1.2.2 空间中的平面与空间向量（教学课件）——2026-2027学年高二上学期人教B版(2019)选择性必修第一册

这是一份高中数学同步教学课件，为人教B版(2019)选择性必修第一册“1.2.2空间中的平面与空间向量”内容，涵盖平面法向量的概念、性质、求法，三垂线定理及其逆定理，结合实例推导与课堂练习，构建完整学习支架。 资料以问题导入激发思考，通过长方体实例抽象法向量概念，结合“尝试与发现”引导逻辑推理，例题涵盖坐标法证明线面平行、解方程组求法向量等，落实数学抽象与逻辑推理核心素养，帮助学生建立空间观念，为教师提供清晰教学流程与实用案例。高二学生需从平面向空间过渡，本资料助力提升空间想象与推理能力，为立体几何学习奠基。

人教B版(2019)选择性必修第一册 1.2.2 空间中的平面与空间向量 第一章 空间向量与立体几何 1 学习目标 理解平面的法向量，体现数学抽象能力（重点） 掌握三垂线定理及其逆定理，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 我们知道，空间中的直线，根据它的方向向量和一个点，可以描述这条直线的位置，那么，对于空间中的平面，能否引进类似的向量来描述其位置？ 3 新课学习 平面法向量的概念 如果α是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n 的有向线段所在的直线与平面α垂直，则称 n为平面α的一个法向量，此时也称n与平面α垂直，记作n⊥α． 4 新课学习 举个例子： 如图的长方体ABCD-A1B1C1D1中， 5 新课学习 平面法向量的性质： 1.如果直线l垂直于平面α，则直线l的任意一个方向向量都是平面α的一个法向量． 2.如果n是平面α的一个法向量，则对任意的实数λ≠0，空间向量λn也是平面α的一个法向量，且平面α的任意两个法向量都平行． 6 新课学习 尝试与发现：(1)如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，分别探讨n//v与n⊥v时， 直线l与平面α的关系？ C n∥v ⇔ l⊥α； n⊥v ⇔ l∥α，或 l⊂α． 7 新课学习 尝试与发现：(2)如果n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量，分别探讨n1⊥n2与n1∥n2 时，平面α1与平面α2的关系？ C n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2或α1与α2重合． 8 新课学习 例1：已知正方体 ABCD−A1B1C1D1中， M，N分别是A1B与A1C1的中点. 求证：MN//平面ADD1A1. B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(1,1,1)， 又因为M是A1B的中点，所以M的坐标为 9 新课学习 例1：已知正方体 ABCD−A1B1C1D1中， M，N分别是A1B与A1C1的中点. 求证：MN//平面ADD1A1. MN// 平面ADD1A1. 也可以添加辅助线证明 10 新课学习 思考一下：如何求出空间中平面的一个法向量？ 根据直线与平面垂直的判定定理可知：如果A，B，C是平面α内不共线的三点，非零空间向量n满足 则n是平面α的一个法向量，根据这一结论，通过设未知数解方程组，即可得到平面的一个法向量. 11 新课学习 例2：如图所示，已知空间直角坐标系中的三棱锥O−ABC中， O(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)，其中abc≠0，求平面ABC的一个法向量. 由已知可得 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z)，则 令x=bc， 则y=ac，z=ab.因此， n=(bc，ac，ab) 为平面ABC的一个法向量. 12 新课学习 射影的概念 已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影 (也称为投影). 13 新课学习 图形在平面的射影概念 空间中，图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影. 14 新课学习 举个例子： 如图所示，如果△ABC的顶点A在平面α内，B与C都在平面α外，则分别过B与C作α的垂线，设交点分别为B′，C′， 则△AB′C′ 就是△ABC在平面α内的射影. 15 新课学习 尝试与发现：已知AB是平面α 的一条斜线且B为斜足（即AB不垂直于α，且AB∩α=B)，设其中A′是A在平面α内的射影，而 l是平面α内的一条直线，如图所示. 判断下列命题是否成立，并用空间向量证明： (1)当l⊥A′B时， l⊥AB； C 因此l⊥AB. 16 新课学习 尝试与发现：(2)当l⊥AB时，l⊥A′B. C 因此l⊥A′B. 17 新课学习 三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 18 新课学习 例3：如图所示，已知 ABCD-A1B1C1D1是一个正方体，求证：A1D⊥BD1. 连接AD1，如图. 因为ABCD-A1B1C1D1是正方体，所以 AB⊥平面ADD1A1，因此BD1在平面 ADD1A1内的射影为AD1. 又因为ADD1A1是正方形，所以 A1D⊥AD1，因此根据三垂线定理可知 A1D⊥BD1. 19 新课学习 例4：如图所示的三棱锥O−ABC中，CO⊥OA，CO⊥OB，且CD为△CAB的AB边上的高，求证：OD⊥AB. 因为CO⊥OA，CO⊥OB，OA∩OB=O，所以CO⊥平面OAB. 因此CD在平面OAB内的射影为OD，又因为CD⊥AB，所以根据三垂线定理的逆定理可知OD⊥AB. 20 课堂练习 B 21 课堂练习 22 课堂练习 B 23 课堂练习 A 24 课堂练习 25 课堂练习 C 26 课堂练习 27 课堂练习 B 28 课堂练习 29 课堂总结 1.平面的法向量 2.三垂线与三垂线定理 30 谢 谢 观 看 31 是平面ABCD的一个法向量， 也是平面A1B1C1D1的一个法向量； 是平面ADD1A1的一个法向量， 也是平面BCC1B1的一个法向量. 3.如果n为平面α的一个法向量，A为平面α上一个已知的点，则对于平面α上任 意一点B，向量 一定与向量n垂直，即 ，从而可知平面α的位置可 由n和A唯一确定． 即 ，类似地，可得 .因此 . 以A为原点， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 即 ，由图可知MN不在平面ADD1A1内，因此 又因为 平面 ADD1A1，所以 是平面ADD1A1的一个法向量，而且 ，因此 ， ， 将x看成常数，可解得 ， . ， . 不难看出，当A不是平面α内的点时，如果A的射影为A′，则 与 都是平面α的一个法向量. 而且，此时 与 都是平面 的一个法向量. 如果 ，则 ， ，又因为 ，所以 设 ，则由 且 可知 ，即 . 如果 ，则 ， ，又因为 ，所以 1.已知平面 外的直线 的方向向量是 ，平面 的法向量是 ，则l与 的位置关系是( ) A. B. C.l与 相交但不垂直 D. 或 解析：因为 ，所以 ，所以 或 ， 由于 ，所以 .故选：B. 2.已知平面 以 为法向量，且经过坐标原点O和点 ，则 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析：由 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 .故选:B 3.如图，在空间直角坐标系中，有正方体 ，给出下列结论： ①直线 的一个方向向量为 ； ②直线 的一个方向向量为 ； ③平面 的一个法向量为 ； ④平面 的一个法向量为 . 其中正确的个数为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 4.若平面 ，且平面 的一个法向量为 ，则平面 的法向量可以是( ) A. B. C. D. 解析：A， ，错误. B， ，错误. C， ，正确. D， ，错误. 故选：C 5.点 ，平面 的一个法向量为( ) A. B. C. D. 解析：设平面 的一个法向量 ， ， 则 ，不妨取 ，则 ， ，即平面 的一个法向量为 ．故选：B． $