第2章 第6节 幂函数与二次函数(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word（创新版）

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心性质，以题载法构建“定义-性质-应用”逻辑链，强化数学思维与解题方法的系统性训练。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数|8题（如第4、6题）|待定系数求解析式、奇偶性与单调性判定、比较大小技巧|从定义（系数为1）到性质（奇偶性、单调性），再到图象应用| |二次函数|7题（如第9、14题）|待定系数求解析式、对称轴分析单调性与最值、分类讨论区间最值|从解析式到图象性质（开口、对称轴），再到零点与区间最值应用|

第6节　幂函数与二次函数 （时间：60分钟，满分：90分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.探究幂函数f（x）＝xα当α＝2，3，，－1时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则α＝（　　） A.2　　　B.3 C.　　　D.－1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2.（2026·河南郑州模拟）已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　） A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.a＞b＞c D.b＜c＜a 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则g（x）的解析式为（　　） A.g（x）＝2x2－3x B.g（x）＝3x2－2x C.g（x）＝3x2＋2x D.g（x）＝－3x2－2x 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4.已知幂函数f（x）的图象经过点（8，4），则函数f（x）的图象大致为（　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，其中a＞0，f（0）＜0，a＋b＋c＝0，则（　　） A.∀x∈（0，1），都有 f（x）＞0 B.∀x∈（0，1），都有 f（x）＜0 C.∃x∈（0，1），使得 f（x）＝0 D.∃x∈（0，1），使得 f（x）＞0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.若幂函数的图象经过点（，2），则解析式为y＝ B.若函数f（x）＝，则f（x）在区间（－∞，0）上单调递减 C.幂函数y＝xα（α＞0）始终经过点（0，0）和（1，1） D.若幂函数f（x）＝（2m2－2m－3）xm图象关于y轴对称，则f（－a2＋2a－5）＞f（3） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 7.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，确定下列各式的正负：b　　　0，ac　　　0，a－b＋c　　　　0.（填“＞”“＜”或“＝”） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8.为了保证信息的安全传输，有一种密钥系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文（加密），接收方由密文到明文（解密）.设加密密钥为y＝xα（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 9.已知函数f（x）＝x2－ax＋2，x∈[1，3]，图象上任意两点连线都不与x轴平行，则实数a的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10.（13分）已知幂函数f（x）＝（m2＋m－1）（m∈Z）的图象关于y轴对称. （1）求m的值及函数f（x）的解析式； （2）设函数g（x）＝f（x）－4x＋5，求g（x）在区间[1，4]上的值域. 11.直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数y＝x－1的图象将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数y＝的图象在第一象限中经过（　　） A.③⑦ B.③⑧ C.④⑦ D.①⑤ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12.〔多选〕（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是（　　） A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f（－1）＝f（3） D.函数y＝f（｜x｜）有四个零点 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 13.已知幂函数f（x）＝（p∈N*）的图象关于y轴对称，且f（x）在（0，＋∞）上单调递减，实数a满足（a2－1＜（3a＋3，则实数a的取值范围是　　　　. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 14.（15分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（0，0），（5，0），且最小值为－. （1）求函数的解析式； （2）当t≤x≤t＋1时，该函数的最小值为－12，求此时t的值. 答案 第6节　幂函数与二次函数 1.B　2.B　3.B　 4.A　设幂函数f（x）＝xa，则8a＝4，即23a＝22，解得a＝，即f（x）＝，f（x）的定义域是R，f（－x）＝（－x＝[（－x）2＝（x2＝＝f（x），函数为偶函数，由0＜＜1，则f（x）在[0，＋∞） 上递增且越来越慢，故选A. 5.B　由a＞0， f（0）＜0，a＋b＋c＝0可知a＞0，c＜0，抛物线开口向上.因为f（0）＝c＜0，f（1）＝a＋b＋c＝0，即1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，所以∀x∈（0，1），都有f（x）＜0，B正确，A、C、D错误.故选B. 6.ACD　对于A项，设幂函数解析式为y＝xα，代入点（，2），可得2＝（）α＝2－3α，所以－3α＝1，解得α＝－，所以解析式为y＝，故A项正确；对于B项，由已知f（x）＝为幂函数，且－＜0，所以f（x）在区间（0，＋∞）上单调递减.又f（－x）＝（－x＝f（x），所以f（x）为偶函数，根据偶函数的性质可得，f（x）在区间（－∞，0）上单调递增，故B项错误；对于C项，因为α＞0，所以0α＝0，1α＝1，故C项正确；对于D项，由已知可得，2m2－2m－3＝1，解得m＝－1或m＝2.又幂函数图象关于y轴对称，所以m＝2，f（x）＝x2.所以有f（x）＝f（｜x｜），又f（x）＝x2在区间（0，＋∞）上单调递增，且a2－2a＋5＝（a－1）2＋4≥4，所以f（－a2＋2a－5）＝f（a2－2a＋5）≥f（4）＞f（3），故D项正确.故选A、C、D. 7.＞　＜　＜　8.9 9.（－∞，2]∪[6，＋∞）　解析：由题意知，f（x）＝x2－ax＋2在[1，3]上具有单调性.因为二次函数f（x）图象开口向上，对称轴为x＝－＝.当f（x）在[1，3]上单调递增时，有≤1，解得a≤2；当f（x）在[1，3]上单调递减时，有≥3，解得a≥6.综上可知，实数a的取值范围是（－∞，2]∪[6，＋∞）. 10.解：（1）因为f（x）＝（m2＋m－1）（m∈Z）为幂函数，所以m2＋m－1＝1，解得m＝1或m＝－2. 当m＝1时，f（x）＝x2，函数图象关于y轴对称，符合题意； 当m＝－2时，f（x）＝，函数图象关于原点对称，不符合题意. 综上，m＝1，f（x）＝x2. （2）由（1）得g（x）＝x2－4x＋5＝（x－2）2＋1， 所以g（x）在[1，2]上单调递减，在[2，4]上单调递增.又g（2）＝1，g（1）＝2，g（4）＝5，所以g（x）∈[1，5]， 即g（x）在区间[1，4]上的值域为[1，5]. 11.D　在第一象限内，直线x＝1的左侧，幂函数的指数越大图象越接近于x轴，∵－＞－1，∴在直线x＝1的左侧，y＝的图象位于y＝x－1图象的下方，直线y＝1的上方，故经过⑤；在第一象限内，直线x＝1的右侧，幂函数的指数越小图象越接近于x轴，∴在直线x＝1的右侧y＝的图象位于y＝x－1图象的上方，直线y＝1的下方，故经过①.故选D. 12.ABC　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f（x）的对称轴为x＝1，点（－1，f（－1）），（3，f（3））关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f（｜x｜）＝｜x｜2－2｜x｜＝｜x｜（｜x｜－2）＝0有三个零点，故D不正确. 13.（－1，4）　解析：∵幂函数f（x）＝（p∈N*）在（0，＋∞）上单调递减，∴p2－2p－3＜0，解得－1＜p＜3.∵p∈N*，∴p＝1或p＝2.当p＝1时，f（x）＝x－4为偶函数，满足条件，当p＝2时，f（x）＝x－3为奇函数，不满足条件，则p＝1.∴不等式（a2－1＜（3a＋3，即为（a2－1＜（3a＋3.∵y＝在R上为增函数，∴a2－1＜3a＋3，解得－1＜a＜4. 14.解：（1）由题意设函数的解析式为y＝ax（x－5）（a＞0）， 由已知可得二次函数图象的顶点坐标为（，－）， 代入得－＝a××（－），解得a＝2， 所以二次函数的解析式为y＝2x（x－5），即y＝2x2－10x. （2）由（1）知y＝2x2－10x＝2（x－）2－， 其图象开口向上，对称轴为直线x＝， 当t＋1≤，即t≤时，y＝2x2－10x在[t，t＋1]上单调递减， 所以当x＝t＋1时，y＝2x2－10x取得最小值， 所以2（t＋1）2－10（t＋1）＝－12，解得t＝1或t＝2（舍去），所以t＝1； 当t＜＜t＋1，即＜t＜时，y＝2x2－10x在x＝时取得最小值－，不满足题意； 当t≥时，y＝2x2－10x在[t，t＋1]上单调递增， 所以当x＝t时，y＝2x2－10x取得最小值， 所以2t2－10t＝－12，解得t＝3或t＝2（舍去）. 综上所述，t的值为1或3. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $