21.1 认识一元二次方程（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“一元二次方程的概念、一般形式及根”核心知识点，通过对比一元一次方程引入新知，结合基础达标中的概念辨析题和变式练习，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解定义及一般形式。 资料采用分层设计，基础达标夯实概念，能力提升融入实际应用与数学文化，思维拓展设置阅读理解题，易错点专项突破培养抽象能力，逆向变式与模型应用提升推理意识和模型观念，助力学生发展数学思维与表达能力。

第21章 一元二次方程 21.1 认识一元二次方程 01基础达标 知识点一 一元二次方程的概念及一般形式 1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的方程，当m________时，是一元二次方程；当________时，是一元一次方程． 3. 将方程3x2+2（x﹣3）＝0化成一元二次方程的一般形式后，则常数项与二次项系数的商为 _____． 4. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． （1）； （2）； （3）． 知识点二 一元二次方程的根 5. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【条件变式】 6. 是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【逆向变式】 7. 已知关于x的一元二次方程，若，则该方程必有一个根是________． 8. 当时，代数式的值为__________，因此，是方程__________的一个根；当时，代数式的值为__________，因此，是方程__________的又一个根，所以一元二次方程的根与一元一次方程的情况不同． 易错点 忽视二次项系数不为零的条件而致错 （2025・黑龙江） 9. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 02能力提升 10. 下表是某同学求代数式的值的情况，根据表格可知方程的解是（ ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 6 … A. B. C. ， D. ， 11. 如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各剪去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　） A. 10×6﹣4×6x=32 B. （10﹣2x）（6﹣2x）=32 C. （10﹣x）（6﹣x）=32 D. 10×6﹣4x2=32 [新考法·数学文化] 12. 《九章算术》“勾股”章有一道题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈=10尺，1尺=10寸）设门高x尺，根据题意可列方程为________________． 13. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． （1）如图，要利用一面墙（墙足够长）建羊圈，用的围栏围成总面积为的3个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长．（设的长度为） （2）一个微信群里共有x个人，每个人都分别给群里其他人发送一条消息，这样共有756条消息，求这个微信群里的人数x． 14. 已知关于x的方程． （1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？ （2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项． 15. 在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 　　． （2）已知的中点值是，其中一个根是，求的值． 03思维拓展 [新考法・阅读理解・解题方法型] 16. 阅读与思考阅读下列材料，然后完成相应任务． 方程两边同时除以x（）， 得，即． 因为， 所以． 任务： （1）已知方程（），则________；________． （2）若m是方程的根，求的值． （3）【类比应用】已知关于x的一元二次方程有一个根是，则方程有一个根是（ ） A. B. C. D. 第21章 一元二次方程 21.1 认识一元二次方程 01基础达标 知识点一 一元二次方程的概念及一般形式 【1题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的定义进行判断，一元二次方程需满足：是等式，是整式方程，只含有一个未知数，未知数最高次数为，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、 中是分式，该方程不是整式方程，不符合题意； B、中含有，两个未知数，是二元一次方程，不符合题意； C、 不是等式，不属于方程，不符合题意； D、将 整理得，符合一元二次方程的定义，符合题意． 【2题答案】 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据一元二次方程和一元一次方程的定义，通过分析二次项系数和一次项系数的取值要求，求解的取值即可. 【详解】解：已知关于的方程为 当方程是一元二次方程时，根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，即 解得. 当方程是一元一次方程时，根据一元一次方程的定义，二次项系数为，且一次项系数不为，即 解得或， 由得， 因此. 【3题答案】 【答案】-2 【解析】 【分析】先化成一元二次方程的一般形式，再找出常数项和二次项系数，最后求出答案即可． 【详解】解：3x2+2（x﹣3）＝0， 3x2+2x﹣6＝0， 所以常数项是﹣6，二次项系数是3， 商为， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式是解此题的关键，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）． 【4题答案】 【答案】（1）；二次项系数是，一次项系数是，常数项是 （2） ；二次项系数是，一次项系数是，常数项是 （3）；二次项系数是，一次项系数是，常数项是 【解析】 【分析】（1）将化为的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项； （2）将 化为的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项； （3）将 化为的形式，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 【小问1详解】 解： 二次项系数是，一次项系数是，常数项是； 【小问2详解】 解： 二次项系数是，一次项系数是，常数项是； 【小问3详解】 解： 二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 知识点二 一元二次方程的根 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得 【详解】的一个根为2，设另一根为 ，解得 又 故选D 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键． 【条件变式】 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得： ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查方程的解的定义．掌握相关定义即可． 【逆向变式】 【7题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程根的定义，将未知数代入方程，结合已知条件即可判断出方程的根． 【详解】解：已知一元二次方程为， 由题意得， 对式子变形可得， 根据一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的根， 因此当时，方程成立， 故该方程必有一个根是． 【8题答案】 【答案】 ①. 0 ②. ③. 0 ④. 【解析】 【分析】本题先将的值代入代数式计算结果，再根据一元二次方程根的定义确定对应方程即可. 【详解】解：当时，将代入得： 根据一元二次方程根的定义，可知是方程的一个根. 当时，将代入得： 根据一元二次方程根的定义，可知是方程的又一个根. 故答案为 ；；；． 易错点 忽视二次项系数不为零的条件而致错 （2025・黑龙江） 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 02能力提升 【10题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】方程的解是使代数式的值等于的的值，直接从表格中查找对应结果即可． 【详解】解：∵方程的解就是代数式的值为时对应的的值， 由表格可知，当时，对应的的值为和， ∴方程的解为，， 故选：C. 【11题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm， 根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32． 故选B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． [新考法·数学文化] 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据门的高与宽之间的关系，可得出门的宽为尺，结合门的对角线长丈（尺），即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设门高为尺，由题意得，门的宽为尺，丈换算为尺，即门的对角线长为尺， 长方形门的高、宽与对角线构成直角三角形，根据勾股定理可得：． 【13题答案】 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义及一般形式，根据等量关系列方程是解决此题的关键． （1）设的长度为，则的长度为，然后根据矩形的面积公式列出方程，并将其化成一般形式即可； （2）每两个群里的人之间要互发一次消息，设这个微信群里的人数为，每人发条消息，则发消息共有条，由此列出方程，并将其化成一般形式即可． 【小问1详解】 解：设的长度为， 由题意得：， 化简，得：． 【小问2详解】 解：设这个微信群里的人数， 由题意得：， 化简，得：． 【14题答案】 【答案】（1） （2），二次项系数为，一次项系数为，常数项为 【解析】 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出关于的方程，检验后即可求出的值； （2）根据一元二次方程的定义得出，根据一元二次方程二次项系数，一次项系数，常数项的定义即可解答． 【小问1详解】 解：∵原方程为一元一次方程， ， 解得：， 当时，， 当时，，舍去， 综上所述，当取时，此方程为一元一次方程； 【小问2详解】 解：∵原方程为一元二次方程， ， 解得：， 该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据方程的中点值的定义计算； （2）利用方程的中点值的定义得到，再把把代入计算出的值，然后计算． 【小问1详解】 解：∵， ∴方程的中点值为； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ∴， 把代入得，解得， ∴． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 03思维拓展 [新考法・阅读理解・解题方法型] 【16题答案】 【答案】（1）3 11 （2） （3）C 【解析】 【分析】（1）仿照题意求解即可； （2）根据一元二次方程解的定义得，进而得到，再两边平方求解即可； （3）仿照题意求解即可． 【小问1详解】 解：方程两边同时除以（）， 得，即， ， ． 【小问2详解】 解：由条件可知， 两边同时除以得：，即， ， ． 【小问3详解】 解：关于的一元二次方程有一个根是， ， 两边同时除以得：，即， ∴方程有一个根是， 故选：C． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $