第3章 3.2 导数与函数的单调性（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 以导数工具为核心，构建“基础判断-参数讨论-综合应用”三阶方法体系，逻辑链覆盖单调性分析全维度，突出数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础过关|9题|导数符号判单调、奇偶性化不等式、分段函数单调性|导数几何意义→单调区间判断→基础应用| |B级能力提升|4题|构造函数比大小、恒成立求参数范围|单调性延伸→复杂情境应用→逻辑推理| |C级拓广探索|2题|新定义“Z魔力”、不等式构造转化|创新情境→方法迁移→数学抽象|

[对应学生用书P333] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共28分，本试卷共97分． A级　基础过关 1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是(　　) 解析　利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)＞0的解集对应y＝f(x)的单调递增区间，f′(x)＜0的解集对应y＝f(x)的单调递减区间，验证只有D符合． 答案　D 2．函数f(x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为(　　) A．(－∞，1) B．(0，1) C．(0，2) D．(2，＋∞) 解析　f(x)＝x－2ln (2x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－2··2＝1－＝，由f′(x)＜0，可得x∈(0，2)，故f(x)＝x－2ln (2x)的单调递减区间为(0，2)，故选C. 答案　C 3．(多选)已知定义域为R的连续函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足＜0，当m＜0时，下列关系一定成立的是(　　) A．f(2)＞f(3) B．f(4)＜f(3) C．f(2)＋f(4)＜2f(3) D．f(2)＋f(4)＞2f(3) 解析　由＜0，得m(x－3)f′(x)＜0， 又m＜0，则(x－3)f′(x)＞0， 当x＞3时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； 当x＜3时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 所以f(2)＞f(3)，f(4)＞f(3)， 所以f(2)＋f(4)＞2f(3). 答案　AD 4．已知函数f(x)＝x3＋2x－sin x，若f(2a2)＋f(a－1)≤0，则实数a的取值范围为(　　) A．∪[1，＋∞) B． C．(－∞，－1]∪ D． 解析　函数f(x)＝x3＋2x－sin x的定义域为R， f(－x)＝(－x)3＋2(－x)－sin (－x)＝－f(x)，故函数f(x)是奇函数． 又f′(x)＝3x2＋2－cos x>0恒成立，所以函数f(x)在R上单调递增， 不等式f(2a2)＋f(a－1)≤0⇔f(2a2)≤－f(a－1)，即f(2a2)≤f(－a＋1)， 于是2a2≤－a＋1，即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤， 所以实数a的取值范围为. 答案　D 5．(多选)若一个函数在区间D上的导数值恒大于0，则该函数在D上纯粹递增，若一个函数在区间D上的导数值恒小于0，则该函数在D上纯粹递减，则(　　) A．函数f(x)＝x2－2x在[1，＋∞)上纯粹递增 B．函数f(x)＝x3－2x在[1，2]上纯粹递增 C．函数f(x)＝sin x－2x在[0，1]上纯粹递减 D．函数f(x)＝ex－3x在[0，2]上纯粹递减 解析　A项，f′(x)＝2x－2，f′(1)＝0，所以A错误．B项，f′(x)＝3x2－2，当x∈[1，2]时，f′(x)＞0恒成立，所以B正确．C项，f′(x)＝cos x－2＜0在[0，1]上恒成立，所以C正确．D项，f′(x)＝ex－3＜0在[0，2]上不恒成立，所以D错误．故选BC. 答案　BC 6．(多选)若函数f(x)＝x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上为单调函数，则实数m的值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析　f′(x)＝x－＝(x>0)， 令f′(x)>0，得x>3，令f′(x)<0，得0<x<3， 所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)，单调递减区间为(0，3)， 因为函数f(x)在区间[m－1，m＋1]上单调， 所以或m－1≥3，解得1<m≤2或m≥4，故选BD. 答案　BD 7．已知函数f(x)＝则f(x)的单调递减区间为____________． 解析　当x<0时，f(x)＝－x－2，则f(x)在(－∞，0)上单调递减． 当x≥0时，f(x)＝(x－2)ex，则f′(x)＝ex＋(x－2)ex＝(x－1)ex， 当x≥1时，f′(x)>0，f(x)在[1，＋∞)上单调递增； 当0≤x<1时，f′(x)<0，f(x)在[0，1)上单调递减． 又(0－2)e0＝－0－2，所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)(或(－∞，1]). 答案　(－∞，1) 8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间，则实数b的取值范围为____________． 解析　由题意得f′(x)＝3x2＋2bx＋1， 函数f(x)＝x3＋bx2＋x恰有三个单调区间， 则函数f(x)＝x3＋bx2＋x有两个极值点， 即f′(x)＝3x2＋2bx＋1的图象与x轴有两个交点， 则判别式Δ＝4b2－12>0，解得b>或b<－. 所以实数b的取值范围为(－∞，－)∪(，＋∞). 答案　(－∞，－)∪(，＋∞) 9．(13分)已知函数f(x)＝－2x＋2ln a(a>0)，判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性． 解析　由题知，f(x)＝－2x＋2ln a， 所以f′(x)＝，x>1， 当0<a≤时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 当a>时，令f′(x)＝0，x＝ln (2a)， 当1<x<ln (2a)时，f′(x)<0，f(x)在(1，ln (2a))上单调递减； 当x>ln (2a)时，f′(x)>0，f(x)在(ln (2a)，＋∞)上单调递增． 综上，当0<a≤时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增； 当a>时，f(x)在(1，ln (2a))上单调递减，在(ln (2a)，＋∞)上单调递增． B级　能力提升 10．已知f(x)＝(a2－1)ex-1－x2，若不等式f(ln x)<f(x－1)在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围为(　　) A．[－1，1] B．[－，] C．[0，1] D．(－∞，－]∪[，＋∞) 解析　设y＝x－1－ln x(x>1)， 则y′＝1－>0， ∴y＝x－1－ln x在(1，＋∞)上单调递增， ∴x－1－ln x>0， ∴ln x<x－1，x∈(1，＋∞)，∴0<ln x<x－1， 又f(ln x)<f(x－1)在(1，＋∞)上恒成立， ∴需要f(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴f′(x)＝(a2－1)ex-1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立， 即a2－1≥在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝，x∈(1，＋∞)，g′(x)＝， 当x>1时，g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故g(x)<g(1)＝1， ∴a2－1≥1，解得a≥或a≤－. 答案　D 11．∀x1，x2∈(1，3]，当x1<x2时，均有，则实数a的取值范围是(　　) A．(3，＋∞) B．[3，＋∞) C．(9，＋∞) D．[9，＋∞) 解析　∀x1，x2∈(1，3]，当x1<x2时，，整理可得>a，即ln >ln a，即3x1－3x2>a ln x1－a ln x2，即3x1－a ln x1>3x2－a ln x2，令f(x)＝3x－a ln x，x∈(1，3]，则∀x1，x2∈(1，3]，当x1<x2时，f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(1，3]上单调递减，即∀x∈(1，3]，f′(x)＝3－≤0，即a≥3x，由x∈(1，3]，得3x∈(3，9]，所以a≥9，即实数a的取值范围是[9，＋∞).故选D. 答案　D 12．已知函数f(x)满足下列条件：①f(x)的导函数f′(x)为偶函数；②f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，则f(x)的一个解析式为f(x)＝____________．(答案不唯一) 解析　因为f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，所以当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)时，f′(x)＞0.又f(x)的导函数f′(x)为偶函数，所以令f′(x)＝x2－4，满足题意，所以f(x)＝x3－4x(答案不唯一). 答案　x3－4x(答案不唯一) 13．(15分)已知函数f(x)＝a ln x－ax－3(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处切线的倾斜角为45°，且对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)＝x3＋x2在区间(t，3)上总不是单调函数，求实数m的取值范围． 解析　(1)f′(x)＝(x＞0). 当a＞0时，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减； 当a＜0时，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(0，1)上单调递减； 当a＝0时，f(x)不具有单调性． (2)由题意得f′(2)＝－＝1，解得a＝－2，所以f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝，所以g(x)＝x3＋x2－2x， 所以g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2. 因为g(x)在区间(t，3)上总不是单调函数，且g′(0)＝－2， 所以结合函数g′(x)的图象可得 由题意知对于任意的t∈[1，2]，g′(t)＜0恒成立， 所以解得－＜m＜－9. 故实数m的取值范围是. C级　拓广探索 14．(多选)若函数g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，则称函数f(x)具有“Z魔力”，下列函数中具有“Z魔力”的是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x－1 C．f(x)＝ D．f(x)＝ex 解析　要使函数f(x)具有“Z魔力”，则g(x)＝f(x)ln x在定义域上单调递增，即当x∈(0，＋∞)时，g′(x)≥0恒成立，对于A，f(x)＝，g(x)＝ln x在定义域上单调递增，故函数f(x)具有“Z魔力”，故A正确；对于B，f(x)＝x－1，g(x)＝(x－1)ln x，g′(x)＝ln x＋＝1＋ln x－，当x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减，函数f(x)不具有“Z魔力”，故B错误；对于C，f(x)＝，g(x)＝，g′(x)＝，当x∈(e，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(e，＋∞)上单调递减，函数f(x)不具有“Z魔力”，故C错误；对于D，f(x)＝ex，g(x)＝ex ln x，g′(x)＝ex，令h(x)＝ln x＋(x＞0)，h′(x)＝－＝，当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)min＝h(x)极小值＝h(1)＝1＞0，即g′(x)＞0恒成立，g(x)在定义域上单调递增，因此函数f(x)具有“Z魔力”，故D正确．故选AD. 答案　AD 15．(2025·保定质检)已知x∈，则不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为____________． 解析　不等式esin x－cos x－tan x≥0，可化为≥， 当x∈时，cos x>0， 又esin x>0，∴≥. 令f(x)＝，则f(cos x)≥f(sin x). ∵f′(x)＝， ∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0， ∴f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 当x∈时，cos x∈(0，1]， sin x∈(－1，1)， ∴由f(x)的单调性可得cos x≥sin x，即当x∈时，tan x≤1， ∴可得x∈，即不等式esin x－cos x－tan x≥0的解集为. 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $