第2章 第9讲 指、对、幂的大小比较(提升课)（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

**基本信息** 聚焦指数、对数、幂函数大小比较，以分层训练构建"单调性应用-构造函数-图象分析"的递进式方法体系，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础过关|10题|单调性比较、中间值法|从基本函数性质出发，通过比1/比2等中间值建立大小关系| |B级能力提升|3题|构造函数法、不等式放缩|结合函数单调性与不等式性质，深化综合推理能力| |C级拓广探索|2题|多函数图象交点分析|融合函数构造与图象直观，培养创新意识与问题转化能力|

[对应学生用书P325] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共78分． A级　基础过关 1．若a＝log382，b＝log215，c＝0.2-1.1，则(　　) A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜b＜a 解析　因为5＝log335＞a＝log382＞log381＝4＝log216＞b＝log215，c＝0.2-1.1＝51.1＞5，所以b＜a＜c.故选A. 答案　A 2．设a＝0.81.1，b＝0.80.8，c＝1.10.8，则a，b，c的大小关系为(　　) A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c 解析　因为函数y＝0.8x为减函数，所以0.81.1＜0.80.8＜1，即a＜b＜1，又c＝1.10.8＞1，所以a＜b＜c.故选C. 答案　C 3．(2025·湖北武汉调研)记a＝30.2，b＝0.3-0.2，c＝log0.20.3，则(　　) A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 解析　因为b＝0.3-0.2＝0.2，幂函数y＝x0.2在上单调递增，又＞3，所以0.2＞30.2＞30＝1，所以b＞a＞1，又对数函数y＝log0.2x在上单调递减，所以c＝log0.20.3＜log0.20.2＝1，故b＞a＞1＞c.故选D. 答案　D 4．(2025·贵州贵阳模拟)已知＞＞1，a＝nn，b＝nm，c＝mn，则a，b，c的大小关系正确的为(　　) A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞b＞c 解析　由题意＞＞1，故0＜m＜n＜1，由指数函数的单调性，y＝nx单调递减，故b＞a，由幂函数的单调性，y＝xn在(0，＋∞)上单调递增，故a＞c，综上，b＞a＞c.故选B. 答案　B 5．设a＝log0.30.2，b＝log32，c＝log3020，则(　　) A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b 解析　a＝log0.30.2＞log0.30.3＝1，b＝log32＜log33＝1，c＝log3020＜log3030＝1，所以a＞b，a＞c，b－c＝log32－log3020＝－＝＜0，所以c＞b，所以b＜c＜a.故选B. 答案　B 6．若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　) A．x＞y＞z B．y＞x＞z C．z＞x＞y D．x＞z＞y 解析　因为3x＝4y＝10，所以x＝log310＞log39＝2，1＝log44＜y＝log410＜log416＝2，则1＜y＜2，所以x＞y＞1，而z＝logxy＜logxx＝1，所以x＞y＞z.故选A. 答案　A 7．(2025·辽宁沈阳期末)已知实数a，b，c满足＝log2a，＝log3b，＝log2c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．c<b<a D．b<c<a 解析　在同一平面直角坐标系中作出f1(x)＝，f2(x)＝，f3(x)＝log2x，f4(x)＝log3x的图象，如图，其中a是y＝f1(x)与y＝f3(x)图象的交点的横坐标，b是y＝f1(x)与y＝f4(x)图象的交点的横坐标，c是y＝f2(x)与y＝f3(x)图象的交点的横坐标，观察图象得c<a<b，所以a，b，c的大小关系是c<a<b. 答案　B 8．已知m>0，n<0，且满足3m＋log2m＝＋2log4(－n)，则下列关系正确的是(　　) A．m＋2n>0 B．m＋2n<0 C．m＋2n＝0 D．m－n2＝0 解析　3m＋log2m＝＋2log4(－n)＝3-2n＋log2(－n)<3-2n＋log2(－n)＋1＝3-2n＋log2(－2n)， 即3m＋log2m<3-2n＋log2(－2n). 令f(x)＝3x＋log2x，则f(m)<f(－2n)， 函数y＝3x和y＝log2x在(0，＋∞)上都是增函数，则f(x)在(0，＋∞)上为增函数， 所以m<－2n，即m＋2n<0. 答案　B 9．(多选)(2026·河南名校模拟)已知正数x，y满足x＞y，则下列选项正确的是(　　) A．log2(x2＋1)＞log2(y2＋1) B．cos x＞cos y C．(x＋1)3＞(y＋1)3 D．e－x+1＞e－y+1 解析　对于A，因为x＞y＞0，所以x2＋1＞y2＋1＞0，又y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以log2(x2＋1)＞log2(y2＋1)，故A正确；对于B，不妨取x＝，y＝，则cos ＝0＜cos ＝，故B错误；对于C，因为x＞y＞0，所以x＋1＞y＋1＞1，所以(x＋1)3＞(y＋1)3，故C正确；对于D，因为x＞y＞0，所以－x＋1＜－y＋1，又y＝ex在R上单调递增，所以e－x+1＜e－y+1，故D错误．故选AC. 答案　AC 10．已知2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，则a，b，c从小到大的关系是____________． 解析　由2a＋a＝log2b＋b＝log3c＋c＝k(k＜1)，可得2a＝－a＋k，log2b＝－b＋k，log3c＝－c＋k，且k＜1，分别作出函数y＝2x，y＝log2x，y＝log3x和y＝－x＋k的图象，如图，由图可知：a＜c＜b. 答案　a＜c＜b B级　能力提升 11．已知a＝，b＝π，c＝4，则(　　) A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 答案　D 12．(2025·山东临沂期末)已知89<710，设a＝log87，b＝log98，c＝0.9，则(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a 解析　由89<710，可知log8(89)<log8(710)，即9<10log87，所以c＝0.9<log87＝a. 易知b＝log98＝，a＝log87＝， 由不等式“若x>y>0，m>0，则<”，得<＝<，即a<b，所以c<a<b. 答案　A 13．(多选)已知2a＝5b＝10，则下列关系正确的是(　　) A．ea－b＞1 B．a＋b＜ab C．a＋4b＜9 D．2＋2＞8 解析　因为2a＝5b＝10，所以a＝log210＝，b＝log510＝，对于A，a－b＝－＝＞0，所以ea－b＞e0＝1，故A正确；对于B，a＋b－ab＝＋－·＝＝＝0，所以a＋b＝ab，故B不正确；对于C，因为a，b＞0，＋＝lg 2＋lg 5＝1，所以a＋4b＝＝＋＋5≥2＋5＝9，而a≠2b，故上述不等式等号不成立，则a＋4b＞9，故C不正确；对于D，2＋2＝(lg 2＋1)2＋(lg 5＋2)2＝(lg 2＋1)2＋(1－lg 2＋2)2＝2lg22－4lg 2＋10＝2(lg 2－1)2＋8＞8，故D正确．故选AD. 答案　AD C级　拓广探索 14．(多选)已知0<b<a<1，则下列不等关系一定正确的是(　　) A．logb(ab)>2 B．< C．b－<a－ D．2b－8a<ln 解析　0<b<a<1，则ab>b2，又y＝logbx在(0，＋∞)上单调递减，则logb(ab)<logbb2＝2，故A错误； 0<b<a<1，则故<，故B正确； b－<a－等价于b＋<a＋，设f(x)＝x＋，f(x)在(0，1)上单调递减，且0<b<a<1，所以f(b)>f(a)，即b＋>a＋，故C错误； 2b－8a＝2b－23a<ln ＝ln 3a－ln b等价于2b＋ln b<23a＋ln 3a，设g(x)＝2x＋ln x，g(x)在(0，1)上单调递增，且0<b<a<1，所以0<b<a<3a，所以g(b)<g(3a)，即2b＋ln b<23a＋ln 3a，故D正确． 答案　BD 15．已知正数a，b，c满足aea＝b ln b＝ecln c＝1，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b 解析　由aea＝b ln b＝ecln c＝1，得ea－＝ln b－＝ln c－＝0，令函数f(x)＝ex－，x＞0，显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，而f＝e－2＜0，f(1)＝e－1＞0，f(a)＝0，则＜a＜1；令函数g(x)＝ln x－，函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(2)＝ln 2－＞0，而g＝ln －＜ln －＝－＜0，g(b)＝0，则＜b＜2；令h(x)＝ln x－，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，而h(1)＝－＜0，h＝ln －＞ln －＝ln －＞ln e－＝0，h(c)＝0，则1＜c＜，所以a，b，c的大小关系为a＜c＜b.故选D. 答案　D 学科网（北京）股份有限公司 $