2026年暑假九年级数学预习 菱形的性质与判定2 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形性质与判定，通过基础巩固、中档应用、拔高综合三层设计，构建从概念理解到动态探究的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|菱形定义、性质与判定|选择题1-6直接考查概念辨析，如第6题判定条件| |中档|性质应用与简单计算|填空题9-13结合对角线、面积等，如第13题垂线段和| |拔高|综合证明与动态问题|解答题15-20需推理论证，如第16题菱形判定与DP计算|

2026年暑假九年级数学预习 菱形的性质与判定2 第3天参考答案与试题解析 一．菱形的性质与判定2 1．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可． 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 2．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 【答案】A 【分析】由菱形的性质得AC⊥BD，OC＝OAAC＝3，OB＝ODBD＝4，则∠BOC＝90°，所以BC5，而AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD＝5AE6×8，求得AE，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8， ∴AC⊥BD，OC＝OAAC＝3，OB＝ODBD＝4， ∴∠BOC＝90°， ∴BC5， ∵AE⊥BC于点E， ∴S菱形ABCD＝5AE6×8， ∴AE， 故选：A． 3．如图，点P、Q分别是菱形ABCD的边DC、AB上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】如图所示，连接AC，过点C作CE⊥AB延长线于点E，当点A，Q重合，点P，C重合时，PQ＝AC是最大值，最大值为，当PQ⊥AB时，PQ＝CE是最小值，最小值为CE＝4，由勾股定理即可求解． 【解答】解：由条件可知AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，AD∥BC， 如图所示，连接AC，过点C作CE⊥AB延长线于点E， 当点A，Q重合，点P，C重合时，PQ＝AC是最大值，最大值为， 当PQ⊥AB时，PQ＝CE是最小值，最小值为CE＝4， ， 设AB＝BC＝x，则， 在Rt△BCE中，， 解得，， ∴， ∴菱形ABCD的边长为， 故选：D． 4．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接DB，作DH⊥AB于H，如图，利用菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，则可判断△ABD和△BCD都是等边三角形，再证明△ADE≌△BDF得到∠2＝∠1，DE＝DF，接着判定△DEF为等边三角形，所以EF＝DE，然后根据垂线段最短判断DE的最小值即可． 【解答】解：连接DB，作DH⊥AB于H，如图， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD＝AB＝BC＝CD， 而∠A＝60°， ∴△ABD和△BCD都是等边三角形， ∴∠ADB＝∠DBC＝60°，AD＝BD， 在Rt△ADH中，AH＝1，AD＝2， ∴DH， 在△ADE和△BDF中 ， ∴△ADE≌△BDF， ∴∠2＝∠1，DE＝DF ∴∠1+∠BDE＝∠2+∠BDE＝∠ADB＝60°， ∴△DEF为等边三角形， ∴EF＝DE， 而当E点运动到H点时，DE的值最小，其最小值为， ∴EF的最小值为． 故选：D． 5．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 【答案】A 【分析】连接OE，由菱形的性质得AC⊥BD，OD＝OBBD，OC＝OAAC，利用勾股定理可以求得DC的长为5，又因为EF⊥OC，EG⊥OD，可证四边形OFEG为矩形，根据矩形的对角线相等的性质可得GF＝OE，当OE⊥CD时，OE最短，再利用面积法求出OE的长即可求解FG的最小值． 【解答】解：连接OE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，ODBD＝3，OCAC＝4， 由勾股定理得CD5， 又∵EF⊥OC，EG⊥OD， ∴四边形OFEG为矩形， ∴GF＝OE， 当OE⊥CD时，OE值最小， 此时，S△OCDOC•ODCD•OE， ∴OE2.4， ∴FG的最小值为2.4． 故选：A． 6．下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD 【答案】B 【分析】由菱形的判定、矩形的判定以及平行四边形的性质分别对各个选项进行判断即可． 【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°， ∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD， ∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意； 故选：B． 7．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用菱形的对角线互相垂直平分求出菱形边长，再利用等面积法求解即可． 【解答】解：如图，连接PD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC与BD互相垂直平分， ∴AO＝OC＝4，BO＝DO＝3， ∴， ∵S△ACD＝S△APD+S△CPD，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴， ∴8×3＝5（PM+PN）， ∴PM+PN， 故选：C． 8．如图，在菱形ABCD中，，，DH⊥AB于点H，则DH的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】直接利用菱形的性质得出AO，BO的长，再利用勾股定理得出AB的长，进而利用菱形面积求法得出答案． 【解答】解：如图所示：∵菱形ABCD对角线AC，BD相交于点O，且AC＝2，BD＝2， ∴∠AOB＝90°，AO，BO， ∴AB3， 则AC•BD＝DH•AB， ∴63DH， 解得：DH＝2． 故选：D． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝13，若点B的坐标为（8，12），点D的坐标为（8，2），则点A的坐标为 　（﹣4，7）　 ． 【分析】连接BD、AC，可得BD与AC垂直平分，利用勾股定理即可得出结果． 【解答】解：如图：连接BD、AC，交于点E，则：BD与AC垂直平分， ∵点B（8，12），D（8，2）， ∴BD∥y轴，，即E（8，7）， AC⊥y轴，BE＝DEBD（12﹣2）10＝5， ∵AB＝13， ∴， ∴A（8﹣12，7），即点A的坐标为（﹣4，7）． 故答案为：（﹣4，7）． 10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，P为CD上一点，连接BP，若四边形ABCD的面积为9，纸条的宽为3，CP＝2，则BP的长是 　　 ． 【分析】证四边形ABCD是平行四边形．再证BC＝CD，则平行四边形ABCD是菱形，得AB＝BC＝CD，AB∥CD，然后证△ABE是等腰直角三角形，得∠ABC＝45°，进而证△PCG是等腰直角三角形，得PG＝CG，则BG＝BC+CG＝4，即可解决问题． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，过点P作PG⊥BC于点G， ∵两条纸条宽度相同， ∴AE＝AF． ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． ∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF， 又∵AE＝AF， ∴BC＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD，AB∥CD， ∴∠PCG＝∠ABC， ∵S菱形ABCD＝BC•AE＝BC×3＝9， ∴BC＝3， ∴AB＝3， ∴BE3， ∴AE＝BE， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∴∠PCG＝45°， ∵PG⊥BC， ∴∠PGC＝90°， ∴△PCG是等腰直角三角形， ∴PG＝CGCP2， ∴BG＝BC+CG＝4， 在Rt△BPG中，由勾股定理得：BP， 故答案为：． 11．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形的面积是 　　 cm2． 【分析】过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，依题意得AB∥CD，BC∥AD，则四边形ABCD是平行四边形，根据蓝丝带宽为6cm得BE＝DF＝6cm，再根据等腰直角三角形勾股定理AB＝ADcm，进而得平行四边形ABCD是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【解答】解：过点B作BE⊥AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： 依题意得：AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵蓝丝带宽为6cm， ∴BE＝DF＝6cm， ∵∠BAD＝45°， ∴△ABE和△ADF都是等腰直角三角形， ∴AE＝BE＝6cm，AF＝DF＝6cm， 在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB（cm）， 同理：ADcm， ∴AB＝ADcm， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴重叠部分图形的面积是：AD•BE（cm2）， 故答案为：． 12．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　25°　 ． 【分析】由菱形的性质可得AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD，可求∠ABD＝65°，由直角三角形的性质可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB，BO＝OD，∠DAO＝∠BAO＝25°，AC⊥BD， ∴∠ABD＝65°， ∵DH⊥AB，BO＝DO， ∴HO＝DO， ∴∠DHO＝∠BDH＝90°﹣∠ABD＝25°， 故答案为25°． 13．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　4.8　 ． 【分析】直接利用菱形的性质得出AB＝AD＝5，S△ABD＝12，进而利用三角形面积求法得出答案． 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为20，面积为24， ∴AB＝AD＝5，S△ABD＝12， ∵分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF， ∴AB×PEPF×AD＝12， ∴5×（PE+PF）＝12， ∴PE+PF＝4.8． 故答案为：4.8． 14．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶，图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点E、F分别为伞骨AB、AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点，四边形AEDF为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，∠BAC＝120°，当油纸伞缩拢到图②的程度时，∠BAC＝60°，若AE＝18cm，则伞圈D下滑的距离DD1的长度为　（1818）　 cm． 【分析】在图1中，∠BAC＝120°，则∠DAE＝∠DAF＝60°，可证明△ADE是等边三角形，则AD＝AE＝18cm，在图2中，∠BAC＝60°，则△AEF是等边三角形，所以EF＝AE＝18cm，设AD1交EF于点H，则EH＝FH＝9cm，∠AHE＝90°，求得AH9cm，所以AD1＝2AH＝18cm，则DD1＝（1818）cm． 【解答】解：如图①，∵四边形AEDF为菱形，∠BAC＝120°，AE＝18cm， ∴∠DAE＝∠DAF∠BAC＝60°，AE＝DE， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE＝18cm， 如图②，设AD1交EF于点H， ∵AE＝AF＝18cm，∠BAC＝60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴EF＝AE＝18cm， ∵∠D1AE＝∠D1AF， ∴EH＝FHEF＝9cm，AD1⊥EF， ∴∠AHE＝90°， ∴AH9（cm）， ∵AE＝DE，EF⊥AD1， ∴D1H＝AH， ∴AD1＝2AH＝18cm， ∴DD1＝AD1﹣AD＝（1818）cm， 故答案为：（1818）． 2026年06月30日涂海青的初中数学组卷 二．解答题（共8小题） 15．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形．再证平行四边形OCED是矩形，则∠COD＝90°，得AC⊥BD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝4，再由勾股定理得OD＝2，然后由矩形的在得CE＝OD＝2，∠OCE＝90°，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DE∥AC，DE＝OC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵OE＝CD， ∴平行四边形OCED是矩形， ∴∠COD＝90°， ∴AC⊥BD， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，CD＝AB＝BC＝4，AC⊥BD， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝4， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD2， 由（1）可知，四边形OCED是矩形， ∴CE＝OD＝2，∠OCE＝90°， ∴AE2， 即AE的长为2． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【答案】（1）见解析； （2）4． 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE，AB＝AF，AF＝BE，从而证明四边形ABEF是菱形； （2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AB＝AE＝8，AP＝4，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝2，AM＝2，从而得到DM＝10，由勾股定理求出PD、PB的长，即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形； （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∴AB＝AE＝8， ∵AB＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M，如图所示： ∴PM＝2，AM＝2， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴PD4． 17．如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE． （1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是EF垂直平分AC ； （2）求证：四边形AFCE是菱形． 【答案】（1）EF垂直平分AC； （2）见解析． 【分析】（1）由作图可知直接得出结论； （2）证明△AOE≌△COF（AAS），得出AE＝CF，即可推出结论． 【解答】（1）解：由作图可知，EF垂直平分AC， 故答案为：EF垂直平分AC； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC ∴∠OAE＝∠OCF，∠OEA＝∠OFC， ∵EF垂直平分AC， ∴OA＝OC， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∵EF垂直平分AC， ∴四边形AFCE是菱形． 18．追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH． 方法应用 （2）如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，若AF＝3，FC＝5，求DE的长． 【答案】（1）9.6； （2）． 【分析】（1）根据勾股定理求出AB的值，根据等面积法列方程求解即可； （2）根据菱形的性质得出AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO，证明△CDF∽△COD，得到CD2＝CO•CF，进而求出，根据勾股定理求出DO＝2，根据等面积法即可得出答案． 【解答】解：（1）由菱形的性质可得，AO＝8，BO＝6，∠AOB＝90°， ∴， ∵， ∴， 解得：DH＝9.6； （2）∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD，AO＝CO， ∴∠AED＝∠CDE， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDF＝∠COD＝90°， 又∵∠DCF＝∠OCD， ∴△CDF∽△COD， ∴， 即CD2＝CO•CF， ∵AF＝3，FC＝5， ∴AC＝AF+CF＝3+5＝8， ∴AO＝CO＝4， ∴OF＝AO﹣AF＝4﹣3＝1， ∴CF＝5， ∴CD2＝4×5＝20， ∴， 即， ∴， ∴DB＝4， ∵， ∴， 解得：． 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长度． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由平行四边形的性质得AB∥DC，则∠BAC＝∠DCA，再证明∠DCA＝∠DAC，则AD＝CD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）证出AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，在Rt△AOB中，应用勾股定理，求出AO的长，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可知OE＝OA，即可求解， 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴AD＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵平行四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴OBBD＝1， ∵CE⊥AB， ∴OE， 在Rt△AOB中，AO3， ∴OE＝AO＝3， 20．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据平行四边形和角平分线的性质可得AB＝BE、AB＝AF，则AF＝BE，易证四边形ABEF是平行四边形，再结合AB＝BE即可证明结论； （2）根据菱形的性质可证明△ABE为等边三角形可得AB＝AE＝8，即AP＝4；如图：过点P作PM⊥AD于M，则、AM＝2，进而得到DM＝10，最后根据勾股定理求解即可解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE＝∠AEB（两直线平行，内错角相等）． ∵AE平分∠BAD， ∴∠DAE＝∠BAE（角平分线的定义）． ∴∠BAE＝∠AEB． ∴AB＝BE． 同理：AB＝AF． ∴AF＝BE． ∴四边形ABEF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， ∵AB＝BE， ∴四边形ABEF是菱形． （2）解：∵四边形ABEF是菱形， ∴AE⊥BF， ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°，△ABE为等边三角形， ∵AB＝8， ∴AB＝AE＝8， ∴AP＝4， 过点P作PM⊥AD于M， ∵∠APM＝90°﹣∠FAP＝30°， ∴AM＝2，， ∵AD＝12， ∴DM＝10， ∴． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/1 8:59:55；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假九年级数学预习 菱形的性质与判定2 第3天 用时：___ 一．菱形的性质与判定2 1．下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝6，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长是（　　） A． B．6 C． D．12 3．如图，点P、Q分别是菱形ABCD的边DC、AB上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 4．如图所示，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连接EF，在移动的过程中，EF的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6．E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为（　　） A．2.4 B．3 C．4.8 D．4 6．下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（　　） A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD 7．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC＝8，BD＝6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在菱形ABCD中，，，DH⊥AB于点H，则DH的长为（　　） A．3 B． C．2 D． 9．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，AB＝13，若点B的坐标为（8，12），点D的坐标为（8，2），则点A的坐标为 　 　 ． 10．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形ABCD，P为CD上一点，连接BP，若四边形ABCD的面积为9，纸条的宽为3，CP＝2，则BP的长是 　 　 ． 11．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为6cm的蓝丝带，若∠BAD＝45°，则重叠部分图形的面积是 　 　 cm2． 12．如图，四边形ABCD为菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是 　 　 ． 13．如图，菱形ABCD的周长为20，面积为24，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE+PF等于 　 　 ． 14．油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶，图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点E、F分别为伞骨AB、AC的中点，伞圈D为伞柄AP上可移动的点，四边形AEDF为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，∠BAC＝120°，当油纸伞缩拢到图②的程度时，∠BAC＝60°，若AE＝18cm，则伞圈D下滑的距离DD1的长度为　 　 cm． 15．如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD． （1）求证：▱ABCD是菱形； （2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 17．如图，在平行四边形ABCD中，分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN，分别与AD，BC，AC相交于点E，F，O．连接AF，CE． （1）根据作图过程，判断EF与AC的位置关系是　 　 ； （2）求证：四边形AFCE是菱形． 18．追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC＝16，BD＝12，求菱形ABCD的高DH． 方法应用 （2）如图2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F，若AF＝3，FC＝5，求DE的长． 19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，BD＝2，求OE的长度． 20．如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若AB＝8，AD＝12，∠ABC＝60°，求线段DP的长． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $