个三角形相似证明，再根据相似比求出的长度，最后在两个直角三角形中分别求出，相加得到． 【详解】解：   ​ 在中，  在中，  ． 【6题答案】 【答案】15 【解析】 【分析】利用射影定理，直接建立的关系求解． 【详解】解：根据射影定理： 在中， ，于， ，， ． 【7题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定；由正方形的性质得，通过角的转换得，即可得证． 【详解】证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． 【8题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， 解得． 02能力提升 【9题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】通过公共角，直角，对顶角的角度信息判断相似的三角形，最后根据相似三角形的传递性得到相似三角形的对数. 【详解】三角形ABC与三角形BDF中，有∠B公共，∠FDB=∠BAC=90°，则 三角形EFA与三角形EDC中，有∠FAE=∠EDC=90°，∠FEA=∠DEC，则 三角形EFA与三角形BDF中，有∠F公共，∠FAE=∠FDB=90°，则 所以根据相似的传递性四个三角形两两相似 故共有6对. 故答案为A. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，务必清楚的是两个角对应相等的三角形相似. 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先判定，再根据三角形相似的性质直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 即 ∴． （2025·北京） 【11题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据//，得到，即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，//，， 在中，， ∴， ∵是中点， ∴， ∵//， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． 【12题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 见解析 【解析】 【分析】（1）用尺规作的角平分线，交于点； （2）通过角度计算证明和有两组角对应相等，从而证明相似． 【小问1详解】 解：如图所示，线段即为所求 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 【13题答案】 【答案】△BAE∽△CDA，△EDA∽△EAB，理由见解析 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质得∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠FAG＝45°，再利用三角形外角性质得∠ADC＝45°＋∠2，则∠BAE＝∠ADC，加上∠B＝∠C，于是可判断△BAE∽△CDA，若加上∠DEA＝∠AEB，则可判断△EDA∽△EAB． 【详解】解：△BAE∽△CDA，△EDA∽△EAB．理由如下： ∵△ABC和△AFG为两个全等的等腰直角三角形， ∴∠BAC＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠FAG＝45°， ∴∠ADC＝∠B＋∠2＝45°＋∠2， ∵∠BAE＝∠2＋45°， ∴∠BAE＝∠ADC， ∵∠B＝∠C， ∴△BAE∽△CDA， ∵∠DEA＝∠AEB， ∴△EDA∽△EAB． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的性质． 03思维拓展 【14题答案】 【答案】（1） 见解析 （2）7 【解析】 【分析】（1）利用正三角形的内角和及已知角度，证明，再由相似三角形的对应边成比例推导出结论； （2）利用相似三角形的比例关系求出，再由的长度减去得到． 【小问1详解】 证明：由题意，可知，． ． ， ． ，且， ． ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 即， 解得：． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $