第12讲 直线与双曲线的位置关系（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学苏教版选择性必修第一册

第12讲 直线与双曲线的位置关系（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 直线与双曲线的位置关系 上一节学习了双曲线的方程和双曲线的几何性质，研究了双曲线的几何特征.下面继续研究直线与双曲线有什么样的位置关系? 【知识点1 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（2026高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解答过程】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B. 【变式1-1】（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【解答过程】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B. 【变式1-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由双曲线与直线的位置关系判断即可. 【解答过程】双曲线的渐近线方程为：， 当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点， 故CD与双曲线只有一个交点错误； 对于A，联立，可得：，无解，故A错误； 对于B，联立，可得：， ，故B正确； 故选：B. 【变式1-3】（25-26高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【解题思路】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【解答过程】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（2026·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断. 【解答过程】法一：由题意，联立方程可得， 当时，即时，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意. 所以，直线与双曲线只有一个公共点时，. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 法二：因为直线过定点，双曲线的右顶点为，如图， 根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有 交点. 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充要条件. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】联立直线与双曲线方程，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】设直线与双曲线的右支有两个不同的交点， 联立，消去得， 所以，解得， 故k的取值范围是. 故选：A. 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）双曲线与直线没有公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将双曲线方程与直线方程联立，得关于的方程，将公共点问题转化为方程的解的情况求解即可. 【解答过程】联立，得， 由直线与双曲线没有公共点，得 ①时，，即，解得； ②时，方程无解，此时（负值舍去） 综上所述：. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】联立直线与双曲线，分及讨论即可得. 【解答过程】联立，消去得， 当时，有，解得， 此时直线与双曲线有且仅有一个公共点； 当时，令， 化简得，即； 综上所述：当或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点， 故“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 模块三 弦长与“中点弦”问题 【知识点2 双曲线的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解题思路】先表达出直线AB的方程，根据题意，再将直线与双曲线联立方程组，结合韦达定理即可求解. 【解答过程】依题意，得双曲线的左焦点F1的坐标为，直线AB的方程为. 由得 . 设  ， 则，， 所以 ＝3. 故选：B.    【变式3-1】（25-26高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【解答过程】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【变式3-2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则___________． 【答案】 【解题思路】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解. 【解答过程】设双曲线与直线交于两点， 由消去整理得，则，解得，且， 所以． 由，解得，所以． 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高二上·四川达州·阶段检测）过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________． 【答案】 【解题思路】求出直线的方程后，联立双曲线方程，计算可得点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得解. 【解答过程】双曲线的左顶点为，则， 联立，消去可得， 则或，由，故，则， 故. 故答案为：. 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·广西河池·期末）直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由点差法求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【解答过程】设，，由图可知 因为线段的中点为，所以，， 所以，两式相减可得：， 即， 所以，即， 所以直线的斜率为1，所以直线的方程为：， 化简为：，经检验符合题意. 故选：B.    【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【解答过程】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式作差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 【变式4-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【解题思路】设由点差法可得直线的斜率，可得答案. 【解答过程】设由AB的中点坐标为，则且 ， 所以. 又A，B两点在双曲线上， 所以由相减可得，即， 所以，即，解得， 所以的斜率为. 故选：A. 【变式4-3】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用点差法求出直线斜率，再利用点斜式求出直线方程，再化为一般式即可求解． 【解答过程】设端点，，作图如下：    由，在双曲线上，则，两式做差可得， 即，又弦被点平分， 则，代入上式可得，则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D． 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据双曲线定义，用表示，结合余弦定理求得，再结合三角形面积公式，即可求得结果. 【解答过程】因为，所以， 在双曲线上，设 ①， 由，在中， 根据余弦定理可得，， 故，即②， 由①②可得， 得到的面积 故选：C. 【变式5-1】（2026·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出双曲线的焦点坐标及渐近线的方程，设出直线并与双曲线方程联立，求出的纵坐标比值即可得解. 【解答过程】在双曲线中，，渐近线方程为， 由对称性，不妨令点在第一象限，设直线的方程为，， 由消去得，设，， 则，令，联立消去得， 整理得，而，即，解得， 因此，所以的取值范围是. 故选：B.      【变式5-2】（2026·广东茂名·一模）已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为___________. 【答案】 【解题思路】联立直线与曲线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理表示的面积并计算即可得解. 【解答过程】联立，消去，得， 令，，则，， ，，解得， 由直线过定点，故， ， 解得或（舍去），，直线的方程为. 故答案为：. 【变式5-3】（2026·广东·一模）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为____________． 【答案】 【解题思路】由对称性可知，由得，设直线的方程为，联立可得，由弦长公式可得，进而由点到直线的距离可得到直线的距离为，进而可得的面积. 【解答过程】 如图，由双曲线的对称性可知，故， 设直线的方程为，， 由得， 由题意，， ， 整理得，由得， 故直线的方程为，即，则， 由题意，点到直线的距离为， 则， 故答案为：. 【题型6 双曲线中的参数范围及最值】 【例6】（2026·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】由点到线的距离公式可得右焦点到渐近线的距离为，根据的面积等于，可得，再利用不等式即可求解. 【解答过程】    设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为， 又，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2. 故选：. 【变式6-1】（2026·江西赣州·一模）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分析可知，利用点差法计算得出，结合的取值范围可求得的取值范围. 【解答过程】因为直线与双曲线没有公共点， 所以双曲线的渐近线的斜率， 而双曲线的离心率， 当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即， 则双曲线的方程为， 设、、，则， 两式相减得：，即，即， 又，． 故选：A. 【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是____________． 【答案】 【解题思路】由点在双曲线上得到点满足的方程，再由两点间直线的斜率分别表示出，由双曲线渐近线的斜率得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【解答过程】设，因为点在双曲线上，所以， 因为，所以，所以， 因为双曲线的渐近线方程为，是双曲线上第一象限内的一点，所以， 所以． 故答案为：. 【变式6-3】（2026·全国·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】由题意设直线的方程为，将其与双曲线方程联立化简得，结合韦达定理、弦长公式可用表示出，由点到直线的距离公式可得三角形边上的高，从而可得三角形面积表达式，进一步可得（平行）四边形面积表达式，进一步即可求解. 【解答过程】 由题意得． 因为点在的右支上， 所以设直线的方程为． 与联立，得，， 设，则， 所以 ． 易知点到直线的距离． 由线段的中点与线段的中点重合，得四边形是平行四边形， 其面积． 由，得， 所以，所以． 故答案为：. 【题型7 双曲线中的定点、定值问题】 【例7】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析，. 【解题思路】（1）利用双曲线的焦点坐标和渐近线求出的值，从而得到双曲线方程； （2）联立直线方程和双曲线方程，通过韦达定理得到相关点的坐标关系，再根据直线斜率公式证明为定值. 【解答过程】（1）由题可知，，，又因为，可解得， 故双曲线的标准方程为：. （2） 由（1）知，，. 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为， 设，由，消去得， 若直线与双曲线交于两点，则， 由韦达定理，可得， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，即为定值. 【变式7-1】（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据离心率及的值，求出的值，代入双曲线方程即可. （2）设出直线方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理得到两根之和和两根之积，根据进行化简，进而求出定点坐标. 【解答过程】（1）因为，， 所以，故的标准方程为. （2）证明：设直线的方程为，，. 由，得， 则，，， 又，则，， 因为，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，则直线过定点. 综上，直线过定点． 【变式7-2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i），（ii）证明见解析， 【解题思路】（1）根据渐近线的斜率和实轴长可求方程； （2）（i）联立方程，结合根与系数的关系式可求范围；（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系式，可得直线恒过点. 【解答过程】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. 【变式7-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析，. 【解题思路】（1）利用给定的离心率及焦点到渐近线的距离，列式求出即可得双曲线方程. （2）（i）由题意易得直线l的斜率存在,设，直线l的方程为，联立直线与双曲线方程，化简的式子，结合韦达定理即可求出结果.（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系以及定值探究直线过哪个定点． 【解答过程】（1）设双曲线右焦点， 由到双曲线的渐近线的距离为，得， 由双曲线的离心率，得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）（i）显然直线的斜率存在，设其方程为， 由消去得， ，由直线与双曲线的左、右支分别交于点， 得，解得， 则 ， 所以为定值. （ii）设直线的方程为，直线斜率，由（i）得， 由消去得， ， 由，得，即或， 当时，直线过点，不符合题意，舍去， 当时，直线的方程为，过定点. 【题型8 双曲线中的定直线问题】 【例8】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程． 【解答过程】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为． （2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，， 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，， 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上． 【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据题中所给数据求解即可； （2）设直线方程为：，，，联立直线和双曲线方程，结合韦达定理可得，求出点坐标，直线方程，再联立直线和直线方程，求出交点坐标即可得证. 【解答过程】（1）由题意，，， 所以， 所以C的方程为． （2）证明：由题意，直线的斜率存在， 设直线方程为：，，．    联立，消去，得， 由于，同号，所以，， ， 所以， 联立，解得， 所以， 所以直线的方程为，即， 联立，解得， 所以直线与直线的交点在定直线上． 【变式8-2】（25-26高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定直线 【解题思路】（1）由题意列式求出，即得答案； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，写出直线和直线的方程，联立化简可求出点P横坐标，即可得结论. 【解答过程】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 【变式8-3】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据焦点坐标与离心率确定，再由算出，即可写出标准方程； （2）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，推导出，将目标式化为单变量二次函数，利用二次函数性质求最小值即可； （3）写出两条直线的方程并联立，代入的比例关系，化简后求得交点纵坐标恒为定值，即可证明点在直线上. 【解答过程】（1）设双曲线的标准方程为， 由题意可得，解得，， 所以双曲线的标准方程为. （2）双曲线的上下顶点为，，设直线的方程为， 设，， 联立，消去，可得， 则，，且， 所以， 所以， 所以，所以， 所以当时，的最小值为； （3）直线的方程为，直线的方程为， 联立，得，解得， 即点在定直线上． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【解题思路】根据已知直线和双曲线的渐近线的位置关系判断即可. 【解答过程】因为双曲线的渐近线方程为， 所以，当时，直线与渐近线重合，此时直线与双曲线无交点； 当时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线有一个交点. 故选：C.    2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】将直线与双曲线有两个不同的交点转化为方程有两个不同的根，再用一元二次方程根的判别式解得. 【解答过程】将直线代入双曲线中，整理得， 因为直线与双曲线交于不同的两点， 所以,，解得， 所以斜率的取值范围是. 故选：C. 3．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及中点坐标求得，即可得直线方程. 【解答过程】设直线的方程为，即， 联立方程组，消元得， 且，可得， 所以，解得，显然满足， 直线的方程为. 故选：C. 4．（2026·陕西汉中·一模）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】探讨直线与曲线的特征，画出图形，数形结合求出的范围. 【解答过程】曲线，即（），表示双曲线的右支，其渐近线方程为， 直线过定点，直线与曲线，如图， 观察图形得，当且仅当时，直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以的取值范围为. 故选：B. 5．（25-26高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设点，利用中点弦问题求出直线斜率，并求出该直线方程，再与双曲线方程联立求出弦长. 【解答过程】设双曲线上的点，线段的中点为，则， 则，且， 两式相减，得，即， 则直线斜率，直线的方程为：， 由，消去，得，解得， . 故选：B. 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，求得，，再根据弦长公式计算即可求解. 【解答过程】由题意得，， 所以，，所以，，， 所以双曲线的方程为， 因为，直线过点且倾斜角为，则直线的斜率， 所以直线l的方程为， 与双曲线的方程联立，消去，整理得， 解得，， 所以． 故选：D． 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】将直线的方程与双曲线的方程联立，可得出，直线交轴于点，由可得出关于的等式，解之即可. 【解答过程】联立可得，， 设点、，直线交轴于点， ，解得或. 故选：D. 8．（2026高三·全国·专题练习）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【解题思路】设，与双曲线的另一个交点分别为B，D，结合对称性可知，设直线CD：，联立方程结合韦达定理可得，换元令，结合二次函数性质求最值. 【解答过程】如图，设，与双曲线的另一个交点分别为B，D， 连接AD，BC，BD，由对称性易知四边形ABDC为平行四边形，且， 由题意可知：，，则，， 且直线CD的斜率不为0，设直线CD：，，， 联立方程消去x得， 则，可得，， 由图可知，解得， 则， 且点到直线CD的距离，， 可得 ， 令，，则， 当且仅当时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为． 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】将直线方程与双曲线方程联立，可得出关于的方程有一正一负根，可得出关于的不等式组，解之即可. 【解答过程】联立，消去得. 因为直线与双曲线的左、右两支各有一个交点， 所以方程有一正一负根，设这两根分别为、， 所以，整理得，解得. 所以的取值范围为， 故选：BCD. 10．（2026·辽宁·三模）已知双曲线及直线，若与交于A，B两点，是坐标原点，且的面积为，则实数的值可能为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】AD 【解题思路】联立方程组，利用设而不求法，三角形面积公式表示的面积，列方程求的值． 【解答过程】联立，消去整理得：， 由已知，所以或， 设， 则，. 由题意，直线恒过点． ① 若，则， ② 若，则， 所以， 即， 解得或， 经检验，或均满足题意， 故或， 故选：AD. 11．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 【答案】BC 【解题思路】将直线方程与双曲线方程联立，可判断A选项；直接求出双曲线的离心率可判断B选项；利用双曲线的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用点差法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，联立可得， 所以，直线与恰有只有一个公共点，A错； 对于B选项，对于双曲线，则，，， 所以，双曲线的离心率为，B对； 对于C选项，设，，由双曲线的定义可得， 由余弦定理得， 可得，则，C对； 对于D选项，设点、，线段的中点为， 则，，则， 由题意可得，所以，，则，D错. 故选：BC. 三、填空题 12．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）若直线与双曲线有公共点，则可取的一个值是___________． 【答案】（只需，答案不唯一） 【解题思路】求出渐近线方程，从而得到不等式，求出，得到答案. 【解答过程】的渐近线方程为， 要想直线与双曲线有公共点，则， 解得， 故不妨取 故答案为：（答案不唯一，只需）. 13．（2026高二·全国·专题练习）已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度为___________. 【答案】30 【解题思路】联立直线方程和双曲线方程，利用弦长公式可求线段的长度. 【解答过程】设点的坐标为，点的坐标为． 因为是双曲线与直线的交点， 所以点的坐标满足，所以， 此时，由韦达定理可得， 因为 ， 所以， 故答案为：30. 14．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是___________． 【答案】 【解题思路】设出两点，代入双曲线方程，利用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，即可确定直线的方程. 【解答过程】设，则有，两式相减，可得， 为线段的中点，故有， 即，若，则，即两点重合，不满足题意， 故，因此可得直线的斜率为， 又因为直线过， 故直线，整理得， 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）求出值，再根据离心率即可得到双曲线方程； （2）写出直线方程，联立双曲线方程，得到韦达定理式，再利用弦长公式即可得到答案. 【解答过程】（1）由题意得， 因为双曲线C与椭圆有公共焦点， 则可设双曲线C的方程为， 因为其离心率为3，则，即，则，则， 则双曲线C的方程为. （2）双曲线C的右焦点坐标为， ∵直线的倾斜角为，故其斜率为，又过点， ∴的方程为，设， 由，消去，得，， ∴， ∴． 16．（25-26高二上·湖北·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题知，，进而结合求解即可得答案； （2）由题设直线的方程为，，，， 进而与双曲线方程联立，结合题意得且，进而根据韦达定理进行求解. 【解答过程】（1）因为双曲线的一条渐近线方程是， 所以，即 因为焦距为4，所以，即 因为， 所以， 所以双曲线的方程为. （2）由题知双曲线的右焦点为， 故设直线的方程为， 则联立方程得， 设，， 所以， 因为直线与双曲线的右支交于A，B两点， 所以，即且， 所以，解得：且， 若线段的中点为，得， 得,解得或， 而且，得， 得所求直线的方程为：，即为. 17．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得的值，即可得到双曲线的标准方程； （2）根据题意，得到直线为，联立方程组，得到，利用弦长公式和点到直线的距离公式，求得弦长和三角形的高，结合三角形的面积公式，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为双曲线的实轴长为，焦距为 可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）解：由直线过点且倾斜角为，可得直线的方程为 联立方程组，整理得， 设，则且， 由弦长公式，可得， 又由原点到直线的距离为， 所以的面积为. 18．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直线的斜率之积为3，构造方程求出，再将点代入方程即可；（2）设直曲联立，借助韦达定理，由，所以，结合韦达定理，求出，再用点到直线距离计算即可. 【解答过程】（1）由题意可得， 则直线的斜率，直线的斜率． 因为直线的斜率之积为3，所以，解得． 因为点在双曲线上，所以，解得． 故双曲线的标准方程为． （2）设直线 联立整理得 则 所以． 因为，所以， 所以 即 化简得，故． 由点到直线的距离公式可得，点到直线的距离． 因为，所以，所以， 即点到直线的距离的最大值是． 19．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 【答案】(1) (2)，证明见解析 【解题思路】（1）由虚轴长求出的值，由直线为双曲线的一条渐近线得到，计算出的值，从而得到双曲线的标准方程； （2）①根据题意写出直线的方程，联立直线和双曲线，消去，得到关系的一元二次方程，设，根据根与系数的关系写出和，根据弦长公式求出的值；②写出的坐标，按照直线与轴是否垂直分情况讨论求解，当直线垂直轴时，写出直线的方程为，将代入双曲线中解得的值，得到的坐标，求出，，计算的值；当直线不垂直轴时，设出的方程，联立直线和双曲线，消去，得到关于的一元二次方程，设，根据根与系数的关系写出和，求出，，计算的值，从而得到为定值. 【解答过程】（1）虚轴长为，，， 直线为双曲线的一条渐近线，， ，， 双曲线的标准方程为； （2）①过点的直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去，得到， 整理得，设， 则有， 故； ②， 当直线垂直轴时，过点的直线的方程为， 将代入双曲线中得，解得 则， ，，， 当直线不垂直轴时，过点的直线的方程为， 联立直线和双曲线，即，消去， 得到关于的一元二次方程， 整理得到，设， ，， ，， . 综上可知，为定值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 直线与双曲线的位置关系（暑假预习讲义） 【苏教版】 模块二 直线与双曲线的位置关系 上一节学习了双曲线的方程和双曲线的几何性质，研究了双曲线的几何特征.下面继续研究直线与双曲线有什么样的位置关系? 【知识点1 直线与双曲线的位置关系】 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，. Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ=0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离. (2)对直线与双曲线的交点位置分以下三种情况进行讨论： ①若一条直线与双曲线的右支交于两个不同的点，则应满足条件； ②若一条直线与双曲线的左支交于两个不同的点，则应满足条件； ③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件. 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 【例1】（2026高二·全国·专题练习）直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式1-1】（25-26高三下·四川绵阳·阶段检测）过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】（25-26高三上·北京海淀·阶段检测）与双曲线有两个交点的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数】 【例2】（2026·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（25-26高二上·北京·阶段检测）已知直线与双曲线的右支有两个不同的交点，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2026高三·全国·专题练习）双曲线与直线没有公共点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·北京丰台·期中）已知直线：，“或”是“直线与双曲线有且仅有一个公共点”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 模块三 弦长与“中点弦”问题 【知识点2 双曲线的弦长与“中点弦”问题】 1．弦长问题 ①弦长公式：直线y=kx+b与双曲线相交所得的弦长d. ②解决此类问题时要注意是交在同一支，还是交在两支上. ③处理直线与圆锥曲线相交弦有关问题时，利用韦达定理、点差法的解题过程中，并没有条件确定直 线与圆锥曲线一定会相交，因此，最后要代回去检验. ④双曲线的通径： 过焦点且与焦点所在的对称轴垂直的直线被双曲线截得的线段叫作双曲线的通径.无论焦点在x轴上还 是在y轴上，双曲线的通径总等于. 2．“中点弦问题” “设而不求”法解决中点弦问题： ①过椭圆内一点作直线，与椭圆交于两点，使这点为弦的中点，这样的直线一定存在，但在双曲线的这类问题中，则不能确定.要注意检验. ②在解决此类问题中，常用韦达定理及垂直直线的斜率关系.常用的解题技巧是如何应用直线方程将转化为能用韦达定理直接代换的.垂直关系有时用向量的数量关系来刻画，要注意转化. 3．双曲线的第二定义 平面内，当动点M到一个定点的距离和它到一条定直线(点不在直线上)的距离之比是常数(e>1)时，这个动点的轨迹就是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率. 【题型3 双曲线的弦长问题】 【例3】（25-26高二上·全国·课后作业）过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】（25-26高二上·天津河西·期末）过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则___________． 【变式3-3】（25-26高二上·四川达州·阶段检测）过双曲线的左顶点作倾斜角为的直线与交于另一点，则___________． 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 【例4】（25-26高二上·广西河池·期末）直线l与双曲线交于P，Q两点，线段PQ的中点为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·江苏·期末）若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知过点的直线与双曲线：交于，两点，且为的中点，则的斜率为（   ） A．5 B．6 C． D． 【变式4-3】（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）若经过点的直线与双曲线相交于，两点，且弦被点平分，则此直线方程为（    ） A． B． C． D． 【题型5 双曲线中的三角形（四边形）面积问题】 【例5】（25-26高二上·甘肃兰州·期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为，点P是双曲线上一点，若，则 的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2026·云南昆明·模拟预测）双曲线的左､右焦点分别为，过的直线l与双曲线的左､右两支分别交于A，B两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·广东茂名·一模）已知双曲线，直线分别与的左、右支交于两点，为坐标原点，若的面积为，则直线的方程为___________. 【变式5-3】（2026·广东·一模）分别为双曲线的左、右焦点，两点在双曲线上且关于原点对称（点在第一象限），直线与双曲线的另一个交点为点，若，则的面积为____________． 【题型6 双曲线中的参数范围及最值】 【例6】（2026·重庆·一模）已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【变式6-1】（2026·江西赣州·一模）已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026高三·全国·专题练习）如图所示，是双曲线右支（在第一象限内）上的任意一点，分别是左右顶点，是坐标原点，直线，的斜率分别为，则斜率之积的取值范围是____________． 【变式6-3】（2026·全国·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是___________． 【题型7 双曲线中的定点、定值问题】 【例7】（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）已知双曲线的右焦点的坐标为，双曲线的一条渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左､右顶点分别为，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线的斜率为，直线的斜率为，求证：为定值. 【变式7-1】（25-26高二上·湖北襄阳·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，离心率为，是上的两点． (1)求的标准方程； (2)若（不在直线上)，证明：直线过定点． 【变式7-2】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【变式7-3】（25-26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知双曲线的离心率，右焦点到渐近线的距离为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，，直线与双曲线交于另一点，设直线AM，AN的斜率分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求证：直线MP过定点，并求出该定点的坐标. 【题型8 双曲线中的定直线问题】 【例8】（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【变式8-1】（2026高三·全国·专题练习）已知，分别是双曲线：的上顶点，下焦点． (1)求的标准方程； (2)过的直线与的上、下支分别交于两点（异于），直线平分线段与的下支交于点，证明：直线与直线的交点在定直线上． 【变式8-2】（25-26高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【变式8-3】（25-26高二上·广东中山·期末）已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为．记的上、下顶点分别为，过点的直线与的上支交于两点． (1)求的方程； (2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值； (3)直线与交于点，证明：点在定直线上． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与双曲线交于不同的两点，则斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）双曲线的一弦中点为，则此弦所在的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西汉中·一模）若直线与曲线只有一个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川成都·期末）设为双曲线上的两点，线段的中点为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为6，离心率．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖南·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为、，直线与双曲线交于、两点，若面积是面积的倍，则（    ） A． B．或 C． D．或 8．（2026高三·全国·专题练习）如图，，分别是双曲线的左、右焦点，C，A分别是双曲线上第一、二象限的点，若，则四边形的面积的最小值为（   ） A． B． C．2 D． 二、多选题 9．（25-26高二下·安徽安庆·阶段检测）直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的可能取值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·辽宁·三模）已知双曲线及直线，若与交于A，B两点，是坐标原点，且的面积为，则实数的值可能为（    ） A．0 B． C． D． 11．（2026·湖南邵阳·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过的直线与的右支交于、两点，则（    ） A．直线与恰有两个公共点 B．双曲线的离心率为 C．当时，的面积为 D．当直线的斜率为，过线段的中点和原点的直线的斜率为时， 三、填空题 12．（25-26高二上·山东济南·阶段检测）若直线与双曲线有公共点，则可取的一个值是___________． 13．（2026高二·全国·专题练习）已知是双曲线与直线的交点，求线段的长度为___________. 14．（25-26高二上·湖北十堰·阶段检测）直线与双曲线相交于，两点，且线段的中点为，则直线 的方程是___________． 四、解答题 15．（25-26高二上·广东广州·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，且离心率为3． (1)求双曲线C的方程； (2)过双曲线C的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线C相交于A，B两点，求． 16．（25-26高二上·湖北·期末）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为4． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线右焦点的直线与双曲线右支交于两点，若线段的中点为，求直线的方程． 17．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，焦距为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支交于两点，为坐标原点，求的面积. 18．（2026·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3． (1)求双曲线的标准方程； (2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值． 19．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）已知双曲线C：的虚轴长为4，直线为双曲线C的一条渐近线. (1)求双曲线C的标准方程； (2)记双曲线C的左顶点为A，过点的直线交双曲线C于点M，N（点M在第一象限）. ①当直线的斜率为1时，求； ②记直线斜率为，直线斜率为，求证：为定值. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $