专练 28 相似与特殊图形 (五) 正方形（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“相似与特殊图形（五）正方形”，核心知识点为利用正方形性质构造相似三角形，包含模型一（构造型相似）和模型二（A、X型相似）。课堂以示范题（动点问题）导入，结合正方形边长、外角平分线等性质，引导学生回顾相似三角形判定，搭建从基础到综合的学习支架。 特色在于模型化分层设计，典例导练与知能检测结合，解析中辅助线作法（如作垂线、延长线）和推理步骤详细，帮助学生用数学眼光观察图形结构，用数学思维进行逻辑推理，提升几何直观和推理意识，培养从具体问题抽象数学模型的应用意识。

专练28 相似与特殊图形（五） 正方形 典例导练 模型一 利用正方形的性质构造型相似 示范题 1. 如图，在边长为4的正方形中，是边上一动点（与，不重合），连接，作交的外角平分线于点，设，的面积为，求与的函数关系式． 知能检测 模型二 利用正方形的性质构造A，X型相似 2. 如图，在正方形中，为边的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，求的值． 3. 如图，在正方形中，点为的中点，，垂足为点，于点． （1）求证：． （2）连接，若，求的长． 专练28 相似与特殊图形（五） 正方形 典例导练 模型一 利用正方形的性质构造型相似 示范题 【1题答案】 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，根据等角对等边可得到，求出 ，根据相似三角形的性质得出，由此可求出，最后代入面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作于点， ，平分， ， ， ∵在正方形中，， ， 又 , ， ， ， ， ， ． 知能检测 模型二 利用正方形的性质构造A，X型相似 【2题答案】 【答案】 【解析】 【分析】分别延长、交于点，证明，由相似三角形的性质得出，证明，，，证明，得到． 【详解】解：如图，分别延长、交于点， 四边形为正方形， ， ， ， 为边的中点， ，， 平分， ，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【3题答案】 【答案】（1）设，则，，易证， ，． （2） 【解析】 【分析】（1）设，分别证明 、，根据相似三角形的性质，结合点为的中点可得到，，接着证明，根据全等三角形的性质即可求解； （2）连接，，通过等腰直角三角形的性质得到，， ，即可证明 ，，由此可得到 ，根据相似三角形的性质得到 ，再由勾股定理求出的长度，即可求的长． 【小问1详解】 解：设， 在正方形中，，， ∵点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理，可证， ， ， ， , ， 又， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：连接，， 在正方形中，，， ，， 由（1）可知， ， ， ，， ， ， 又， ， ，即． 由（1）可知， ， ， 在中，，即， 解得：，（舍去）， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $