15.3.2 第2课时 含 30°角的直角三角形的性质（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案作业手册（人教版·新教材）

该初中数学导学案聚焦含30°角的直角三角形的性质，通过基础达标题从角度计算、角平分线应用到性质证明，逐步过渡到能力提升的垂直平分线综合题与实际应用题，搭建由浅入深的学习支架。 资料设计层次分明，基础题巩固性质理解，能力题结合生活情境（如轮船航行问题）培养应用意识，部分题目配有视频解析辅助理解，助力学生发展推理能力与数学眼光，提升学习效率。

第2课时 含角的直角三角形的性质 01 基础达标 知识点 含角的直角三角形的性质 1. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝1，则BD＝________． 3. 等腰三角形的底角为，腰长是，则底边上的高为________． 4. 如图，△ABC中,∠ACB=90°, CD是高, ∠A=30°, 求证： AB = 4BD ． 02 能力提升 5. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰好平分∠BAC，若DE＝1，则BC的长是_____． 6. 如图，已知，点在边上，，点，在边上，．若，求的长． 7. 某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求： （1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里； （2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行驶，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由． 第2课时 含角的直角三角形的性质 01 基础达标 知识点 含角的直角三角形的性质 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】计算出各角的度数，再根据直角三角形中30度所对的边是斜边的一半求解即可．此题考查三角形内角和性质，含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：∵， 设为，为，为， 可得：， 解得：， ∴，，， ， ∴则等于 故选：B． 【2题答案】 【答案】2 【解析】 【分析】根据角平分线性质求出∠BAD的度数，根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°， AD平分∠CAB， ∴∠BAD＝30°， ∴BD＝AD＝2CD＝2， 故答案为2． 考点：含30度角的直角三角形；角平分线的性质 视频 【点睛】本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用，求出AD的长是解此题的关键． 【3题答案】 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质，底边上的高与腰构造出含角的直角三角形，利用直角三角形角的边角关系求解即可. 【详解】解：设该等腰三角形为，，底角， 作于点，则为底边上的高. 在中，，，. 根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，可得 . 故答案为： 【4题答案】 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据直角三角形30度角的性质即可证明. 【详解】证明：∵∠ACB=90°,∠A=30° ∴AB=2BC,∠B=60°. 又∵CD⊥AB ∴∠DCB=30° ∴BC=2BD ∴AB=2BC=4BD 【点睛】本题考查直角三角形30度角的性质，解题的关键是熟知其性质的运用. 02 能力提升 【5题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝BD，再根据等边对等角的性质求出∠DAB＝∠B，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余求出∠B＝30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，然后求解即可． 【详解】解：∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，∠C＝90°， ∴CD＝DE＝1， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD， ∴∠B＝∠DAB， ∵∠DAB＝∠CAD， ∴∠CAD＝∠DAB＝∠B， ∵∠C＝90°， ∴∠CAD+∠DAB+∠B＝90°， ∴∠B＝30°， ∴BD＝2DE＝2， ∴BC＝BD+CD＝1+2＝3， 故答案为3． 【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，属于基础题，熟记性质是解题的关键． 【6题答案】 【答案】5 【解析】 【分析】过点作于点，根据直角三角形角所对直角边等于斜边一半、等腰三角形三线合一及线段和差关系即可得到答案． 【详解】解：过点作于点， ∵， ， ∵，， ， ． 【7题答案】 【答案】（1）BP=7海里；（2）没有危险，理由见解析． 【解析】 【分析】（1）由方向角求出∠PAB和∠PBD，再根据外角的性质求出∠APB，可证明△APB是等腰三角形，即可求解． （2）过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求出∠PBD的度数是30°，从而根据30°角的性质求出PD的长，再把PD的长与3海里比较大小． 【详解】解：（1）∵∠PAB=90﹣75=15°，∠PBD=90°﹣60°=30° ∴∠APB=∠PBD﹣∠PAB=30°﹣15°=15°， ∴∠PAB=∠APB ∴BP=AB=7（海里） （2）过点P作PD垂直AC， 则∠PDB=90° ∴PD=PB=3.5＞3 ∴没有危险 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $