第5章 5.3 平面向量的数量积及其应用（PPT课件）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的数量积及其应用”专题，依据课标要求梳理了数量积的定义、几何意义、坐标运算及应用（夹角、垂直、模、投影向量）等核心考点，对接高考评价体系，分析高频考点分布，归纳定义法、分解法、坐标法等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于高考真题训练与应试技巧指导，如结合2024新课标卷真题，通过基底法、坐标法解析数量积运算题，培养学生数学思维（运算能力、推理能力），总结求模、夹角的步骤方法，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

5.3　平面向量的数量积及其应用 第五章　平面向量与复数 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 主干知识整合 01 核心考点突破 02 知能达标训练 03 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 主干知识整合 栏目导航 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 非零 [0，π] 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 |a||b|cos θ |a||b|cos θ 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 x1x2＋y1y2 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 x1x2＋y1y2＝0 x1y2－x2y1＝0 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 × × √ √ 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 核心考点突破 栏目导航 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 知能达标训练 栏目导航 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 谢谢观看 栏目导航 第五章　平面向量与复数 1 【课标要求】 1．理解平面向量数量积的含义及其几何意义． 2．了解平面向量的数量积与投影向量的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 5．会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题． 6．会用向量的方法解决简单的力学问题与其他实际问题． 1．向量的夹角 (1)定义：已知两个________向量a，b，如图所示，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉； (2)范围：夹角θ的范围是_________． [微提醒]　当a与b同向时，θ＝0；a与b反向时，θ＝π；a与b垂直时，θ＝. 2．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量____________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝____________． 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)投影向量：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量a在向量b上的投影向量，记为＝＝b. (3)运算律 ①交换律：a·b＝b·a； ②数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c. [微提醒]　向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c)；也不满足消去律，即a·b＝a·cb＝c. 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 符号表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|·cos θ a·b＝__________ 模 |a|＝ |a|＝__________ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 _______________ a∥b的充要条件 a＝λb(λ∈R) _______________ |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立) |x1x2＋y1y2|≤ [微提醒]　(1)向量平行与垂直的坐标公式不要记混；(2)a⊥b⇔a·b＝0是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b. 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 (1)两向量a与b为锐角⇔a·b＞0且a与b不共线． (2)两向量a与b为钝角⇔a·b＜0且a与b不共线． 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)两个向量的夹角的范围是.(　　) (2)向量在另一个向量上的投影向量为数量，而不是向量．(　　) (3)若非零向量a，b满足|a·b|＝|a||b|，则a∥b.(　　) (4)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0.(　　) 2．(人A必修二P17例9改编)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝，且a与b的夹角为30°，那么a·b等于(　　) A．1 B． C．3 D．3 解析　由题意可得a·b＝|a||b|cos 30°＝2××＝3. 答案　C 3．(人A必修二P18例10改编)已知|a|＝5，|b|＝，a·b＝5，则a与b的夹角θ等于(　　) A．45° B．135° C．－45° D．30° 解析　cos θ＝＝，因为θ∈[0°，180°]，所以θ＝45°. 答案　A 4．(人A必修二P21例2改编)已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若(a＋kb)⊥(a－kb)，则实数k＝____________． 解析　由题意知(a＋kb)·(a－kb)＝a2－k2b2＝9－16k2＝0，解得k＝±. 答案　± 5．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝____________． 解析　由题知，|a|＝2，则|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4×1＋4×2×1×cos 60°＝12，所以|a＋2b|＝2. 答案　2 考点一　平面向量数量积的运算　重难考点　师生共研 (1)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·＝(　　) A． B．3 C．2 D．5 (2)如图，在边长为2的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点(靠近点B)，点F为BC的中点，则·＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　(1)方法一　以为基底， 可知||＝||＝2，·＝0， 则＝＋＝＋，＝＋＝－＋， 所以·＝·＝－2＋2＝－1＋4＝3. 方法二　如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，则E，C，D(0，2)，可得＝，＝， 所以·＝－1＋4＝3.故选B. (2)∵＝，＝－＝－ ＝－＝－， ∴·＝· ＝·－2 ＝×2×2·cos －×22＝－. [答案]　(1)B　(2)B 求平面向量数量积的三种方法 1．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，a与b的夹角为120°，且|b|＝2|a|，则向量a，c的数量积为(　　) A．0 B．－2a2 C．2a2 D．－a2 解析　设|b|＝2|a|＝2t＞0，因为a与b的夹角为120°， 所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－t2. 因为非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0， 所以c＝－(a＋b)， 所以a·c＝－a·(a＋b)＝－a2－a·b＝－|a|2－a·b＝－t2＋t2＝0.故选A. 答案　A 2．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，则·＝____________． 解析　因为·＝2·，所以·－·＝·， 所以·＝·. 因为AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，所以2||＝||||cos ， 化简得||＝2，故·＝·＝||2＋·＝(2)2＋2×2cos ＝12. 答案　12 考点二　平面向量数量积的应用　多维探究　发散思维 角度1　夹角与垂直 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a＝(0，1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)(2025·山东泰安一模)已知向量＝＝1，＝，且a＋b－2c＝0，则cos 〈a，c〉＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　(1)方法一(向量法＋坐标法)　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，即b2＝4a·b.因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b2＝4＋x2，a·b＝x，得4＋x2＝4x，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. 方法二(坐标法)　因为a＝(0，1)，b＝(2，x)，所以b－4a＝(2，x)－4(0，1)＝(2，x)－(0，4)＝(2，x－4).因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以2×2＋x(x－4)＝0，所以(x－2)2＝0，解得x＝2，故选D. (2)a＋b－2c＝0，所以a＋b＝2c，两边平方可得a2＋2a·b＋b2＝4c2， 又＝＝1，＝，所以1＋2a·b＋1＝3⇒a·b＝， 所以cos 〈a，c〉＝＝＝＝＝.故选D. [答案]　(1)D　(2)D 角度2　平面向量的模(考教衔接) 高考真题 (2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝(　　) A． B． C． D．1 解析　由(b－2a)⊥b，得(b－2a)·b＝b2－2a·b＝0，所以b2＝2a·b.将|a＋2b|＝2的两边同时平方，得a2＋4a·b＋4b2＝4，即1＋2b2＋4b2＝1＋6|b|2＝4，解得|b|2＝，所以|b|＝，故选B. 答案　B 教材溯源 (人A必修二P60T9)已知向量a与b的夹角为30°，|a|＝，|b|＝2，求|a＋b|，|a－b|的值． 解析　因为a·b＝|a||b|cos 30°＝2×＝3，所以|a＋b|＝＝＝＝，|a－b|＝＝＝＝1. 预测高考 (2025·山东烟台一模)在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3，则＝(　　) A． B． C． D．2 解析　在△ABC中，AB＝2AC＝6，∠BAC＝60°，＝3， 所以＝＋＝＋＝＋＝＋， 则＝ ＝ ＝＝.故选C. 答案　C 1．求平面向量的模的方法 (1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2. (2)几何法：利用向量的几何意义． 2．求平面向量的夹角的方法 (1)定义法：cos θ＝.(2)坐标法． 3．两个向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0). 3．(2026·武汉四调)已知向量a，b满足＝1，＝2，(a－b)⊥a，则a与b的夹角为(　　) A． B． C． D． 解析　因为(a－b)·a＝0，所以a2－a·b＝0， 所以a2＝a·b＝··cos 〈a·b〉＝2. 又＝1，＝2，所以cos 〈a，b〉＝，又〈a，b〉∈， 所以〈a，b〉＝，故选C. 答案　C 4．若平面向量a，b，c两两夹角相等，且|a|＝1，|b|＝1，|c|＝4，则|2a＋2b－c|＝(　　) A．0 B．6 C．0或 D．0或6 解析　①当向量a，b，c两两夹角为0时，|2a＋2b－c|＝|2＋2－4|＝0；②当向量a，b，c两两夹角为时，|2a＋2b－c|2＝4a2＋4b2＋c2＋8a·b－4a·c－4b·c＝4＋4＋16＋8×1×1×－4×1×4×－4×1×4×＝36，所以|2a＋2b－c|＝6.综上，|2a＋2b－c|＝0或6. 故选D. 答案　D 考点三　投影向量　重难考点　师生共研 (1)(2025·山师附中一模) 已知向量a，b满足a＝，b＝，则b在a上的投影向量为(　　) A． B． C． D． (2)(2025·湖州、衢州、丽水一模)已知△ABC的外接圆圆心为O，且2＝＋，＝，则向量在向量上的投影向量为(　　) A． B． C．－ D．－ [解析]　(1)由题意a·b＝－2×(－1)＋1×3＝5，＝， 所以b在a上的投影向量为·＝·＝(－2，1)， 故选A. (2)因为2＝＋，所以O是BC中点，则BC是圆O直径，∠BAC＝90°，又||＝||，所以△OAB是等边三角形，∠B＝60°，∠C＝30°， 设＝a，则＝2a，作AH⊥BC于H，则∠BAH＝30°， 所以＝＝，即为向量在向量上的投影向量， ＝. 故选B. [答案]　(1)A　(2)B 求向量a在向量b上的投影向量的步骤 (1)计算向量a与b的数量积：a·b. (2)计算向量b的模：|b|. (3)计算a在b上的投影向量：b. 5．(2025·深圳一调)已知a，b是夹角为120°的两个单位向量，若向量a＋λb在向量a上的投影向量为2a，则λ＝(　　) A．－2 B．2 C．－ D． 解析　a＋λb在向量a上的投影向量为a＝2a，即＝2，即(a＋λb)·a＝|a|2＋λ|a|·|b|cos 120°＝1－λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 答案　A $