学情监测（五）（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案作业手册（人教版·新教材）

**基本信息** 八年级数学上册期末学情监测卷，以整式运算、因式分解为核心，通过几何直观、实际情境及数学文化素材，分层考查运算能力、推理意识与创新应用，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题|幂的运算、完全平方公式、分式化简|第10题结合图形面积验证平方差公式，体现几何直观| |填空题|5题|零指数幂、完全平方式、新定义运算|第14题通过“※”运算考查整式乘法，培养符号意识| |解答题|8题|化简求值、几何面积计算、规律探究、虚数应用|第23题引入虚数概念，渗透数学文化；第21题通过平方拆分规律培养推理能力，契合核心素养要求|

八年级数学（上册）学情监测（五） 一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 1. 可以表示为（ ） A. B. C. D. 2. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. （﹣2a3）2＝4a6 B. a2•a3＝a6 C. 3a+a2＝3a3 D. （a﹣b）2＝a2﹣b2 4. 一个长方形的面积为，长为，则长方形的宽为（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 若的展开式中不含x项，则实数m的值为（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 7. 下列计算中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 9. 已知(x+a)(x+b)=+mx+12，m、a、b都是整数，那么m的可能值的个数为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 如图，将边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 计算：________． 12. 如果关于的多项式是一个完全平方式，那么________． 13. 用“＞”或“＜”号填空：______． 14. 定义a※b=a（b+1），例如2※3=2×（3+1）=2×4=8．则（x﹣1）※x的结果为_____． 15. 嘉淇计算一道整式乘法的题：，由于嘉淇抄错了第一个多项式中前面的符号，把“+”写成“”，得到的结果为． （1）________； （2）这道整式乘法的正确结果是________． 三、解答题（本大题共有8个小题） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某学生化简出现了错误，解答过程如下： 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） （1）该学生解答过程是从第______步开始出错，其错误原因是__________________； （2）请你帮助他写出正确的简化过程． 18. 已知．求： （1）的值； （2）的值： （3）的值． 19. 已知,求的值． 20. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像， （1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示） （2）求出当，时的绿化面积． 21. “字母表示数”被后人称为从“算术”到“代数”的一次飞跃，用字母表示数可以从特殊到一般的表达数学规律．请观察下列关于正整数的平方拆分的等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； （1）请用此方法拆分． （2）请你用上面的方法归纳一般结论，列出第n个等式（n为正整数），并借助运算证明这个结论是正确的． 22. 数学活动课上．老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形卡片依次记三类，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：______； 方法2：______． （2）请直接写出三个代数式：之间的一个等量关系______． （3）根据（2）题中的等量关系．解决如下问题： ①已知．求的值 ②已知．求． 23. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算： ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭；如的共轭复数为． （1）填空：①______； ②_______； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 八年级数学（上册）学情监测（五） 一、选择题（下列各题均有四个答案，其中只有一个是正确的．） 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式加减法则和幂的乘方运算法则，根据相关法则计算各选项即可得到结果． 【详解】解：只有同类项才能合并，幂的乘方运算满足“底数不变，指数相乘”的规则． A、，不等于，错误，不符合题意； B、，正确，符合题意； C、和不是同类项，不能合并，错误，不符合题意； D、和不是同类项，不能合并，错误，不符合题意． 故选：B． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，由即可求解，掌握零指数幂是解题的关键． 【详解】解：若有意义，则， ∴， 故选：． 【3题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据各个选项中的运算，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 【详解】解：∵（﹣2a3）2＝4a6，故选项A正确； ∵a2•a3＝a5，故选项B错误； ∵3a+a2不能合并，故选项C错误； ∵（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查的是积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式，掌握以上知识是解题的关键． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列式，再把列出的分式进行约分即可求出结果． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练运用因式分解，正确找出公因式是解决问题的关键． 【5题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】按先乘方，再乘除，最后加减的顺序，依次计算单项式乘法、乘方、除法、乘法，最后合并同类项． 【详解】解：原式  故选：D． 【6题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘多项式展开式子，合并同类项，令的一次项的系数为0，进而求出的值．掌握多项式乘多项式的法则和合并同类项是解题的关键． 【详解】解：， 展开式中不含项， ， ， 故选：D． 【7题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式除法运算，运用多项式除以单项式法则和平方差公式，逐一计算判断选项正误即可． 【详解】解：A、∵ ，∴A错误，不符合题意； B、∵ 已是最简形式，无法化简为，∴ B错误，不符合题意； C、∵ ，因此，∴ C错误，不符合题意； D、∵ 由平方差公式得 ，∴ ，∴ D正确，符合题意． 故选：D． 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据左边化为，根据，利用同底数幂的乘法法则得到，得到，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 【9题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式的乘法法则，求得a+b=m，ab=12，再进行分类讨论，从而解决此题． 【详解】解：(x+a)(x+b)=+bx+ax+ab=+(a+b)x+ab． ∵(x+a)(x+b)=+mx+12， ∴a+b=m，ab=12． ∵m、a、b都是整数， ∴当a=1时，则b=12，此时m=a+b=1+12=13； 当a=-1时，则b=-12，此时m=a+b=-1-12=-13； 当a=2时，则b=6，此时m=a+b=2+6=8； 当a=-2时，则b=-6，此时m=a+b=-2-6=-8； 当a=3时，则b=4，此时m=a+b=3+4=7； 当a=-3时，则b=-4，此时m=a+b=-3-4=-7； 当a=12时，则b=1，此时m=a+b=12+1=13； 当a=-12时，则b=-1，此时m=a+b=-12-1=-13； 当a=6时，则b=2，此时m=a+b=6+2=8； 当a=-6时，则b=-2，此时m=a+b=-6-2=-8； 当a=4时，则b=3，此时m=a+b=4+3=7； 当a=-4时，则b=-3，此时m=a+b=-4-3=-7． 综上：m=±13或±8或±7，共6个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则、分类讨论的思想是解决本题的关键． 【10题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可． 【详解】解：由图可知， 图1的面积为：x2-12， 图2的面积为：（x+1）（x-1）， 所以x2-1=（x+1）（x-1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景，正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键． 二、填空题 【11题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，绝对值．熟练掌握零指数幂，绝对值是解题的关键． 分别计算零指数幂，绝对值，然后求和即可． 【详解】解：， 故答案为：2． 【12题答案】 【答案】 【解析】 【分析】多项式的首项和末项分别是x和2的平方，那么中间一项是加上或减去x与2积的2倍，由此得到答案． 【详解】∵， ∴b=， 故答案为：． 【点睛】此题考查完全平方式，掌握完全平方式的构成特点是解题的关键． 【13题答案】 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查幂的大小比较，将变形为，变形为，根据可得结论． 【详解】解：∵， 又， ∴， ∴， 故答案为： 【14题答案】 【答案】x2﹣1 【解析】 【分析】根据规定的运算，直接代值后再根据平方差公式计算即可． 【详解】解：根据题意得： （x﹣1）※x=（x﹣1）（x+1）=x2﹣1． 故答案为：x2﹣1． 【点睛】本题考查了平方差公式，实数的运算，理解题目中的运算方法是解题关键． 【15题答案】 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法．根据嘉淇抄错符号后计算的多项式展开，比较所得结果与给定错误结果的系数，可求出的值，再代入原式计算正确结果． 【详解】解：（1）嘉淇抄错符号后计算的是， 展开得： 给定错误结果为，比较常数项： 解得： 验证一次项系数：当时，，与错误结果一次项系数一致， 故． （2）正确原式为，代入： 故答案为（1）5；（2）． 三、解答题（本大题共有8个小题） 【16题答案】 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）先算括号内的同底数幂的乘法和积的乘方，再算除法即可； （2）先算多项式乘多项式和多项式除以单项式，再算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【17题答案】 【答案】（1）二；去括号时没有变号；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘多项式，完全平方公式的运算及去括号、合并同类项法则运算即可得出答案； （2）由（1）可知正确去括号即可得出正确的化简过程． 【详解】（1）解答过程从第二步开始算错， 根据去括号法则，括号前面是“”号的，去括号和它前面“”号，括号里面的每项都变号． 第二步在去括号时，应变为． 故错误原因为去括号时没有变号． 故答案为：二；去括号时没有变号． （2）正确化简过程为 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握去括号、添括号、合并同类项等运算法则是解题的关键． 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查幂的乘方、同底数幂的乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键； （2）利用幂的乘方的法则进行运算即可；掌握幂的乘方的法则是解题的关键； （3）利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可；掌握相关运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：． 【小问3详解】 解：． 【19题答案】 【答案】18 【解析】 【分析】将条件化简后得到，再将变形，代入条件求值. 【详解】∵, ∴，即 原式. 【点睛】本题考查代数式求值，将式子变形为完全平方公式的形式，采用整体代入法是关键. 【20题答案】 【答案】（1）平方米 （2）63平方米 【解析】 【分析】（1）根据大长方形的面积减去中间正方形的面积即可求解； （2）将，代入（1）中化简结果进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： （平方米） 答：绿化的面积为平方米． 【小问2详解】 解：当，时，（平方米） 答：绿化的面积为63平方米． 【21题答案】 【答案】（1） （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了数字规律型问题，还考查了整式的混合运算和乘法公式．熟练掌握等式所反映的规律，是解题的关键． （1）依据材料中等式的规律解答即可； （2）根据依据材料中发现等式的规律写出含 n的等式证明成立即可． 【小问1详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第2024个等式： 【小问2详解】 解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 则含n的等式是． 理由：∵右边， 左边， ∴左边右边， ∴成立． 【22题答案】 【答案】（1）， （2） （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用能力，关键是能根据完全平方公式的几何背景准确列式，并能运用公式解决相关问题． （1）利用阴影部分直接求和和总面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果； （2）由图2中阴影部分的面积表示可得：； （3）①由可得，然后整体代入计算即可； ②设，，可得，从而利用及的值可求得此题结果． 【小问1详解】 解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①由（2）题结论可得， 当时， ； ②设，，则，， ∴ ， ∴． 【23题答案】 【答案】（1）①5 ② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①按照定义及平方差公式计算即可；②按照定义及完全平方公式计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出和的值，再代入要求得式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值，从而可得答案． 【小问1详解】 解：①原式； ②； 【小问2详解】 解：， 是的共轭复数， ，， ； 【小问3详解】 解：由条件可知：，即， ，， 解得：，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $