第2章 2.12 函数模型的应用（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

**基本信息** 以实际情境为载体，构建“基础-能力-拓广”三级梯度，聚焦函数应用与数学建模，强化对数、指数运算及实际问题转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|9题|生活情境应用题（鱼缸排水、运动心率等）|从具体情境抽象函数模型，应用单调性、不等式求解| |能力提升|4题|跨学科综合题（声强级、视力表等）|结合物理、医学知识，深化对数运算与函数性质应用| |拓广探索|2题|复杂情境题（吸光度、促销折扣）|多变量关系分析，提升数学建模与逻辑推理能力|

[对应学生用书P327] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共30分．本试卷共99分． A级　基础过关 1．如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是(　　) 解析　水匀速流出，所以鱼缸水深h先降很快，中间降低缓慢，最后降低速度又越来越快． 答案　B 2．每年的3月21日是世界睡眠日．充足的睡眠、均衡的饮食和适当的运动是国际社会公认的三项健康标准．对于青少年来说，每天进行中等强度的体育运动有助于提高睡眠质量．运动强度等级与运动后的心率y的关系如下表： 运动强度等级 运动不足 中等强度 运动过量 运动后的心率y y＜110 110≤y≤130 y≥130 已知青少年羽毛球运动后的心率y与运动时间t(单位：分钟)满足关系式y＝20ln (＋1)＋a，其中a为正常心率．某同学正常心率为70，若该同学要达到中等强度的羽毛球运动，则运动时间至少约为(参考数据：e2≈7.4)(　　) A．35分钟 B．41分钟 C．52分钟 D．62分钟 解析　由题可知y＝20ln (＋1)＋70≥110，则ln (＋1)≥2，所以＋1≥e2，从而t≥(e2－1)2≈40.96，可得运动时间至少约为41分钟．故选B. 答案　B 3．我国在航天领域取得的巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．根据公式v＝v0ln ，可以计算理想状态下火箭的最大速度v(m/s)，其中v0(m/s)是喷流相对速度，m(kg)是火箭(除推进剂外)的质量，M(kg)是推进剂与火箭质量的总和，称为总质比．已知经过材料更新和技术改进后，某火箭的喷流相对速度提高到原来的倍，总质比变为原来的，若要使该火箭在理想状态下的最大速度至少提高v0，则在材料更新和技术改进前总质比的最小值约为(参考数据：2.718<e<2.719)(　　) A．85 B．86 C．87 D．88 解析　由题意，令v0ln ≥v0ln ＋v0，化简得5≥4ln ＋1，即ln ≥5ln 2＋1，可得≥e5ln 2+1，e5ln 2+1＝e5ln 2·e＝(eln 2)5e＝25e＝32e，所以≥32e，又86.976<32e<87.008，所以的最小值约为87.(另解：由5ln ≥4ln ＋1得到ln －ln ≥1，则ln ≥ln e，所以≥32e，又86.976<32e<87.008，所以的最小值约为87，故选C. 答案　C 4．某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度v(x)(单位：米/分钟)与飞行时间x(单位：分钟)的关系如图所示．若定义“速度差函数”u(x)(单位：米/分钟)为无人机在[0，x]这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象为(　　) 解析　由题图知，当x∈[0，6)时，无人机做匀加速运动，v(x)从80开始上升，v(x)＝80＋x，u(x)＝；当x∈[6，10)时，无人机做匀减速运动，v(x)从160下降到80，u(x)＝80；当x∈[10，12)时，无人机做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20；当x∈[12，15]时无人机做匀加速运动，v(x)从60开始上升，u(x)＝160－60＝100.所以u(x)在[6，10)和[12，15]两个区间上都是常数．故选C. 答案　C 5．(多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-0.05t.若空气温度为10 ℃，该物体温度从θ1℃(90≤θ1≤100)下降到30 ℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70 ℃，50 ℃下降到30 ℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(　　) (参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) A．t2＝20 B．28≤t1≤30 C．t1≥2t3 D．t1－t2≤6 解析　由题意可知，θ＝10＋e-0.05t， 当θ＝30时，则30＝10＋，即＝，－0.05t1＝ln ，则t1＝20ln ， 其是关于θ1的单调递增函数． 当θ1＝90时，t1＝20ln ＝20ln 4＝40ln 2≈28， 当θ1＝100时，t1＝20ln ＝20ln ＝20(2ln 3－ln 2)≈30， 则28≤t1≤30，故B正确； 当θ1＝70时，t2＝20ln ＝20ln 3≈22，故A错误； 当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈14， 此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误，故选BC. 答案　BC 6．(多选)(2025·重庆二模)从2024年3月1日起，新的酒驾检验标准开始实施，只要每100 mL血液中乙醇含量大于或等于20 mg，就是酒驾，属于违法行为；而大于或等于80 mg则认定为醉驾，属于犯罪行为．张师傅某次饮酒后，若其血液中的乙醇含量y(单位：mg/mL)与酒后代谢时间x(单位：h)的数量关系满足y＝.则张师傅此次饮酒后(　　) A．当代谢时间x＝0.5 h时，血液中的乙醇含量最低 B．血液中的乙醇含量开始是代谢时间x的增函数，然后是代谢时间x的减函数 C．若执意驾车，完全不可能被认定为酒驾违法行为，更不可能被认定为醉驾犯罪行为 D．若执意驾车，饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾 解析　由题意可知：x>0，则y＝＝， 由对勾函数可知：y＝x＋在上单调递减，在上单调递增， 则y＝在上单调递增，在内单调递减，故B正确； 当x＝0.5时，y＝取到最大值1， 即当代谢时间x＝0.5 h时，血液中的乙醇含量最高为1 mg/mL， 即每100 mL血液中乙醇含量为100 mg，故A错误； 因为100>80，可知饮酒后0.5 h接受乙醇含量测试，将被认定为醉驾，故C错误，D正确； 故选BD. 答案　BD 7．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a(a为常数)，广告效应为D＝a－A.那么精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为____________(用常数a表示). 解析　令t＝(t≥0)，则A＝t2，∴D＝at－t2＝－2＋a2，∴当t＝a，即A＝a2时，D取得最大值． 答案　a2 8．(2025·福建莆田二模)沙漏也叫做沙钟，是一种测量时间的装置．现有一个沙漏(如图)上方装有a cm3的细沙，细沙从中间小孔由上方慢慢漏下，经过t分钟时剩余的细沙量为y cm3，且y＝a·e－bt(b为常数)，经过16分钟时，上方还剩下一半细沙，要使上方细沙是开始时的，需经过的时间为____________分钟． 解析　依题意有ae-16b＝a，即e-16b＝， 两边取对数得－16b＝ln ＝－ln 2，所以b＝，得到y＝ae， 当容器上方细沙只有开始时的时， 则有ae＝a，所以e＝， 两边取对数得－t＝ln ＝－2ln 2， 所以t＝32， 即需要经过的时间为32分钟． 答案　32 9．(15分)某专营店经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为x元(9≤x≤11)时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费，一年的利润＝一年的销售量×售价－(一年销售桃酥的成本＋一年的管理费)(单位：万元). (1)求该专营店一年的利润L(单位：万元)与每袋桃酥食品的售价x的函数解析式； (2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该专营店一年的利润L最大，并求出L的最大值． 解析　(1)由题意知，该专营店一年的利润L(单位：万元)与售价x的函数解析式为L＝·x－＝－3x，x∈[9，11]. (2)L＝－3x＝48－－3(x－5)－15＝33－－3(x－5)， 因为9≤x≤11，所以＋3(x－5)≥2＝24，当且仅当＝3(x－5)，即x＝9时，等号成立，此时L最大，为9万元． 故当每袋桃酥的售价为9元时，该专营店一年的利润最大，且最大利润为9万元． B级　能力提升 10．(2025·陕西咸阳模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10-12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg ，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝40x，现知A同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则A同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为(　　) A．1.75米 B．1.5米 C．1.25米 D．1米 解析　设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学用喇叭时的声强为10m，喷出泉水高度为2米． 由题意知，10×lg ＝40x，即lg m－lg m0＝4x①. 又10×lg ＝40×2＝80，即lg ＝lg 10＋lg m－lg m0＝1＋lg m－lg m0＝8， 即lg m－lg m0＝7②. 由①②可得4x＝7，解得x＝＝1.75.故选A. 答案　A 11．(2025·北京海淀二模)中华人民共和国国家标准(GB11533­2011)中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式(缪氏记录法)：L＝5－lg ，其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛能分辨清楚的最低一行“E”形视标的笔画宽度(单位：毫米)，D为眼睛到视标的距离(单位：米)，如图1所示，k是与d，D无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其他因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　) A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0 解析　已知当L＝5.0，D＝5时，代入L＝5－lg ，解得kd＝5. 小明在距离该视力表3米处进行检测，即D＝3，代入L＝5－lg ，求得L＝5－lg ； 因为题中参考数据已知lg 2≈0.30，lg 3≈0.48， 所以lg ＝lg 5－lg 3＝lg －lg 3＝lg 10－lg 2－lg 3≈1－0.30－0.48＝0.22. 所以L＝5－lg ≈5－0.22＝4.78.故选C. 答案　C 12．(多选)(2025·甘肃定西模拟)声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质(如固体、液体、气体)中进行传播．在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I.但在实际生活中，常用声音的声强级D来度量，声强级D与声强I的关系近似满足D＝a lg I＋b，经过多次测定，得到如下数据： 声强I 10-11 10-10 m 声强级D 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为I1；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为I2；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为I3，则(　　) A．b－a＝110 B．m＝10-8 C．<I2< D．I1I3>I 解析　由题意可得即解得所以b－a＝110，故A正确； 因为D＝10lg I＋120，所以30＝10lg m＋120，解得m＝10-9，故B错误； 由100<10lg I2＋120<110，得<I2<，故C正确； 设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为D1，D2，D3，由题意知90<D1<100，100<D2<110，135<D3<145，所以D1＋D3>2D2，所以10lg I1＋120＋10lg I3＋120>2，所以lg I1＋lg I3>2lg I2，即lg >lg I，所以I1I3>I，故D正确．故选ACD. 答案　ACD 13．(15分)我们知道，声音通过空气传播时会引起区域性的压强值改变，物理学中称为“声压”，用P表示(单位：Pa)，声压级SPL(单位：dB)表示声压的相对大小，已知SPL＝k lg (k是常数).当声压级SPL提高60 dB时，声压P会变为原来的1 000倍． (1)求声压级SPL关于声压P的函数解析式； (2)已知两个不同的声源产生的声压P1，P2叠加后得到的总声压P＝，一般当声压级SPL＜45 dB时人类是可以正常的学习和休息的．现窗外同时有两个声压级为40 dB的声源，在不考虑其他因素的情况下，请问这两个声源叠加后是否会干扰我们正常的学习？请说明理由．(参考数据：lg 2≈0.3) 解析　(1)由题意可得，k lg ＋60＝k lg ， 则k lg ＋60＝k，所以3k＝60，解得k＝20， 故声压级SPL关于声压P的函数解析式为SPL＝20lg . (2)不会干扰我们正常的学习，理由如下： 当SPL＝40时，由20lg ＝40，即lg ＝2，可得P1＝P2＝2×10-3， 所以P＝＝P1＝2×10-3，将其代入SPL＝20lg 可得SPL＝20lg ＝20lg (×102)＝40＋10lg 2≈43＜45， 故不会干扰我们正常的学习． C级　拓广探索 14．(多选)吸光度是指物体在一定波长范围内透过光子的能量占收到光能量的比例．透光率是指光子通过物体的能量占发出光能量的比例．在实际应用中，通常用吸光度A和透光率T来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为T＝，下表为不同玻璃材料的透光率： 玻璃材料 材料1 材料2 材料3 T 0.6 0.7 0.8 设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为A1，A2，A3，则(　　) A．A1>2A2 B．A2＋A3>A1 C．A1＋A3>2A2 D．A1A3<A 解析　由T＝，得A＝－lg T，则A1＝－lg 0.6，A2＝－lg 0.7，A3＝－lg 0.8， 2A2＝－2lg 0.7＝－lg 0.49，lg 0.6>lg 0.49，－lg 0.6<－lg 0.49， 即A1<2A2，A选项错误； A2＋A3＝－lg 0.7－lg 0.8＝－lg 0.56>－lg 0.6＝A1，B选项正确； A1＋A3＝－lg 0.6－lg 0.8＝－lg 0.48>－lg 0.49＝－2lg 0.7＝2A2，C选项正确； A1A3＝(－lg 0.6)(－lg 0.8)＝lg 0.6·lg 0.8， A＝(－lg 0.7)2＝(lg 0.7)2， ＝＝log0.70.6，＝＝log0.80.7， log0.70.6－＝log0.7＝log0.7＝log0.7<log0.71＝0， log0.80.7－＝log0.8＝log0.8＝log0.8>log0.81＝0， 所以log0.70.6<log0.80.7，　所以<， 又lg 0.7·lg 0.8>0，则A1A3<A，D选项正确． 答案　BCD 15．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：若顾客选购物品的总金额不超过1 000元，则不享受任何折扣优惠；若顾客选购物品的总金额超过1 000元，则超过1 000元的部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算． 可以享受折扣优惠金额 折扣优惠率 不超过500元的部分 5% 超过500元的部分 10% 若某人在该商场购物获得的折扣优惠金额为40元，则他实际所付金额为____________元． 解析　设顾客选购物品的总金额为x元，获得的折扣优惠金额为y元， 则当x∈(0，1 000]时，y＝0； 当x∈(1 000，1 500]时，y＝(x－1 000)×5%＝0.05x－50， 令y＝40，得0.05x－50＝40， 解得x＝1 800>1 500，不符合题意； 当x∈(1 500，＋∞)时， y＝500×0.05＋(x－1 500)×10%＝25＋0.1x－150＝0.1x－125， 令y＝40，得0.1x－125＝40，解得x＝1 650，符合题意． 所以他实际所付金额为1 650－40＝1 610(元). 答案　1 610 学科网（北京）股份有限公司 $