辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（七）

**基本信息** 辽宁葫芦岛高二下学期数学期末复习卷，涵盖复数、数列、概率、函数导数等核心知识，解答题注重数列证明、导数应用与创新探究，梯度设计合理，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|复数虚部、等差数列、概率计算等|基础概念辨析，如第3题结合通信信号接收考查全概率公式| |多选题|3题18分|随机变量性质、二项式定理|第9题综合正态分布与函数性质，考查逻辑推理| |填空题|3题15分|数列前n项和、奇函数性质|第13题通过分段函数奇偶性考查数学抽象| |解答题|5题77分|数列证明与求和、导数单调性及不等式恒成立|第19题结合切线定点与极值点，分层考查运算能力与创新思维；第6题以航天科普讲座为情境，体现数学应用|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（七） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．复数的虚部为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率是（    ） A．0.925 B．0.4625 C．0.48 D．0.525 4．若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 5．若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．16种 C．24种 D．30种 7．已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，若，则的最大值为（   ） A．333 B．334 C．335 D．336 8．已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（    ） （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 10．已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 11．已知函数有三个极值点，，（），则（   ） A． B． C．若，，成等差数列，则，，成等比数列 D．若，，成等差数列，则数列，，的公差为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前项和为，，则_________． 13．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列中，，且（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 16．（15分）已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 18．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求a的值； (3)若数列的前n项和为，求证：． 19．（17分）已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； (3)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高二下学期数学期末复习卷（七） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．复数的虚部为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【难度】0.92 【分析】根据复数乘法运算及复数定义分析求解即可. 【详解】因为， 所以复数的虚部为7． 2．在等差数列中， ，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.75 【分析】利用等差数列下标和性质，代入条件化简求出，再将用通项展开化简得，代入即可算出结果． 【详解】设数列的公差为， 因为是等差数列，所以， 由 ，可得 ，解得， 所以． 3．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，假设发送信号0和1是等可能的.则接收的信号为1的概率是（    ） A．0.925 B．0.4625 C．0.48 D．0.525 【答案】D 【难度】0.68 【分析】利用全概率公式展开即可求得结果. 【详解】定义事件发送信号为0，发送信号为1，接收信号为0，接收信号为1 由题意可知：， 发送0时，接收0的概率为：，接收1的概率为： 发送1时，接收0的概率为：，接收1的概率为： 根据全概率公式可得：． 4．若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【分析】根据题意利用作差法判断A；利用作差法、基本不等式及指数函数的性质判断B；利用作差法、及二次函数的性质判断C；利用作差法、基本不等式及对数函数的性质判断D.. 【详解】对于A，对，且， 则， 所以，不满足题意，故A错误； 对于B，对，且， 则， 所以，满足题意，故B正确； 对于C，对，且， 则， 所以，不满足题意，故C错误； 对于D，对，且， ， 由基本不等式可得， 所以，即， 所以，不满足题意，故D错误. 5．若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 6．某航天科研所的甲、乙、丙、丁、戊5位科学家应邀去、、三所不同的学校开展科普讲座活动，要求每所学校至少1名科学家．已知甲、乙到同一所学校，丙不到学校，则不同的安排方式有多少种（   ） A．12种 B．16种 C．24种 D．30种 【答案】C 【难度】0.56 【分析】根据排列组合的知识以及分组分配的方法求解． 【详解】因为甲､乙到同一所学校，所以将甲、乙“捆绑”看成一个元素， 因此原问题转化为要将四个元素：甲乙、丙、丁、戊分配到三所学校，每所学校至少1个元素， 若A学校安排一个元素，该元素不为丙，则有种分配方法； 若A学校安排两个元素，其中不含丙，则需从甲乙、丁、戊中选两个元素，有种分配方法； 所以不同的安排方式有种． 7．已知递增数列的各项均为正整数，且其前项和为，若，则的最大值为（   ） A．333 B．334 C．335 D．336 【答案】A 【难度】0.55 【分析】依题意，则，，，尽可能地小，再讨论进行求解． 【详解】因为数列单调递增，且各项均为正整数，若想使最大， 则，，，尽可能地小， 所以取，，，，则 ， 即， 因为数列单调递增，且各项均为正整数， 所以，，，，， 即，，，，， 所以 ， 即，所以， 又因为为正整数，所以的最大值为333．故选A． 8．已知定义在上的函数的图象关于对称，且，若，则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．-2 【答案】B 【难度】0.42 【分析】利用函数的周期性求解. 【详解】由 ，得， 两式相减：，周期，， 原式：，令： ， 关于对称，得, 所以，因为，得：， ，即,， ，，， 一个周期：， 一个周期和：，     . 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知随机变量，记函数，则下列说法正确的是（    ） （注：若，则） A． B．在上是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】ACD 【难度】0.68 【分析】对于A，利用正态分布的对称性，将区间概率转化为标准差范围内的已知数值，对于B，由正态分布曲线的性质即可判断，对于C，将替换为结合条件即可求解，对于D，由正态分布曲线的对称性结合条件即可求解． 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，根据正态分布曲线的性质得，随着的增大减小， 在上是减函数，B错误； 对于C,，根据对称性，将替换为， 即， 图象关于直线对称，所以C正确； 对于D，，根据对称性得， 因此，即, 关于对称，D正确． 10．已知，则下列描述正确的是（     ） A． B．的展开式中，所有含的偶数次项的二项式系数和为 C．被8除所得的余数是1 D． 【答案】ABC 【难度】0.62 【详解】令，得，再令，得， ，A选项正确. 根据二项式系数和的性质，对于二项式，所有二项式系数和为， 且奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，都为， 的展开式中，对于所有含的偶数次项的二项式系数和， 即为展开式中奇数项的二项式系数和，为，B选项正确. 而. 可得除了最后一项外，其余各项均能被8整除，故被8除所得的余数是，C选项正确. 对两边分别求导， 可得. 令，得，D选项错误. 11．已知函数有三个极值点，，（），则（   ） A． B． C．若，，成等差数列，则，，成等比数列 D．若，，成等差数列，则数列，，的公差为 【答案】ACD 【难度】0.32 【分析】A导函数零点个数转化为方程的实根个数，由在取最小值且时有一根；B由和得，利用对数平均不等式得到；C等差条件代入相乘得，即成等比；D设公差，由C得，再对得到的等式取对数得. 【详解】函数有三个极值点，等价于导函数有三个不同零点， 即有三个不同实根，令，即与有三个不同的交点. 由于， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 在处取最小值，要使有三个不同解，需，A正确. 已知，，取对数相减得， 由对数平均不等式得，得，B错误. 若成等差数列，则. 因为，，，两式相乘得， 代入得， 满足等比中项性质，故成等比数列，C正确. 设等差数列公差为，则，， 由C的结论得，舍去得. 又，代入，得， 两边取对数得，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列的前项和为，，则_________． 【答案】324 【难度】0.65 【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和即可． 【详解】由， 当为奇数时，为偶数， 则，，两式相减得； 当为偶数时，为奇数， 则，，两式相加得， 则 ． 13．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【难度】0.65 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时，所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【难度】0.4 【分析】先化简不等式，将不等式恒成立问题转化为两函数图象的位置关系，再利用导数研究函数的图象，求出直线与曲线相切时的值，最后作出两函数图象，数形结合即可得解． 【详解】因为不等式恒成立， 所以不等式恒成立． 设，，则由题意知函数的图象恒不在直线的下方， 又， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增， 所以，当时，，当时，， 当时，，且， 又直线恒过点， 当直线与曲线相切时，设切点为， 则，解得或， 故当直线与曲线相切时的值为或． 在同一平面直角坐标系中作出直线与函数的图象如图所示， 结合上图可知，当函数的图象恒不在直线的下方时，实数的取值范围为． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知数列中，，且（）． (1)求证：数列为等差数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)由，得，则， 又，则，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列． (2) 【难度】0.76 【分析】（1）由题设易得，进而求证即可； （2）先求出，再利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知：，则， 所以①， 则②， 则①②得：， 所以． 16．（15分）已知函数，函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【分析】（1）通过求解，并验证即可； （2）由函数的单调性和奇偶性，通过去“”法，结合分离参数、基本不等式求最值，即可求解. 【详解】（1）因为的定义域为，且函数是奇函数， 由，得，则， 经检验是奇函数，满足题意，故． （2）,由解析式可知在上单调递增，且为奇函数， ∴由恒成立，得， 所以，时恒成立，即在上恒成立， 令，，则 又，当且仅当，即时取等号， 所以实数的取值范围为． 17．（15分）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】(1)； (2)①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【难度】0.65 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 由，得，即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数，故定义域关于原点对称，所以，解得； 当时，，定义域为，关于原点对称， 且，满足题意；所以； （2）①因为，所以； ②略； 18．（17分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对任意的恒成立，求a的值； (3)若数列的前n项和为，求证：． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)1 (3)证明：， 故只需证明，即， ， 先证明，当时，恒有， 由（2）知，在上恒成立， 即在上恒成立，当且仅当时，等号成立， ，令，则，即， 令，得， 令，得， 上面两式相加得， 即， 当时，，当时，，当时，， ……，当时，， 相加可得，故结论得证； 【难度】0.34 【分析】（1）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性； （2）在（1）的基础上，得到函数最值，从而得到不等式，求出解集，得到答案； （3）变形，在（2）基础上，得到，变形得到，裂项相消法求和，证明出结论. 【详解】（1）的定义域为， ， 当时，恒成立，故在上单调递增， 当时，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，在上单调递增， 又，故当时，，不满足对任意的恒成立，舍去； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值，， 要想满足对任意的恒成立，只需， 令，，则， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 其中，故的解集为，故a的值为1； （3）略 19．（17分）已知函数． (1)若，证明：曲线在点处的切线过定点； (2)若是的极值点，且有个不同的零点，求的取值范围； (3)若对任意的，且，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)已知函数，若，则，， 由于，所以切点为， 切线斜率， 因此切线方程为，化简得，即， 当，即时，， 因此曲线在点处的切线过定点. (2) (3) 【难度】0.31 【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义即可求出切线方程，转化为关于的函数即可求解； （2）根据题意，求出，然后利用导数求出函数的单调性，根据极大值大于且极小值小于即可求解； （3）构造函数，根据题意，得出在上单调递减，利用导数求出单调性即可求解. 【详解】（1）略. （2）已知函数，则， 由于是的极值点，所以，解得，所以，， 令，解得，， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 因此在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为， 要使有个不同的零点，要满足极大值大于且极小值小于， 即，解得，所以的取值范围是. （3）已知函数，则， 由于对任意的，且，恒有，移项得， 构造函数，上述条件等价于：对任意的，且，恒有， 即在上单调递减，则其导数在上恒成立， 由于，， 当时，，所以大于等于的最大值， 令，，令，解得， 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在单调递减； 因此在处取最大值，最大值为， 所以，解得，所以的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $