专题3平面向量的综合应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的综合应用”专题，覆盖向量投影、极化恒等式、等和线、圆轨迹等核心考点，对接高考评价体系梳理5大考向，通过典例分析明确高频题型分布，构建系统的知识网络与解题思路。 课件亮点在于“知识聚焦+考向突破+典例精析”模式，以数学眼光挖掘几何意义，用数学思维推理问题本质，如典例1通过坐标法转化投影问题，典例3用极化恒等式解决三角形最值，帮助学生掌握转化技巧，教师可据此精准教学提升备考效率。

专题三 平面向量的综合应用 数 学 学考专题突破 知识聚焦1.平面向量几何意义 (1)向量的投影 如图,设a,b是两个非零向量,=a,=b,过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为A1,B1,得到,我们称上述变换为向量a向向量b投影,叫做向量a在向量b上的投影向量. (2)模的几何意义 设a=,b=,则|a|=||,|b-a|=||. 2.极化恒等式:数量积的几何化 (1)极化恒等式的定义 设a,b是两个平面向量,则有a·b=,我们称这个等式为极化恒等式. (2)极化恒等式的几何意义 如图,通过极化恒等式,向量的数量积可以表示为平行四边形ABDC的“和对角线”和“差对角线”的平方差的. 在三角形中,也可以用三角形的中线来表示, 即a·b=||2-.它揭示了三角形的中线与边长的关系. 3.等和线 如图,平面内一个基底{}及任一向量=x+y.连接AB,OP相交于点Q,则x+y=,过P作AB的平行线分别交OA,OB于A1,B1,则由相似三角形可得x+y=. (1)若P与O在AB同侧,则x+y=<1; (2)若P在AB上,则x+y==1(三点共线); (3)若P与O在AB异侧,则x+y=>1. 4.向量背景下的圆轨迹 设a=,b=,则|b-a|=r,即||=r,点B在以A为圆心,以r为半径的圆上.设a=,b=,c=,若(c-a)·(c-b)=0,则,点C在以AB为直径的圆上.设a=,b=,c=,AB的中点为E,若(c-a)·(c-b)=m,则由极化恒等式可得||2=|2+m(|2+m>0),点C在以E为圆心,为半径的圆上. 考向1　 平面向量的投影 典例1已知平面向量a,b是非零向量.若a在b上的投影向量的模为1,|2a-b|=1,则(4a-b)·b的取值范围是_____________. [3,4] 解析 由题意,令b=(b,0),a=(±1,y), 则|2a-b|=1⇒(±2-b)2+(2y)2=1,所以4y2∈[0,1],由|2a-b|=1,得4a2-4a·b+b2=1,所以(4a-b)·b=4a2-1=4[(±1)2+y2]-1=4y2+3∈[3,4]. 目标导航•建网络 知能构建•强技能 问题详解·释疑惑 考向2　 模的几何意义 典例2(多选)平面向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,a与b夹角为,且|a-c|=|b-c|,则下列结论正确的有(　　) A.|c|的最小值为 B.|a-c|+|c|的最小值为22 C.|a-c|+|b-c|的最大值为 D.c·(b-c)的最大值为1 AD 目标导航•建网络 知能构建•强技能 问题详解·释疑惑 归纳总结比较例2的方法1、方法2两种方法,可知方法1的解法要简捷的多,在解向量题时,深入挖掘试题的几何背景,利用几何条件解题,往往会事半功倍. 考向3　 极化恒等式 典例3在△ABC中,P0是边AB的中点,且对于边AB上任意一点P,恒有,则△ABC一定是(　　)　　 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 A 目标导航•建网络 知能构建•强技能 问题详解·释疑惑 考向4　 等和线 典例4 (2025浙江A9协作体期中)如图,扇形AOB的圆心角大小为,P是扇形内部(包括边界)任意一点.若=x+y,那么2x+y的最大值是(　　) A. B.3 C. D. C 目标导航•建网络 知能构建•强技能 问题详解·释疑惑 考向5　 向量中的圆 典例5已知单位向量e1,e2不共线,且向量a满足|a|=,若|a-λe1+(λ-1)e2|≥对任意实数λ都成立,则e1,e2夹角的最大值是(　　) A. B. C. D. B 目标导航•建网络 知能构建•强技能 问题详解·释疑惑 解析 (方法1)设a=,b=,c=,则由|a|=1,|b|=2,a与b夹角为可知,△AOB是以∠OAB为直角的Rt△AOB,且AB=,又|a-c|=|b-c|,∴点C在线段AB的中垂线上,故A正确;|a-c|+|c|=||+ ||=||+|| ≥OB=2,故B不正确;|a-c|+|b-c|=||+||≥AB=,故C不正确;设OB的中点为E,则由极化恒等式c·(b-c)==-=-()=1-≤1,当C,E重合时c·(b-c)取到最大值,故D正确.故选AD. (方法2)设a=(1,0),b=(m,n),c=(x,y),因为|b|=2,a与b的夹角为,所以解得即b=(1,)或b=(1,-). 因为|a-c|=|b-c|,所以|(1-x,-y)|=|(1-x,-y)|或|(1-x,-y)|=|(1-x,--y)|,即(1-x)2+y2=(1-x)2+(-y)2或(1-x)2+y2=(1-x)2+(--y)2,则y=或y=-,即c=(x,)或c=(x,-),所以|c|=,故A正确. 以a的起点为原点O,a的方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系,如图,当c=(x,)时,则a的终点落在A上,c的终点落在直线y=上,作点O关于直线y=的对称点O1(0,),|a-c|+|c|是指||+||,即||+||,|a-c|+|c|最小,即O1A的长度,则||=|(-1,)|==2; 当c=(x,-)时,则a的终点落在A上,c的终点落在直线y=-上,作点O关于直线y=-的对称点O2(0,-),|a-c|+|c|是指||+||,即||+||,|a-c|+|c|最小,即O2A的长度,则||=|(-1,-)|==2,故B错误. 如图,当c=(x,)时,点B(1,)为b的终点,则|a-c|+|b-c|是指||+||的长,即2||,根据图象易知,||没有最大值; 同理,当c=(x,-)时,此时点B(1,-)为b的终点, 则|a-c|+|b-c|是指||+||的长,即2||,根据图象易知,||没有最大值,故C错误. 当c=(x,)时,b=(1,),c·(b-c)=(x,)·(1-x,)=-x2+x+,当x=时,上式有最大值,且为1;当c=(x,-)时,b=(1,-),c·(b-c)=(x,-)·(1-x,-=-x2+x+,当x=时,上式有最大值,且为1,故D正确.故选AD. 解析 如图所示,取BC的中点D,显然,=(2-()2=,同理,.因为,所以,即,||≥||,所以P0D⊥BC.因为D,P0分别是BC,AB的中点,所以AC∥P0D,所以AC⊥BC,所以△ABC一定是直角三角形.故选A. 解析 (方法1)不妨设圆半径为2,设OA中点为E,连接BE,则= 2x()+ y=2x+y,∴满足2x+y=1的对应点P在直线BE上,平移直线BE到与圆弧相切的位置,M为切点,此时2x+y取到最大值,连接OM交BE于点N,计算得,ON=,则{2x+y}max=.故选C. 方法2　(坐标法)以O为坐标原点,OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设扇形AOB的半径为r,则A(r,0),B(-r),设点P(acos θ,asin θ)(0≤a≤r,0≤θ≤),因为=x+y=x(r,0)+y(-r)=(xr-y,ry),所以所以所以2x+y=(2x-y)+2y=cos θ+sin θ=sin(θ+φ),其中φ为锐角,且tan φ=. 因为0≤θ≤,所以φ≤θ+φ≤+φ,当θ+φ=且a=r时,2x+y取得最大值.故选C. 解析 令=e1,=e2,=λe1+(1-λ)e2,则由向量共线定理知点B在直线E1E2上,令a=,由|a|=知点A在以O为圆心,以为直径的圆上.∵|a-λe1 +(λ-1)e2|=||≥,即点A到直线E1E2的距离不小于,∴e1,e2夹角取到最大值时,||=,即直线E1E2与圆心O的距离为,即∠E1OE2=.故选B. $