专练 02 利用菱形的对称性解题（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案提分专练（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“利用菱形的对称性解题”，通过典例导练关联菱形性质（如轴对称、对角线垂直平分），搭建从性质理解到最值问题、线段关系应用的学习支架，引导学生掌握对称性转化线段的解题方法。 资料亮点在于以菱形对称性为核心，通过分层习题（示范题到综合题）培养学生几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），解析中辅助线构造与逻辑推理清晰，帮助学生用数学语言表达思路，提升问题解决能力，适合课堂教学与自主练习。

专练02 利用菱形的对称性解题 典例导练 示范题 1. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，求的最小值． 知能检测 2. 如图，菱形的边长为，，点，在对角线上运动，且，连接，，则的周长的最小值是__________． 3. 如图，菱形的边长为2，，点是边上任意一点（端点除外），点为上一点，连接，，． （1）求的最小值； （2）当时，判断，，三者之间具有怎样的数量关系？并证明． 专练02 利用菱形的对称性解题 典例导练 示范题 【1题答案】 【答案】 【解析】 【分析】作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而得出结论． 【详解】解：过点作于点，连接， ∵菱形中，， ，，， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， ∵菱形的边长为， ， ． 的最小值是． 知能检测 【2题答案】 【答案】6 【解析】 【分析】作，使得 ，连接交于，则的值最小，进而得出周长的最小值即可． 【详解】解：如图作，使得 ，连接交于，则的值最小，即的周长最小． ∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵菱形的边长为，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， 在中， ∴的最小值是4， ∴的周长的最小值 ． 【3题答案】 【答案】（1） （2），理由如下： 过点作于，，，，，，，，， ． 【解析】 【分析】（1）利用菱形的对称性将进行转化，借助垂线段最短求最小值； （2）通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及线段的垂直平分线的性质来探究线段之间的数量关系即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴点和点关于对称， 则， 可得 ， 根据两点之间线段最短，当三点共线且时，有最小值为，如图， ∵菱形的边长为2，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得 ∴的最小值为． 【小问2详解】 解： ，理由如下： 过点作于，如图 ∵菱形的边长为2，， ， ，， ，， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $