精品解析：山西省运城市河津市部分校2025-2026学年八年级下学期期末阶段成果考查数学试题

2025-2026学年第二学期八年级阶段性学习成果考查 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产大模型亮相数字产业展会，下列四个产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点D，点E分别是的中点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3.5 C. 3 D. 6 5. 化简时，应约去的分子分母的公因式是（ ） A. B. C. D. 6. 某科技公司研发的仿生机械臂（如图1），其小臂与大臂的长度均为，在正常工作状态下，关节处的夹角为，如图2所示．机械臂的末端A到固定点C的距离即为其有效工作距离，求该仿生机械臂有效工作距离的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 某小区室外供暖管线采用装配式保暖模块，模块截面是一个正八边形，其每个内角度数为（ ） A. B. C. D. 8. 2026年4月13日，太原市多所中小学陆续推迟到校时间、取消统一早读，以守护学生健康成长．某校为了解八年级学生每天的睡眠时间t（小时），随机抽查了部分学生，将数据分为四组：，，，，若要求睡眠时间不少于8小时的学生占比超过60%，则下列不等式能正确表示该条件的是（设总人数为n，C，D组人数和为m）（ ） A. B. C. D. 9. 已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 2026年5月，太原地铁1号线迎来全面运营一周年．某中学组织八年级学生乘坐地铁前往太原双塔公园开展“跨学科主题学习”，已知去时乘坐地铁，返回时乘坐新能源大巴，去时的速度是返回时速度的倍，且去时比返回时少用了15分钟，若往返的路程均为，晓华根据情境列出方程，则方程中的未知数x表示的意义为（ ） A. 乘坐大巴所用的时间 B. 乘坐地铁所用的时间 C. 乘坐地铁的平均速度 D. 乘坐大巴的平均速度 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点Q关于原点中心对称，则点Q的坐标为______． 12. 解分式方程时产生了增根，这个增根是______． 13. 如图，在中，，，将沿射线方向平移得到，连接，若，平移距离为2，则阴影部分的面积为______． 14. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 15. 如图，将四边形绕点D旋转至四边形，当与C重合，落在对角线上时，连接，已知，，，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1）； （2） 17. 解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 下面是小华同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，…第一步 去括号得，，…第二步 移项、合并同类项得，，…第三步 解得，，…第四步 检验：当时，…第五步 ∴是原方程的根．…第六步 任务： （1）小华同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是：______； （2）请写出该方程正确的求解过程； （3）解分式方程必须检验的原因是______． 20. 如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，连接交于点G，连接交于点H．求证：四边形是平行四边形． 21. 为推进特色农产品提质惠民项目，太原市清徐县某农业园区计划采购甲、乙两种节能冷藏保温柜，用于鲜果、蔬菜存储． （1）已知甲款单台售价比乙款贵0.2万元；用18万元采购甲款的台数，等于用12万元采购乙款台数的1.2倍．求甲、乙两款冷藏保温柜的单价． （2）园区计划采购两种冷藏保温柜共75台，总经费不超过68万元．该园区最多可购进甲款冷藏保温柜多少台？ 22. 阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 运动视角下再谈中位线 学完平行四边形的有关内容后，小颖同学梳理知识结构过程如下： 一、全等三角形-平行四边形 1．平行四边形的形成 两个全等三角形，从重合位置开始，绕一边中点将其中一个三角形旋转后，与另一个三角形形成的图形，如图1， 2．性质探究： …… 3．图形结构分析： B，C，A分别为边中点 4．中位线定义形成、性质探究…… 二、梯形-平行四边形 1．平行四边形形成 任意两个全等梯形都可绕一腰中点旋转形成平行四边形． 如图2，梯形绕的中点O旋转后得到梯形，则梯形梯形重合，点A，D，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上． 求证：四边形为平行四边形． 证明：…… 2．梯形中位线定义的形成、性质探究 所在直线绕的对称中心点O旋转至如图3，交于点M，交于点N．M，N分别为的中点，此时为梯形，梯形的中位线． （1）完成材料中证明过程． （2）如图3，猜想与，数量关系并证明． （3）应用：如图4，公园有一块四边形空地，为了美观，需改造成与其面积相等的梯形，请设计出所要求的梯形． 23. 综合与探究 学习完平行四边形知识后，数学兴趣小组结合图形平移，旋转进一步研究． 如图1，在中，，，点O为对角线的中点，将绕点O逆时针旋转到位置，如图2，此时点，分别落在，边上，，分别经过点A，C． （1）猜想与的位置关系并说明理由． （2）在图2的基础上将沿射线平移至位置，如图3，F与C重合，过点，交于点M，交射线于点N，猜想，，三条线段之间的数量关系并证明． （3）在图3的基础上将沿射线方向平移，当为等腰三角形时直接写出平移距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级阶段性学习成果考查 数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 2. 当前我国人工智能产业快速发展，多款国产大模型亮相数字产业展会，下列四个产品图标中，其文字上方的图标图案是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一个图形绕某个点旋转180度后能够和自身完全重合的图形是中心对称图形进行判断即可． 【详解】解：A、 该图形不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形是中心对称图形，符合题意； C、 该图形不是中心对称图形，不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，左边是多项式，右边是两个整式的积，符合因式分解的定义． 选项B，右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 选项C，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的要求． 选项D，是将几个整式的积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解． ∴只有A符合要求． 4. 如图，在中，，点D，点E分别是的中点，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 3.5 C. 3 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理和三角形的中位线定理进行求解即可. 【详解】解：∵在中，，点D，点E分别是的中点，，， ∴， ∴， ∴. 5. 化简时，应约去的分子分母的公因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先找系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，两者相乘即可得到公因式． 【详解】解：分子为，分母为，先确定系数部分：和的最大公约数是， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂， 对字母：分子中的次数为，分母中的次数为，取最低次幂，仅出现在分子中，不纳入公因式， 分子分母的公因式为． 6. 某科技公司研发的仿生机械臂（如图1），其小臂与大臂的长度均为，在正常工作状态下，关节处的夹角为，如图2所示．机械臂的末端A到固定点C的距离即为其有效工作距离，求该仿生机械臂有效工作距离的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作，根据三线合一，含30度角的直角三角形的性质，以及勾股定理进行求解即可. 【详解】解：如图， 连接，作， 由题意，， 则， ∴，， ∴. 7. 某小区室外供暖管线采用装配式保暖模块，模块截面是一个正八边形，其每个内角度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正八边形每个外角的度数，即可求出每个内角度数． 【详解】解：∵任意多边形的外角和恒为，正八边形的8个外角全部相等， ∴正八边形每个外角的度数为 ； ∵多边形的内角与它的相邻外角之和为， ∴正八边形每个内角度数为 ． 8. 2026年4月13日，太原市多所中小学陆续推迟到校时间、取消统一早读，以守护学生健康成长．某校为了解八年级学生每天的睡眠时间t（小时），随机抽查了部分学生，将数据分为四组：，，，，若要求睡眠时间不少于8小时的学生占比超过60%，则下列不等式能正确表示该条件的是（设总人数为n，C，D组人数和为m）（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意明确不等关系，睡眠时间不少于8小时的学生对应C，D两组，要求该部分学生占总人数的比例超过，根据占比关系列不等式整理即可得到结果． 【详解】解：睡眠时间不少于8小时的学生对应C，D组，人数和为，总人数为，要求占比超过， 列不等式得， 是总人数，， ． 9. 已知：如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，交于点G，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质，角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，三角形的内角和，逐个分析判断即可． 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴，，， ∴，，， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴， ∴，，， ∴，，，故A正确， ∴，故B正确， ， ∴，故D正确， 从已知条件，无法证明，故C错误． 10. 2026年5月，太原地铁1号线迎来全面运营一周年．某中学组织八年级学生乘坐地铁前往太原双塔公园开展“跨学科主题学习”，已知去时乘坐地铁，返回时乘坐新能源大巴，去时的速度是返回时速度的倍，且去时比返回时少用了15分钟，若往返的路程均为，晓华根据情境列出方程，则方程中的未知数x表示的意义为（ ） A. 乘坐大巴所用的时间 B. 乘坐地铁所用的时间 C. 乘坐地铁的平均速度 D. 乘坐大巴的平均速度 【答案】B 【解析】 【分析】根据行程问题中速度=路程÷时间的关系，结合题目给出的速度、时间条件，对应方程各部分即可得到x的意义． 【详解】解：∵往返路程均为，行程问题中，已知去时（地铁）速度是返回时（大巴）速度的倍，去时比返回少用分钟，即小时，若为乘坐地铁所用的时间，则乘坐大巴的时间为， ∴地铁速度为，大巴速度为，根据速度关系可得，与题目给出的方程一致， 因此表示乘坐地铁所用的时间． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点与点Q关于原点中心对称，则点Q的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数即可求解． 【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标特征，点关于原点中心对称的点的坐标为． 12. 解分式方程时产生了增根，这个增根是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：把方程去分母得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解， ∴这个增根是． 13. 如图，在中，，，将沿射线方向平移得到，连接，若，平移距离为2，则阴影部分的面积为______． 【答案】8 【解析】 【分析】过点A作于点M，根据勾股定理，求出，由，求出，由平移，得，推导出四边形是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过点A作于点M，如图 ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 由平移，得 ， ∴四边形是平行四边形， ∴阴影部分的面积为． 14. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用函数过点，求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数过点， ， 解得， ， 不等式的解集为． 15. 如图，将四边形绕点D旋转至四边形，当与C重合，落在对角线上时，连接，已知，，，则______． 【答案】12 【解析】 【分析】根据旋转的性质，推出为含30 度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：如图，设与交于点， ∵旋转， ∴，，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 分解因式： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解：原式． 17. 解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】；解集在数轴上表示如下： 【解析】 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以，原不等式组的解集为． 图略 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】原式先计算括号内的，再把除法转换为乘法，约分后得最简结果，最后代入的值进行计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式． 19. 下面是小华同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，…第一步 去括号得，，…第二步 移项、合并同类项得，，…第三步 解得，，…第四步 检验：当时，…第五步 ∴是原方程的根．…第六步 任务： （1）小华同学的求解过程从第______步开始出现错误，错误的原因是：______； （2）请写出该方程正确的求解过程； （3）解分式方程必须检验的原因是______． 【答案】（1）一；去分母时，方程两边同乘时，这一项在去分母时没有变号； （2）解：， ， ， ； 检验：当时，， 所以，是原方程的解． （3）因为解分式方程时可能会在方程两边同乘一个使分母为零的整式，方程会有增根，所以解分式方程必须检验． 【解析】 【分析】（1）第一步，去分母时，符号出错； （2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1，进行检验即可； （3）根据产生增根的原因进行作答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 如图，在平行四边形中，平分交于点E，平分交于点F，连接交于点G，连接交于点H．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形 ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴，即． ∴四边形是平行四边形． ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先推导出，，，得到，根据角平分线，推导出，可证明四边形是平行四边形，进而推导出四边形是平行四边形，得到，继而推导出四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】略 21. 为推进特色农产品提质惠民项目，太原市清徐县某农业园区计划采购甲、乙两种节能冷藏保温柜，用于鲜果、蔬菜存储． （1）已知甲款单台售价比乙款贵0.2万元；用18万元采购甲款的台数，等于用12万元采购乙款台数的1.2倍．求甲、乙两款冷藏保温柜的单价． （2）园区计划采购两种冷藏保温柜共75台，总经费不超过68万元．该园区最多可购进甲款冷藏保温柜多少台？ 【答案】（1）甲款冷藏保温柜单价1万元，乙款冷藏保温柜单价0.8万元 （2）该园区最多购入甲款冷藏保温柜40台 【解析】 【分析】（1）设乙款冷藏保温柜单价为x万元，则甲款冷藏保温柜单价为万元，根据题意建立分式方程求解即可； （2）设购入甲款冷藏保温柜a台，则购入乙款冷藏保温柜台，根据“总经费不超过68万元”建立不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙款冷藏保温柜单价为x万元． 由题意可得： 解得，， 经检验，是原方程的解． （万元） 答：甲款冷藏保温柜单价1万元，乙款冷藏保温柜单价0.8万元． 【小问2详解】 解：设购入甲款冷藏保温柜a台． 由题意可得：， 解得， 因为a是正整数，所以a的最大值为40． 答：该园区最多购入甲款冷藏保温柜40台． 22. 阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 运动视角下再谈中位线 学完平行四边形的有关内容后，小颖同学梳理知识结构过程如下： 一、全等三角形-平行四边形 1．平行四边形的形成 两个全等三角形，从重合位置开始，绕一边中点将其中一个三角形旋转后，与另一个三角形形成的图形，如图1， 2．性质探究： …… 3．图形结构分析： B，C，A分别为边中点 4．中位线定义形成、性质探究…… 二、梯形-平行四边形 1．平行四边形形成 任意两个全等梯形都可绕一腰中点旋转形成平行四边形． 如图2，梯形绕的中点O旋转后得到梯形，则梯形梯形重合，点A，D，F在同一直线上，点B，C，E在同一直线上． 求证：四边形为平行四边形． 证明：…… 2．梯形中位线定义的形成、性质探究 所在直线绕的对称中心点O旋转至如图3，交于点M，交于点N．M，N分别为的中点，此时为梯形，梯形的中位线． （1）完成材料中证明过程． （2）如图3，猜想与，数量关系并证明． （3）应用：如图4，公园有一块四边形空地，为了美观，需改造成与其面积相等的梯形，请设计出所要求的梯形． 【答案】（1）证明：∵梯形梯形， ∴，，． ∴，，即． ∴四边形是平行四边形． （2）， 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵是梯形的中位线， ∴， ∵在和中 ， ∴， ∴， ∴点O是的中点， 又∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴． （3） 梯形即为所求作 【解析】 【分析】（1）证明，即可得四边形是平行四边形； （2）连接，证明，得是的中位线，可证明，，故可得结论； （3）如图，补全矩形，使补充的图形面积与四边形面积相等，连接对角线相交于一点，过交点作直线，所得梯形与四边形面积相等，即为所求梯形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 综合与探究 学习完平行四边形知识后，数学兴趣小组结合图形平移，旋转进一步研究． 如图1，在中，，，点O为对角线的中点，将绕点O逆时针旋转到位置，如图2，此时点，分别落在，边上，，分别经过点A，C． （1）猜想与的位置关系并说明理由． （2）在图2的基础上将沿射线平移至位置，如图3，F与C重合，过点，交于点M，交射线于点N，猜想，，三条线段之间的数量关系并证明． （3）在图3的基础上将沿射线方向平移，当为等腰三角形时直接写出平移距离． 【答案】（1），理由如下： 由旋转可知，， ∴， ∵O是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： 由（1）可得：， ∴， ∵四边形与四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， 由平移可知，，，， ∴，， ∴， 由旋转可得，， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴，， 由旋转可得：，由平移可得： ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据旋转得出，，根据等腰三角形的性质得出，证明，根据等腰三角形的性质得出，求出，即可得出结论； （2）证明，得出，，根据等腰三角形的判定得出，根据线段间数量关系证明，得出，即可得出结论； （3）分两种情况：当点F在上，时，当点F在延长线上，时，分别画出图形进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，根据解析（1）可得：，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵中，， ∴， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值已舍去， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据平移和旋转的性质可得： ，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 根据平移可得：， ∴， 当点F在上，时，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值已舍去， ∴， 即此时平移距离为； 当点F在延长线上，时，如图所示： 则， 即此时平移距离为； 综上，当为等腰三角形时，平移距离为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $