精品解析：2026年内蒙古自治区中考真题数学试题

2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列由字母A与B的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：B，C，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2. 小明买了袋标准质量为克的食品，他对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 其中最重的是（ ） A. 第一袋 B. 第二袋 C. 第三袋 D. 第四袋 【答案】A 【解析】 【分析】四袋食品标准质量相同，实际质量等于标准质量加上检测结果，因此只需比较检测结果的大小，检测结果越大则实际质量越重． 【详解】解：四袋食品标准质量均为克，实际质量 检测结果， 检测结果越大，实际质量越重。 比较各袋检测结果可得 ， 第一袋检测结果最大，实际质量最重． 3. 如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点在格点上，若将该图形向上平移3个单位长度，则该图形上点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系确定点的坐标，再根据点的平移规律“上加下减”进行计算即可． 【详解】解：由图可知，点的坐标为， 将该图形向上平移3个单位长度， 点的横坐标不变，纵坐标加3， 对应点的坐标为， 即． 4. 如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点和其中一端点分别在两条平行直线和上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图，设曲尺左侧边与直线的夹角为， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， 曲尺的直角顶点为， ， ． 5. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 6. 已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定与的函数关系为反比例函数，求出常数的值，再根据反比例函数图象的性质及图象上点的坐标进行判断即可． 【详解】，且为定值 是的反比例函数，且，图象位于第一象限 排除选项A、B 将，代入 得 函数解析式为 对于C选项，当时，，图象经过点，符合题意 对于D选项，当时，，不符合题意． 7. 阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（ ） A. 种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B. 种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C. 种植1棵梭梭，一定不能成活 D. 种植1棵梭梭，不一定能成活 【答案】D 【解析】 【分析】考查概率的意义．概率表示事件发生的可能性大小，不代表确定性结果．成活率意味着成活的可能性很大，但具体到每一次种植，结果是不确定的． 【详解】解：成活率表示在大量重复试验中，成活的可能性为，属于随机事件，并非必然事件或不可能事件 ．种植棵梭梭，不一定有棵成活，故A错误； 种植棵梭梭，成活数量不确定，故B错误； 种植棵梭梭，可能成活也可能不成活，故C错误，D正确． 8. 矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式： 其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算三个图形中不同部分的面积，利用面积相等建立等式，即可判断对应的代数恒等式是否成立． 【详解】解：对于第1组图形：大矩形的长为，宽为，面积为；它由三个小矩形组成，面积分别为、、； ，故第1个恒等式正确； 对于第2组图形：左上角正方形的边长为，面积为；大正方形的面积为，减去两个长为、宽为的矩形面积，由于右下角边长为的小正方形被减了两次，需加回； ，故第2个恒等式正确； 对于第3组图形：大正方形面积为，左下角小正方形面积为，剩余部分面积为；剩余部分可分割为两个矩形，一个长为、宽为，另一个长为、宽为，面积和为； ，故第3个恒等式正确； 综上所述，能正确说明代数恒等式的有3个． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 化简：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查同分母分式的化简，利用同分母分式减法法则，分母不变，分子相减，再约分即可得到结果． 【详解】解∶原式． 10. 如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O，由三线合一得，． 由折叠的性质可知，，，，，可得，由平行线分线段成比例求出，再根据三角形中位线的性质求出即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O， 是等边三角形，边长为 ， 点是边的中点 ，． 由折叠的性质可知，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 11. 对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②##②① 【解析】 【分析】对三个结论逐一验证判断，①将点的横坐标代入函数解析式，计算纵坐标验证，②代入的值得到函数解析式，解不等式判断结论，③根据一次函数的增减性与一次项系数的符号关系判断结论． 【详解】解：对于①，将代入，得，所以点在此函数图象上，故①正确． 对于②，当时，函数解析式为，当时，得不等式，移项得，系数化为得，故②正确． 对于③，一次函数的增减性由一次项系数决定，当时，若，则，此时随的增大而增大，只有当即时，才随的增大而减小，故③错误． 故正确的结论是：①②． 12. 如图，在矩形中，，，是它的一条对角线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），分别以点和点为圆心，大于长为半径，在直线的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点，连接，与交于点，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干构造图形，连接，由作图可知垂直平分，根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，根据等面积法计算即可． 【详解】解：如图，连接 由作图可知， 即垂直平分， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算下列各题： （1）对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． （2）已知多项式，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：将，代入得： ． 14. AI技术的广泛应用，为各行各业带来了前所未有的变革．某公司要从A，B两款AI产品中选择一款进行本地部署，聘请五位专家对这两款产品从“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度分别评分（每个维度满分100分）． 其中，五位专家对“信息识别准确度”评分情况为： A款产品：73，70，70，75，77； B款产品：70，69，70，75，76． 对每款产品每个维度评分的平均值作为该维度的得分，整理得到下表： 产品 维度及得分 信息处理速度 信息识别准确度 功能丰富程度 A 78 73 86 B 82 72 85 请根据以上信息，解答下列问题： （1）请写出五位专家对A，B两款产品的“信息识别准确度”评分的众数和中位数，并以此判断哪款产品的信息识别准确度更高； （2）如果公司将“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度的得分按的比例计算两款产品的加权平均数作为最终得分．请你以此为依据为公司选择产品提出合理建议，并说明理由． 【答案】（1）A款评分的众数为，中位数为；B款评分的众数为，中位数为；A款产品的信息识别准确度更高； （2）建议公司选择B款产品． 【解析】 【分析】（1）先对A、B两款产品的评分从小到大排序，根据众数和中位数的定义得到对应结果，再比较即可判断哪款产品的信息识别准确度更高； （2）根据给定的权重比计算两款产品的加权平均分，比较得分大小后即可给出合理的选择建议． 【小问1详解】 解：将A款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：，，，，， 因为数据中出现次数最多， 因此A款评分的众数为， 共个数据，排在中间的是第个数据，为， 因此A款评分的中位数为； 将B款产品“信息识别准确度”的评分从小到大排序为：，，，，， 因为数据中出现次数最多， 因此B款评分的众数为， 共个数据，排在中间的是第个数据，为， 因此B款评分的中位数为； 所以两款的众数相同，A款评分的中位数和高于B款， 因此A款产品的信息识别准确度更高； 【小问2详解】 解：根据权重比计算两款产品的最终得分： A产品最终得分：， B产品最终得分：， ∵，B产品的最终得分更高， ∴建议公司选择B款产品． 15. 某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75千克和65千克．（不考虑空间因素） （1）现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由； （2）若该超市购进大量A，B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克．为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？ 【答案】（1）至少需要4次，理由如下： 设至少需要次，由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴取 答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4次； （2）共有2种满载搭配方案：方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；方案二：A种货物7箱，B种货物2箱 【解析】 【分析】（1）设至少需要次，根据“次搬运的货物总质量大于等于货物总质量” 建立不等式求解即可； （2）设搬运A种货物箱，B种货物箱，（为非负整数），根据题意建立二元一次方程，然后求其非负整数解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设搬运A种货物箱，B种货物箱，（为非负整数） 由题意得， 化简得： 解得或 因此共有2种满载搭配方案：方案一：A种货物3箱，B种货物7箱；方案二：A种货物7箱，B种货物2箱． 16. 已知是的内接三角形，半径与边相交于点． （1）如图1，连接，若，，求的度数； （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接． ①若，求证：； ②在①的条件下，若，试判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）； （2）①证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②，理由如下： ∵， ∴， 设， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理和三角形的外角性质求解即可； （2）①连接，利用圆周角定理结合等边对等角，得到，再证明，可推出，即可得到； ②设，求得，即可得到． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②略 17. 综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为．顶点E，F分别在正方形的，边上，如图1．现将绕点A按逆时针方向旋转角，其中，得到，连接，，如图2． （1）初步探究：猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （2）深入探究：在绕点A按逆时针方向旋转过程中，当与互相垂直时，交边于点M，交边于点N，如图3． ①求证； ②求与面积的比值． 【答案】（1），理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴由旋转可得， ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①证明：∵， ∴ 由（1）可得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； ② 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）①证明，再由平行线分线段成比例定理求解即可； ②过点作交的延长线于点，先求出，然后证明，求出，再由，得到，再由共高三角形面积比等于底之比求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②过点作交的延长线于点， 由题意得，， ∵ ∴ ∵正方形中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 即与面积的比值为． 18. 综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … （1）任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； （2）任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）连接，可得，然后求出，再解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴设过点，，的抛物线的表达式为 代入点得，，解得 ∴过点，，的抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：连接，由题意可得，，，共线， ∵ ∴， ∴将代入，则 ∴， 在中，， ∴ ∴ 答：矩形另一边的长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年内蒙古自治区初中学业水平考试 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列由字母A与B的创意图形结合产生的图形中，为轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明买了袋标准质量为克的食品，他对这袋食品的实际质量进行了检测，检测结果如下（用正数记超过标准质量的克数，用负数记不足标准质量的克数）： 第一袋 第二袋 第三袋 第四袋 其中最重的是（ ） A. 第一袋 B. 第二袋 C. 第三袋 D. 第四袋 3. 如图，在平面直角坐标系中有一个“心形”图形，“心形”图形上的点在格点上，若将该图形向上平移3个单位长度，则该图形上点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，木工常用的直角曲尺的直角顶点和其中一端点分别在两条平行直线和上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 18 6. 已知压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）之间的函数关系式为．当时，，则压强关于受力面积的函数图象正确的是（） A. B. C. D. 7. 阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）万亩，成活率已经达到．下列说法正确的是（ ） A. 种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B. 种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C. 种植1棵梭梭，一定不能成活 D. 种植1棵梭梭，不一定能成活 8. 矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式： 其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 化简：____________． 10. 如图，等边三角形纸片的边长为10，点，分别为，边上的点．将沿折叠，若点恰好落在该纸片边的中点处，则四边形的周长是____________． 11. 对于一次函数（是常数，且），下列结论： ①点在此函数图象上； ②当且时，； ③当时，随的增大而减小． 其中正确的结论是____________．（填写所有正确结论的序号） 12. 如图，在矩形中，，，是它的一条对角线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点（异于点），分别以点和点为圆心，大于长为半径，在直线的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点，连接，与交于点，则的长为____________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算下列各题： （1）对实数，定义一种新运算“”：，其中，等式右边是实数运算．计算：． （2）已知多项式，，求． 14. AI技术的广泛应用，为各行各业带来了前所未有的变革．某公司要从A，B两款AI产品中选择一款进行本地部署，聘请五位专家对这两款产品从“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度分别评分（每个维度满分100分）． 其中，五位专家对“信息识别准确度”评分情况为： A款产品：73，70，70，75，77； B款产品：70，69，70，75，76． 对每款产品每个维度评分的平均值作为该维度的得分，整理得到下表： 产品 维度及得分 信息处理速度 信息识别准确度 功能丰富程度 A 78 73 86 B 82 72 85 请根据以上信息，解答下列问题： （1）请写出五位专家对A，B两款产品的“信息识别准确度”评分的众数和中位数，并以此判断哪款产品的信息识别准确度更高； （2）如果公司将“信息处理速度”“信息识别准确度”“功能丰富程度”三个维度的得分按的比例计算两款产品的加权平均数作为最终得分．请你以此为依据为公司选择产品提出合理建议，并说明理由． 15. 某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000千克，甲、乙两位搬运师傅用这部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75千克和65千克．（不考虑空间因素） （1）现有一批货物质量共3000千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由； （2）若该超市购进大量A，B两种货物，A种货物每箱的质量为100千克，B种货物每箱的质量为80千克．为了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？ 16. 已知是的内接三角形，半径与边相交于点． （1）如图1，连接，若，，求的度数； （2）如图2，点是线段延长线上一点，连接． ①若，求证：； ②在①的条件下，若，试判断线段与线段的位置关系，并说明理由． 17. 综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为．顶点E，F分别在正方形的，边上，如图1．现将绕点A按逆时针方向旋转角，其中，得到，连接，，如图2． （1）初步探究：猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； （2）深入探究：在绕点A按逆时针方向旋转过程中，当与互相垂直时，交边于点M，交边于点N，如图3． ①求证； ②求与面积的比值． 18. 综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目 名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题 情境 如图是某学校操场上坐南朝北的主席台，由地台（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集 信息 查找图纸：立柱，，两根立柱与之间的距离．点是过点，的抛物线的最高点，地台高，立柱到地台前边缘的距离． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶点的影子落在操场上的点处，测得影长． 抽象 模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点，，，，，，，，，在同一竖直平面内；点，，，在同一竖直方向上，点，，在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”小组以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立的平面直角坐标系． … … （1）任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点，，的抛物线的函数表达式； （2）任务二：请你求出矩形另一边的长度． （参考数据：，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $