学情监测（六）（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案作业手册（人教版·新教材）

**基本信息** 八年级数学上册学情监测卷聚焦因式分解，通过基础辨析、几何直观与实际应用，考查抽象能力、运算能力及模型意识，层次分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|因式分解定义、公式法判断|结合几何图形面积推导因式分解（如第8题）| |填空题|5题|提公因式法、代数式求值|设置恒等式系数求解（第13题）| |解答题|8题|综合因式分解、配方法、规律探究|融入电阻串联计算（第18题）、错误辨析（第19题）及连续奇数平方和规律探究（第22题）|

八年级数学（上册）学情监测（六） 一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 下列由左边到右边的变形，是因式分解的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列多项式不能进行因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式能用完全平方公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 若多项式可以用平方差公式因式分解，则A表示的单项式可以是（ ） A. B. C. D. 5. 如果是一个完全平方式，则a的值是（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 9或 6. 化简，结果为（ ） A. B. 0 C. D. 7. 下面分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 9. 若k为任意整数，则的值总能（ ） A. 被5整除 B. 被6整除 C. 被7整除 D. 被8整除 10. 若，，，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 11. 因式分解：2x2+xy＝__． 12. 若，则_________． 13. 若是关于x的恒等式，则______． 14. 如果是多项式的一个因式，则的值为______． 15. 在实数范围内因式分解__________． 三、解答题（本大题共有8小题） 16. 因式分解： （1）； （2）； （3）． 17. 已知，求的值． 18. 因式分解可以简化一些复杂的计算，如下图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当时，请利用因式分解计算出U的值． 19. 下面是嘉淇同学把多项式分解因式的具体步骤： 解：原式…第一步 …第二步 …第三步 …第四步 （1）事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是____________； （2）请给出这个问题的正确解法． 20. 如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． （1）观察图形，把多项式进行因式分解； （2）若这张大长方形纸板的周长为，图中空白部分的面积为，求图中阴影部分的面积． 21. 对于形如的二次三项式，可以直接用完全平方公式把它分解成的形式．但对于二次三项式就不能直接用完全平方公式分解了，对此，我们可以添上一项4，使它与构成一个完全平方式，然后再减去4，这样整个多项式的值不变，即，通过上述方法还可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：． ，． 当．这个代数式的最小值是2． 请用配方法解答下列问题： （1）用配方法分解因式：； （2）试说明：代数式的最小值为． 22. 发现任意三个连续偶数的平方和是4的倍数． 【验证】 （1）的结果是4的______倍； （2）设三个连续偶数的中间一个为，写出它们的平方和，并说明是4的倍数． 【延伸】 （3）任意三个连续奇数的平方和被12除，余数是几呢？设中间一个奇数为，请说明理由． 23. 我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如：如图1可以得到． （1）写出由图2所表示的数学等式：______； 写出由图3所表示的数学等式：______． （2）利用上述结论，解决下面问题： ①已知，，求的值． ②在①的条件下，若、、分别是的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 八年级数学（上册）学情监测（六） 一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、符合因式分解的定义，符合题意； B、，不符合题意； C、中等号右边不是积的形式，不符合题意； D、中为分式，不符合题意； 故选：A． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了能否利用公式法因式分解，熟知可以用完全平方公式和平方差公式因式分解的式子的形式是解题的关键．根据因式分解的方法，注意判断，即可解答． 【详解】解：A、利用提公因式法，可得，故A不符合题意； B、无法因式分解，故B符合题意； C、利用完全平方公式，可得，故C不符合题意； D、利用平方差公式，可得，故D不符合题意， 故选：B． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知是解题的关键． 【详解】解：A、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； B、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； C、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意； D、能用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选：D． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解−运用公式法．利用平方差公式的结构特征判断即可． 【详解】解：当A是，则多项式为，不能运用平方差公式分解因式； 当A是，则多项式为，不能运用平方差公式分解因式； 当A是，则多项式为，不能运用平方差公式分解因式； 则A是，则多项式为，能运用平方差公式分解因式． 故选：D． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法运算的逆用，由同底数幂乘法运算得，即可求解；能熟练利用幂的运算公式进行计算是解题关键． 【详解】解：原式 ； 故选：D． 【7题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】将各式分解得到结果，即可作出判断． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了因式分解-公式法，熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键． 【8题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 【9题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把原式分解因式得到，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴的值总能被8整除， 故选：D． 【10题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】将变形为，然后再分组分解即可． 【详解】解：∵，，， ， ， ， ∴ ． 二、填空题 【11题答案】 【答案】x（2x+y）． 【解析】 【分析】直接提取公因式y，进而分解因式即可． 【详解】解：2x2+xy＝x（2x+y）． 故答案为：x（2x+y）． 【点睛】此题考查因式分解法：提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【12题答案】 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先提公因式得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：12． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式恒等式，代数式求值， 将等式右侧展开，根据恒等式同类项系数相等求出和的值，再代入计算即可，掌握多项式恒等式的系数对应关系是解题的关键. 【详解】解：， ， 由同类项系数相等得 ，， 将代入得 ， ， 故答案为：. 【14题答案】 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系，根据是多项式的一个因式，设=是解题的关键． 设=，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值． 【详解】解：解：设 则， 解得：． 故答案为：8． 【15题答案】 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 首先利用完全平方公式变形，然后利用平方差公式分解因式即可． 【详解】 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共有8小题） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先用平方差公式分解即可； （2）先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）利用平方差公式进行分解，然后计算即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【17题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题考查单项式乘多项式的灵活运用，由，整理得出，进一步根据完全平方公式分解代数式，整体代入求得答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【18题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题是有关因式分解的应用，首先用提公因式法把进行因式分解，然后代入数值计算解答即可． 【详解】解：因为， 所以． 【19题答案】 【答案】（1）平方差公式错用为完全平方公式 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中给出的因式分解的步骤找到错误的原因即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式进行计算，即可解答． 【小问1详解】 解：平方差公式错用为完全平方公式 【小问2详解】 解：原式 ． 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、因式分解． （1）结合代数式的几何意义因式分解； （2）根据空白部分的面积得到，再由大长方形的周长得到，化简得，，再根据阴影部分的面积为，整体代入求值即可得到阴影部分的面积． 【小问1详解】 解：由题意得，大正方形的面积为，小正方形的面积为，小长方形的面积为， ∴为大长方形的面积， ∵大长方形的长为厘米，宽为厘米， ∴大长方形的面积为平方厘米， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵这张大长方形纸板的周长为，空白部分的面积为， ∴，， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， 答：图中阴影部分的面积为． 【21题答案】 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据配方法进行作答即可； （2）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， 代数式的最小值为． 【22题答案】 【答案】（1）14 （2），见解析 （3）三个连续奇数的平方和被12除，余数是11，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出，即可得出结果； （2）设三个连续偶数分别为，，，由完全平方公式得出，即可得出结论； （3）先设出三个连续的奇数，再求出其平方和，把此式化为的倍数的形式即可得出结果． 【小问1详解】 解：， 的结果是的倍； 【小问2详解】 解：由题意得三个连续偶数分别为，，， 三个连续偶数的平方和为， ， 三个连续偶数的平方和是的倍数； 【小问3详解】 解：三个连续奇数的平方和被除，余数是，理由如下： 由题意，三个连续的奇数分别为，，， 三个连续奇数平方和为： ， 根据题意，为整数， 三个连续奇数的平方和被除，余数是． 【23题答案】 【答案】（1），; （2）①48；②是等边三角形，理由见解析. 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景,解决本题的关键是完全平方公式变形和整体代入思想的灵活运用. （1）大正方形的面积等于9个长方形的面积和；图3中阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积； （2）①利用即可得到结果； ②根据前面得到等式,再对等式进行转化,进而进行因式分解,最后根据非负数的性质得到三边的关系． 【小问1详解】 解： 大正方形的面积为: 9个长方形的面积和为: , ∴; 图3中阴影部分是边长为的正方形，还可以看成是长为a的大正方形的面积减去两个边长为a，宽为b的长方形的面积，2个长为a，宽为c的长方形的面积，加2个长为b宽为c的面积，加1个边长为b的正方形的面积，加1个边长为c的正方形的面积， 即， ∴， 故答案为: ;; 【小问2详解】 ①∵ 又∵，， ∴， ∴. ②∵, ∴,即, ∴, ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $