第1章 第5讲 一元二次函数与一元二次不等式（Word练习）-【精讲精练】2027年高考数学一轮复习（北师大版）

**基本信息** 以分级训练构建不等式解题体系，融合分类讨论、转化与化归思想，通过基础巩固、能力提升到拓广探索的递进，系统培养逻辑推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级|9题|因式分解法、分式不等式转化、韦达定理应用|从一元二次不等式解法到含参不等式基础应用，构建概念到解法的逻辑链| |B级|4题|恒成立问题最值转化、参数分类讨论|二次函数性质与不等式综合，深化参数对解集的影响分析| |C级|2题|新定义问题转化、多变量恒成立参数处理|拓展不等式与函数、新定义结合，提升数学抽象与综合应用能力|

[对应学生用书P307] 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，解答题共26分，本试卷共94分． A级　基础过关 1．不等式x2＋≤的解集为(　　) A． B．[－1，1) C． D．(1，3) 解析　由题知不等式为x2＋≤，即9x2－6x＋1≤0，即(3x－1)2≤0，解得x＝，所以解集为. 答案　A 2．不等式≤1的解集为(　　) A．{x|－2≤x<1} B．{x|－2<x≤1} C．{x|x≤－2，或x>1} D．{x|x<－2，或x≥1} 解析　≤1，即≤0，即解得x≥1或x<－2. 答案　D 3．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　) A． B． C．{x|－2＜x＜1} D．{x|x＜－2，或x＞1} 解析　因为不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，所以ax2＋bx＋2＝0的两根为－1，2，且a＜0，－1＋2＝－，×2＝，解得a＝－1，b＝1，则所求不等式可化为2x2＋x－1＜0，解得－1＜x＜，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为.故选A. 答案　A 4．若不等式kx2＋(k－6)x＋2＞0在R上恒成立，则实数k的取值范围是(　　) A．[2，18] B．(－18，－2) C．(2，18) D．(0，2) 解析　当k＝0时，不等式kx2＋(k－6)x＋2＞0可化为－6x＋2＞0，显然不合题意；当k≠0时，因为kx2＋(k－6)x＋2＞0在R上恒成立，所以 解得2＜k＜18.综上2＜k＜18，故选C. 答案　C 5．(多选)已知a∈R，关于x的不等式(ax－2)(x＋2)>0的解集可能是(　　) A． B．{x|x>－2} C． D． 解析　当a＝0时，(ax－2)(x＋2)＝－2(x＋2)>0，解得x<－2； 当a>0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)>0，解得x>或x<－2，故A正确； 当a<0时，(ax－2)(x＋2)＝a·(x＋2)>0， 若＝－2，则a＝－1，则解集为空集； 若<－2，则－1<a<0，则不等式的解集为，故D正确； 若>－2，解得a<－1，则不等式的解集为，故C正确． 答案　ACD 6．(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列选项中正确的是(　　) A．a＞0 B．不等式bx＋c＞0的解集是{x|x＜－6} C．a＋b＋c＞0 D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为∪ 解析　A选项，∵关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，∴a＞0，A正确；B，C选项，已知－2和3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得则b＝－a，c＝－6a，不等式bx＋c＞0，即－ax－6a＞0，解得x＜－6，B正确；且a＋b＋c＝－6a＜0，C错误；D选项，不等式cx2－bx＋a＜0，即－6ax2＋ax＋a＜0，即6x2－x－1＞0，解得x＜－或x＞，D正确．故选ABD. 答案　ABD 7．不等式＞x的解集是____________． 解析　不等式＞x化为以下两个不等式组或 解即解得x＜－1， 解即解得1＜x＜5， 所以原不等式的解集是(－∞，－1)∪(1，5). 答案　(－∞，－1)∪(1，5) 8．若不等式x2－ax＋4≤0对任意x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围为____________． 解析　因为x2－ax＋4≤0对任意x∈[1，3]恒成立，则a≥x＋对任意x∈[1，3]恒成立， 因为f(x)＝x＋在上单调递减，在上单调递增，且f＝5，f＝， 则f(x)＝x＋在[1，3]上的最大值为f＝5， 则a≥max＝5，故实数a的取值范围为. 答案　 9．(13分)已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0. (1)若该不等式的解集为(－4，2)，求a，b的值； (2)若b＝a＋1，求此不等式的解集． 解析　(1)根据题意得解得 (2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，即[x－(a＋1)](x＋1)<0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1). 综上，当a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1). B级　能力提升 10．若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，5) B．(5，＋∞) C．(－4，＋∞) D．(－∞，4) 解析　设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，所以实数a的取值范围为(－∞，5). 答案　A 11．若关于x的不等式x2－(m＋3)x＋3m＜0的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为(　　) A．(6，7] B．[－1，0) C．[－1，0)∪(6，7] D．[－1，7] 解析　不等式x2－(m＋3)x＋3m＜0可化为(x－3)(x－m)＜0，当m＞3时，不等式的解集为(3，m)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以6＜m≤7；当m＝3时，不等式的解集为∅，此时不符合题意；当m＜3时，不等式的解集为(m，3)，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以－1≤m＜0.综上可知，实数m的取值范围是[－1，0)∪(6，7].故选C. 答案　C 12．(2025·重庆市杨家坪中学月考)已知a>0，b∈R，若x>0时，关于x的不等式(ax－1)(x2＋bx－4)≥0恒成立，则b＋的最小值为____________． 解析　∵a>0，∴当x>时，ax－1>0，当0<x<时，ax－1<0. ∴当x>时，x2＋bx－4≥0，当0<x<时，x2＋bx－4≤0，∴为二次函数y＝x2＋bx－4的零点， ∴＋－4＝0，则b＝4a－， ∴b＋＝4a＋≥2＝4，当且仅当4a＝，即a＝时等号成立．所以b＋的最小值为4. 答案　4 13．(13分)解关于x的不等式：2a2x2－3ax－2>0，a∈R. 解析　当a＝0时，原不等式即为－2>0，该不等式的解集为∅； 当a≠0时，2a2>0， 原不等式即为(2ax＋1)(ax－2)>0. ①若a<0，则－>，原不等式的解集为； ②若a>0，则－<，原不等式的解集为. 综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为∅； 当a<0时，原不等式的解集为； 当a>0时，原不等式的解集为. C级　拓广探索 14．(多选)设〈x〉表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式〈x〉2＋〈x〉－12≤0的解可以为(　　) A． B．3 C．－4.5 D．－5 解析　因为不等式〈x〉2＋〈x〉－12≤0，所以(〈x〉－3)(〈x〉＋4)≤0，即－4≤〈x〉≤3，又因为〈x〉表示不小于实数x的最小整数，〈〉＝4，〈3〉＝3，〈－4.5〉＝－4，〈－5〉＝－5，所以不等式〈x〉2＋〈x〉－12≤0的解可以为3，－4.5.故选BC. 答案　BC 15．(2025·天津卷)若a，b∈R，对∀x∈[－2，2]，均有(2a＋b)x2＋bx－a－1≤0恒成立，则2a＋b的最小值为____________． 解析　设t＝2a＋b，原题转化为求t的最小值， 原不等式可化为对任意的－2≤x≤2，tx2＋x－a－1≤0， 不妨代入x＝－，得t－－a－1≤0，得t≥－4， 当t＝－4时，原不等式可化为－4x2＋x－a－1≤0， 即－2＋a2≤0， 观察可知，当a＝0时，－2≤0对－2≤x≤2一定成立，当且仅当x＝－时等号成立，此时，a＝0，b＝－4，说明t＝－4时，a，b均可取到，满足题意， 故t＝2a＋b的最小值为－4. 答案　－4 学科网（北京）股份有限公司 $