第1章 第5讲 第1课时 一元二次函数及其性质(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（北师大版）

课时分层测评5　一元二次函数及其性质 (时间：60分钟　满分：95分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (1－8题，每小题5分，共40分) 1.若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)的解析式为(　　) A．g(x)＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2x C．g(x)＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x 答案：B 解析：二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，设二次函数为g(x)＝ax2＋bx(a≠0)，可得则a＝3，b＝－2，所求的二次函数为g(x)＝3x2－2x．故选B． 2.已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且f＝f(1－x)，则下列不等式中成立的是(　　) A．f＜f＜f B．f＜f＝f C．f＝f＜f D．f＜f＜f 答案：C 解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(x)＝x2＋bx＋c关于x＝1对称，所以b＝－2.所以f．故选C． 3.已知函数f(x)＝x2－2tx＋2t2－2t，则下列选项正确的是(　　) A．f(x)的图象恒过点 B．f(x)的图象必与x轴有两个不同的交点 C．f(x)的最小值可能为－2 D．f(x)的最小值可能为－1 答案：D 解析：对于A，当t＝2时，f＝2t2－2t＝2×22－2×2≠0，所以f(x)的图象不恒过点，故A错误；对于B，当t＝0时，Δ＝4t2－4＝－4t2＋8t＝0，此时f(x)的图象必与x轴只有1个交点，故B错误；对于C、D，f(x)＝x2－2tx＋2t2－2t＝＋t2－2t，则f(x)的最小值为t2－2t＝－1≥－1，所以函数的最小值不可能是－2，可能为－1，故C错误，D正确.故选D. 4.已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论错误的是(　　) A．b＞0 B．c＞0 C．f＝f D．不等式＜0的解集为(－，)⋃(3，＋∞) 答案：A 解析：依题图知抛物线开口向上，所以a＞0，抛物线与y轴交点纵坐标为正，所以c＞0，因为－＝1＋2＝3，所以b＜0.由根与系数的关系得＝1×2＝2，即b＝－3a＜0，c＝2a＞0，对称轴x＝，则f(＋x)＝f，故A错误，B、C正确；不等式＜0可化为(ax－3a)(－3ax＋2a)(2ax＋a)＜0，即(x－3)(3x－2)(2x＋1)＞0，解得－＜x＜或x＞3.所以不等式的解集为∪，故D正确.故选A. 5.(多选)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列选项正确的是(　　) A．abc＞0 B．3a＞2b C．m≤a－b(m为任意实数) D．4a－2b＋c＜0 答案：ABC 解析：因为抛物线开口向下，则a＜0.又因为抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1，则b＝2a，可得b＜0.又因为抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0.对于A，可得abc＞0，故A正确；对于B，因为b＝2a，则2b－3a＝4a－3a＝a＜0，所以3a＞2b，故B正确；对于C，抛物线的对称轴为直线x＝－1，可知当x＝－1时，y有最大值，则am2＋bm＋c≤a－b＋c(m为任意实数)，所以m≤a－b(m为任意实数)，故C正确；对于D，因为抛物线的对称轴为直线x＝－1，且抛物线与x轴的一个交点在点之间，则抛物线与x轴的另一个交点在点之间，可知当x＝－2时，y＞0，所以4a－2b＋c＞0，故D错误.故选ABC. 6.(多选)已知函数f(x)＝x2－4x＋3在［a，b］(b＞a)上的值域是，则b－a的取值可以是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：BCD 解析：易知二次函数f(x)＝x2－4x＋3的图象关于x＝2对称，且开口向上，所以在对称轴处取得最小值f(x)min＝f(2)＝－1，如图所示． 令f(x)＝x2－4x＋3＝3，解得x＝0或x＝4.若使f(x)＝x2－4x＋3在[a，b]上的值域为，则需满足a＝0，b∈或b＝4，a∈，因此可得b－a∈.所以b－a的取值可以是2，3，4.故选BCD. 【教师备选】　已知函数y＝x2－3x－4的定义域是［－1，m］，值域为，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，4］ B． C． D． 答案：B 解析：设f(x)＝x2－3x－4＝2－，x∈R，所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝， 如图所示.所以f＝－，易知f(－1)＝f(4)＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为，则实数m的取值范围是［，4］.故选B. 7.已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为　　　　　　　． 答案：f(x)＝x2－4x＋3 解析：因为f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，所以f(x)图象的对称轴为直线x＝2.又因为f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，所以f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，因为f(x)的图象过点(4，3)，所以3a＝3，所以a＝1，所以所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 8.函数f(x)＝2x2－x－1(－1≤x≤1)的值域是　　． 答案： 解析：f(x)＝2x2－x－1＝2－，因为－1≤x≤1，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，且f＝－.又f(1)＝2－1－1＝0，f(－1)＝2＋1－1＝2，故f(x)＝2x2－x－1在－1≤x≤1上的值域是. 9.(10分)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)，若f(x)在区间［2，3］上有最大值5，最小值2. (1)求a，b的值； (2)若b＜1，g(x)＝f(x)－mx在［2，4］上单调，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a(a≠0)． 当a＞0时，f(x)在［2，3］上单调递增， 故 当a＜0时，f(x)在［2，3］上单调递减， 故 (2)因为b＜1，所以a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2. g(x)＝x2－2x＋2－mx＝x2－(2＋m)x＋2， 因为g(x)在［2，4］上单调，所以≥4， 解得m≤2或m≥6. 故实数m的取值范围是(－∞，2］⋃［6，＋∞)． (10、11题，每小题5分，共10分) 10.设函数f(x)＝x2＋x＋a，若f＜0，则(　　) A．f≥0 B．f≤0 C．f＞0 D．f＜0 答案：C 解析：因为二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，f＝a＝f＞0，则函数f(x)的减区间是，增区间是，所以f(x)的大致图象如图所示.由f＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以f＞f＞0.故选C. 11.已知二次函数y＝x2－2x＋2，当0≤x≤t时，函数最大值为M，最小值为N．若M＝5N，则t的值为(　　) A．0.5 B．1.5 C．3 D．4 答案：C 解析：二次函数y＝x2－2x＋2的对称轴为直线x＝1，且y＝2＋1，若0＜t≤1，且当0≤x≤t时，y随着x的增大而减小，故M＝02－2×0＋2＝2，N＝t2－2t＋2.因为M＝5N，故5＝2，整理得5t2－10t＋8＝0，Δ＝100－4×5×8＜0，故方程5t2－10t＋8＝0无解，不合乎题意；若t＞1，当0≤x≤1时，y随着x的增大而减小；当1＜x≤t时，y随着x的增大而增大．故N＝2＋1＝1，若1＜t≤2，则M＝02－2×0＋2＝2，此时M≠5N，若t＞2，则M＝t2－2t＋2，由M＝5N得t2－2t＋2＝5，可得t2－2t－3＝0.因为t＞2，解得t＝3，所以M＝5，N＝1.综上所述，t＝3.故选C． 12.(15分)已知f(x)＝2x2＋ax＋b． (1)若对一切t∈R有f＝f，且f＝1，求a，b的值； (2)令a＝1. (ⅰ)直接写出f(x)的值域；(用含b的式子表示) (ⅱ)若函数f(x)的值域与f的值域相同，求实数b的取值范围． 解：(1)对任意的t∈R有f＝1，解得a＝－4，所以f(x)＝2x2－4x＋b． 又因为f＝2－4＋b＝1，解得b＝3， 因此a＝－4，b＝3. (2)(ⅰ)当a＝1时，f(x)＝2x2＋x＋b＝2(x＋， 当且仅当x＝－时，函数f(x)取最小值b－，故函数f(x)的值域为. (ⅱ)令s＝f(x)，则s≥b－，且二次函数f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝－， 当b－＜－时，即当b＜－时， 函数f上单调递减，在(－，＋∞)上单调递增， 则f≥f＝b－，此时函数f(x)的值域与f的值域相同，合乎题意； 当b－≥－时，即当b≥－时，函数f上单调递增， 则f＝f＝2＋＋b＝b－，解得b＝－. 综上所述，实数b的取值范围是. 13.(5分)(开放题)(2026·重庆模拟)若函数f(x)满足2x－1＜f(x)＜x2，试写出一个f(x)的解析式：　　　　　． 答案：f(x)＝x2＋x－(答案不唯一) 解析：不妨取f(x)＝x2＋x－，当x＞1时，x2－f(x)＝x2－＝x2－x＋＝＞0，f(x)－＝(x2＋x－)－＝x2－x＋＝＞0，所以函数f(x)＝x2＋x－满足2x－1＜f(x)＜x2，故答案为f(x)＝x2＋x－(答案不唯一). 14.(15分)(新定义)定义：对于y关于x的函数，函数在x1≤x≤x2范围内的最大值，记作M．如函数y＝2x，在－1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M＝6.请根据以上信息，完成以下问题：已知函数y＝x2－4x＋a2－1(a为常数)． (1)若a＝2. (ⅰ)直接写出该函数的表达式，并求M的值； (ⅱ)已知M＝3，求p的值． (2)若该函数的图象经过点，且M＝k，求k的值． 解：(1)(ⅰ)若a＝2，则y＝x2－4x＋3＝2－1， 当1≤x≤2时，y＝x2－4x＋a2－1为减函数；当2＜x≤4时，y＝x2－4x＋a2－1为增函数. 当x＝1时，y＝0；当x＝4时，y＝－1＝3，故M＝3. (ⅱ)若2≤p＜，且当p≤x≤时，y＝x2－4x＋a2－1为增函数， 此时M＝－1＝－，不符合题意； 若p＜2，且p≤x≤2时，y＝x2－4x＋a2－1为减函数；当2≤x≤时，y＝x2－4x＋a2－1为增函数； 若≤p＜2，则M＝－1＝－，不符合题意， 若p＜，则M＝p2－4p＋3＝3， 因为p＜，解得p＝0，符合题意； 综上所述，p＝0. (2)因为函数y＝x2－4x＋a2－1(a为常数)的图象经过点(0，0)，则a2－1＝0，解得a＝±1. 若a＝1，则y＝－4x，当－3≤x≤k时，－4k≤－4x≤12，则M＝12＝k，符合题意； 若a＝－1，则y＝－2x2－4x＝－22＋2， 若－3＜k≤－1，且当－3≤x≤k时，y＝x2－4x＋a2－1为增函数， 此时M＝－2k2－4k＝k，即2k2＋5k＝0，因为－3＜k≤－1，解得k＝－； 若k＞－1，且当－3≤x≤－1时，y＝x2－4x＋a2－1为增函数， 当－1＜x≤k时，y＝x2－4x＋a2－1为减函数，此时M＝k＝2，符合题意； 综上所述，当a＝－1时，k＝－或2；当a＝1时，k＝12. 学生用书⬇第16页 学科网（北京）股份有限公司 $