精品解析：山西省运城市河津市2023-2024学年下学期期末质量监测八年级数学试卷

2023~2024学年第二学期八年级期末学业诊断 数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 剪纸，又称为刻纸，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹民间艺术，它是我国古老的传统艺术之一，以下剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 无论x取何值，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将正五边形绕它的中心O顺时针旋转一定角度，可以使边与重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 1 9. 如图，中，，D，E分别是，的中点，，，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. 8 D. 7 10. 某校为丰富学生校本课程，决定开展“机器人与无人机”的设计课程．已知学校购买无人机配件的费用为8000元，购买机器人配件的费用为6400元，其中购买无人机配件的数量是购买机器人配件数量的2倍，并且无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元．设购买机器人的数量为x套，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点O中心对称的点的坐标为_______． 12. 化简的结果是_______． 13. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为_______． 14. 如图，与中，，，，连接，并延长交于点P，过点D作于点G，若，则_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，顶点，的坐标分别为，，将绕点逆时针方向旋转得到，当点落在的延长线上时，边的延长线交于点，则线段的长度为_______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：； （3）解分式方程：． 17. 先化简：，再从1，，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 18. 如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由． 19. 下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ （1）根据上面等式的规律补全等式：； （2）用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； （3）请证明（2）中等式的正确性； （4）根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 20. 如图，在中，点，分别在，的延长线上，与的角平分线分别交直线于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 21. 2024年WTT常规挑战赛太原站，于2024年5月20日—26日在太原市滨河体育中心体育馆如期进行．精彩的比赛激发我市诸多乒乓球爱好者的喜爱．某单位计划为职工购买A，B两种品牌的红双喜狂飚套胶．经调查，A品牌套胶比B品牌每块贵40元，用800元购买A品牌套胶和用600元购买B品牌套胶的数量相同． （1）求A，B两种品牌套胶单价； （2）若该单位为职工购买A，B两种品牌套胶共20块，购买B品牌套胶数量不超过A品牌套胶的数量，问购买A，B两种品牌套胶各多少块时，可使所需费用最少？最少为多少元？ 22. 阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： ． 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为_______（填序号即可） ①分类讨论 ②数形结合 ③整体思想 23. 综合与实践 问题情境： 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点F． （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是_________． 操作计算： 在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，解答下列问题： （3）如图3，当点G，H首次分别落在边，上时，求线段的长； （4）四边形在绕点O顺时针方向旋转过程中，当所在的直线经过点B时，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年第二学期八年级期末学业诊断 数学 （考试时间：120分钟） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑） 1. 剪纸，又称为刻纸，是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹的民间艺术，它是我国古老的传统艺术之一，以下剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形（沿对称轴折叠后两部分完全重合）和中心对称图形（绕对称中心旋转后与原图重合）的定义．根据轴对称图形的定义判断各选项是否为轴对称图形；再依据中心对称图形的定义判断各选项是否为中心对称图形；找出既满足轴对称又满足中心对称的图形即可． 【详解】解：轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合的图形． 选项A：该图形是轴对称图形（存在对称轴），但不是中心对称图形（绕某点旋转后不能与原图重合），故A不符合． 选项B：该图形是轴对称图形（存在对称轴），也是中心对称图形（绕对称中心旋转后与原图重合），故B符合． 选项C：该图形是轴对称图形（存在对称轴），但不是中心对称图形（绕某点旋转后不能与原图重合），故C不符合． 选项D：该图形不是轴对称图形（不存在对称轴），是中心对称图形（绕对称中心旋转后与原图重合），故D不符合． 故选：B． 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的识别，根据因式分解的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、等式右边不是整式的积的形式，不符合题意； D、等式右边含有分式，不符合题意； 故选B． 3. 如图，在四边形中，，则添加下列条件，可使四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定与性质．由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、由，，不能判定四边形为平行四边形，还有可能是等腰梯形，故本选项不符合题意； B、∵， ∴， 不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故本选项不符合题意； D、∵ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 无论x取何值，下列分式一定有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为零，分别分析每个选项分母的取值情况．本题主要考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式分母不为零是解题的关键． 【详解】解：选项A，当，即时，分母为，分式无意义． 选项B，当，即时，分母为，分式无意义． 选项C，因为，所以，分母一定不为，分式一定有意义． 选项D，当，即时，分母为，分式无意义． 故选：． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出解集即可． 【详解】解：， 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 在数轴上表示出解集如图： 故选C． 6. 如图，将正五边形绕它的中心O顺时针旋转一定角度，可以使边与重合，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转对称图形，五边形中心角的求法．根据正五边形的性质，旋转中心为正五边形的中心，由于正五边形每个顶点到旋转中心距离相等，两个相邻的顶点可看作对应点． 【详解】解：如图，连接， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴边与重合，则α的最小值为， 故选：D． 7. 一个正多边形的每个内角为，则这个正多边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和，根据正多边形的每个内角的度数相同，以及多边形的内角和公式，进行求解即可． 【详解】解：设这个正多边形的边数为，则：， 解得：， ∴这个正多边形的内角和为； 故选D． 8. 如图，点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点，已知，则的最小值为（ ） A. 5 B. 3 C. 4 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，找到取最小值的情况，进而求解．本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵点是平分线上的一点，过点作于点，点是射线上的动点， ∴当时，的值最小，此时． ∵， ∴的最小值为． 故选：． 9. 如图，中，，D，E分别是，的中点，，，则的长为（ ） A. 10 B. 6 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，勾股定理的应用，先证明，再利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴． 故选：A． 10. 某校为丰富学生校本课程，决定开展“机器人与无人机”的设计课程．已知学校购买无人机配件的费用为8000元，购买机器人配件的费用为6400元，其中购买无人机配件的数量是购买机器人配件数量的2倍，并且无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元．设购买机器人的数量为x套，则x满足的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是根据等量关系，列出方程．设购买机器人的数量为x套，根据无人机配件的单价比机器人配件的单价每套便宜6元，列出方程即可． 【详解】解：设购买机器人的数量为x套，则购买无人机的数量为套，根据题意得： ． 故选：B． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点O中心对称的点的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标都互为相反数来求解．本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键． 【详解】解：点关于原点中心对称的点的坐标为． 故答案为：． 12. 化简的结果是_______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了同分母的分数运算和平方差公式，同分母分数相减，分母不变分子相减，然后，利用平方差公式，对分子进行因式分解，最后化简即可求出结果； 【详解】解：原式 ． 故答案为：或． 13. 如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数图象与轴交点，结合函数图象的走向，确定不等式的解集．本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象与轴交于点，且图象从左到右呈下降趋势，可知当时，． 故答案为：． 14. 如图，与中，，，，连接，并延长交于点P，过点D作于点G，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．设交于，根据全等三角形的性质得到，得到，根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 详解】解：设交于， ∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，将绕点逆时针方向旋转得到，当点落在的延长线上时，边的延长线交于点，则线段的长度为_______． 【答案】5 【解析】 【分析】连接，设与轴相交于点，由平行四边形性质得，，轴，则点，设，，由旋转的性质得，，，，进而得，，则点，，，利用三角形内角和定理计算得，则点，，三点共线，再求出直线的表达式为，进而可求出直线的表达式为，设点的坐标为，根据得，由此解出得点，继而可求出直线的表达式为，然后再求出点的坐标为即可得出的长． 【详解】解：连接，设与轴相交于点，如图所示： 点，点， ，， 四边形是平行四边形， ，，， ，轴， 点， ， 设，， 由旋转的性质得：，，，，， ， ，， 点的坐标为，， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 点，，三点共线， ， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， 直线的表达式为：， ， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， 直线的表达式为：， 设点的坐标为， ，，， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， 点坐标为， 设直线的表达式为：， 将点代入，得：， 解得：， 直线的表达式为：， 对于，当时，， 点的坐标为， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，点的坐标，图形的旋转及其性质，理解平行四边形的性质，熟练掌握图形的旋转及其性质，待定系数法求一次函数是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）因式分解：； （2）利用因式分解计算：； （3）解分式方程：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解分式方程，熟练掌握因式分解的方法，解分式方程的步骤，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （2）利用完全平方公式法因式分解，进行简算即可； （3）去分母，将方程化为整式方程，求解后，进行检验即可． 【详解】解：（1）原式 （2）原式． （3）解：方程两边都乘，得， 移项、化简，得， 解得， 检验：当时，， 所以，是原方程的解． 17. 先化简：，再从1，，2中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】先对原式进行通分、因式分解等操作，将其化简为最简分式，再根据分式有意义条件确定合适的值，代入求值．本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 当或2时，分式无意义，所以取． 当时， 原式． 18. 如图，在中，，分别过点，作，的垂线，两条垂线交于点，连接．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】线段垂直平分，见解析 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定．通过证明三角形全等，得出对应角相等，进而判断线段之间的位置关系． 【详解】解：线段垂直平分． 证明：，， ， 又， ， ， 点，在线段的垂直平分线上， 线段垂直平分． 19. 下面是按一定规律排列的一列等式： ①；②；③；④ （1）根据上面等式的规律补全等式：； （2）用含（为正整数）的式子表示上述第个等式：______； （3）请证明（2）中等式的正确性； （4）根据上述等式的规律，直接写出下面算式的计算结果： ． 【答案】（1）； （2） （3）证明见解析 （4） 【解析】 【分析】本题考查规律性：数字的变化类， （1）通过给出的等式，发现：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是； （2）通过前几项的规律，用含的代数式表示第个等式； （3）将等式左边的式子通分并化简，再与等式右边的式子进行比较即可； （4）结合（2）的结论，将分式的和转化为连续项的差，利用抵消法简化计算； 解题的关键是找到规律，然后利用规律进行推理计算．也考查了分式的加减运算． 【小问1详解】 解：∵等式左边被减数的分母为，则减数的分母为：，等式右边分母为， ∴等式：， 故答案：；； 【小问2详解】 根据给出的等式，发现规律：左边被减数的分母与右边第一个乘数相同，第二个乘数是第一个乘数加，减数的分母是被减数的分母加，减数与被减数的分子都是， ∴第个等式为：， 故答案为：； 【小问3详解】 证明：左边 ， ∴左边右边， ∴原等式成立； 【小问4详解】 解： ． 20. 如图，在中，点，分别在，的延长线上，与的角平分线分别交直线于点，，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先利用平行四边形性质得出边与角的关系，再结合角的互补及角平分线定义，证明三角形全等，进而得到线段相等和平行关系，最终依据平行四边形判定定理证得结论．本题主要考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【详解】证明：在中，，，， ． ，，，， ，， ，分别平分与， ，， ， ， ，， ∴， 四边形是平行四边形． 21. 2024年WTT常规挑战赛太原站，于2024年5月20日—26日在太原市滨河体育中心体育馆如期进行．精彩的比赛激发我市诸多乒乓球爱好者的喜爱．某单位计划为职工购买A，B两种品牌的红双喜狂飚套胶．经调查，A品牌套胶比B品牌每块贵40元，用800元购买A品牌套胶和用600元购买B品牌套胶的数量相同． （1）求A，B两种品牌套胶的单价； （2）若该单位为职工购买A，B两种品牌套胶共20块，购买B品牌套胶的数量不超过A品牌套胶的数量，问购买A，B两种品牌套胶各多少块时，可使所需费用最少？最少为多少元？ 【答案】（1）A，B两种品牌套胶的单价分别是160元/块，120元/块 （2）当购买A品牌套胶10块，B品牌套胶10块时，所需费用最少，最少费用为2800元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意，寻找等量关系是解题的关键； （1）设A品牌套胶的单价是x元/块，则B品牌套胶的单价是元/块，根据题意列分式方程，解方程即可； （2）设购买A品牌套胶m块，购买B品牌套胶块，可得总费用，利用一次函数的增减性求w的最小值，再作答即可． 【小问1详解】 设A品牌套胶的单价是x元/块，则B品牌套胶的单价是元/块． 根据题意，得， 解得． 经检验是方程的解且符合实际． 此时． 答：A，B两种品牌套胶的单价分别是160元/块，120元/块． 【小问2详解】 设购买A品牌套胶m块，购买B品牌套胶块，共需费用为w元． 根据题意，得，解得． ． ， w随m的增大而增大， 当m取最小值时，w最小． 又， 当时，． 此时． 答：当购买A品牌套胶10块，B品牌套胶10块时，所需费用最少，最少费用为2800元． 22. 阅读下面材料，完成相应任务： 配方法因式分解 一般的，我们将形如的多项式叫做完全平方式．有些多项式不是完全平方式，但可以通过“添项”的方式，使多项式中的部分项是完全平方式，并且要使变形前后两个多项式的值保持不变，此方法称为配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，在因式分解、求代数式最值等问题中有着广泛的应用． 例如，我们可以用配方法将多项式因式分解： ． 任务一： （1）运用配方法将多项式因式分解； （2）用配方法说明多项式的值一定是一个正数． 任务二： “创新小组”的同学受“配方法因式分解”的启发，在将多项式因式分解时，将“”看成一个整体，令，则原多项式可化为，然后用配方法将多项式因式分解，再把代入分解的结果，便达到将原多项式因式分解的目的． （3）请你帮助“创新小组”写出将多项式因式分解的过程； （4）上述解题过程中渗透的数学思想为_______（填序号即可） ①分类讨论 ②数形结合 ③整体思想 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）③ 【解析】 【详解】本题考查了用配方法分解因式，掌握因式分解的完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）将多项式，再，使构成完全平方式，再运用平方差公式分解即可； （2）将多项式，再，使构成完全平方式，原式化为，再根据平方的非负性判断即可； （3）设，则原式化为，进一步按配方法分解，分解后将代入即可得解； （4）将看作一个整体，这种解题方法是整体思想，据此回答即可． 解：任务一： （1）原式 （2）原式 ． 一定是一个非负数， 一定是一个正数． 即原式的值一定是一个正数． 任务二： （3）设，则原式化为 ． （4）③． 故答案为：③． 23. 综合与实践 问题情境： 如图1，在中，对角线与交于点O，，，，点E为的中点，连接并延长，交于点F． （1）判断线段与的数量关系，并说明理由； （2）在图1的基础上，若点G是的中点，连接并延长，交于点H，顺次连接E，G，F，H，得到图2，则四边形的形状是_________． 操作计算： 在图2中，隐去线段与，将四边形绕点O顺时针方向旋转，解答下列问题： （3）如图3，当点G，H首次分别落在边，上时，求线段的长； （4）四边形在绕点O顺时针方向旋转过程中，当所在的直线经过点B时，请直接写出线段的长． 【答案】（1），见解析；（2）平行四边形；（3）；（4）或 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到； （2）根据平行四边形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，由知，根据平行四边形的判定定理得到四边形的形状是平行四边形； （3）如图，连接，过点O作于点，则，根据勾股定理得到，根据平行四边形的性质得到，在中，，，根据勾股定理得到，根据三角形中位线定理得到，如图3，在中，，于是得到． （4）①如图，当点B在的延长线上时，连接，，过点O作于点P，则，求解，进一步结合勾股定理与等面积可得，求解．，进一步可得答案．②如图，当点B在的延长线上时，连接，过点O作于点P，同法可得答案． 【详解】解：（1），理由如下： 在中，，， ，， ， ． （2）四边形的形状是平行四边形， 理由：在中，，， ，， ， ， 由（1）知， 四边形的形状是平行四边形， （3）如图，连接，过点O作于点M．则． 在中，，，， ． ，． 在中，，． ． 在中，，， ． ． 在图2中，点O，G分别是，的中点， 是的中位线， ， 如图，在中，， ． ． ． （4）①如图，当点B在的延长线上时，连接，，过点O作于点P，则， 在图2中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， 如图，在中，， ． 在中，， ． ． ②如图，当点B在的延长线上时，连接，过点O作于点P． 由上面结论可知， ，， ， 综上：或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积的计算，化为最简二次根式，旋转的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$