1.2.3 直线与平面的夹角（教学课件）——2026-2027学年高二上学期人教B版(2019)选择性必修第一册

这是一份高中数学同步教学课件，共33页，围绕“直线与平面的夹角”展开，涵盖概念定义、空间向量与几何推理两种求解方法、课堂练习及总结，为学生构建完整学习支架。 资料注重核心素养培养，以握笔写字、地球仪地轴等生活实例导入，通过“尝试与发现”引导探究，对比空间向量法（代数化降低难度）与几何推理法（直观简洁），提升逻辑推理与数学表达能力，帮助学生扎实掌握，也为教师教学提供清晰思路。

人教B版(2019)选择性必修第一册 1.2.3 直线与平面的夹角 第一章 空间向量与立体几何 1 学习目标 理解直线方向向量和平面法向量的夹角与线面角的关系，体现逻辑推理能力（重点） 会利用空间向量求直线与平面的夹角，体现逻辑推理能力（重难点） 2 新课导入 日常生活中，很多场景中都有直线与平面成一定角度的形象．例如，如图(1)所示，握笔写字时，如果把笔抽象成直线，把纸抽象成平面，则直线与平面成一定角度；如图(2)所示，地球仪的地轴（即旋转轴）与赤道所在的平面垂直，并且与水平桌面成一定角度．那么，怎样来刻画直线与平面所成的角呢？ 3 新课学习 如果一条直线与一个平面垂直，则称这条直线与这个平面所成的角为 90°；如果一条直线与一个平面平行，或直线在平面内，则称这条直线与这个平面所成的角为 0°． 4 新课学习 尝试与发现：如图所示，设l是平面α的一条斜线，m是平面α内的任意一条直线. 能否将m与l所成的角定义为直线l与平面α所成的角？如果不能，该怎样规定直线l与平面α所成的角？ 图中，当m的位置不同时，m与l所成角的大小可能也不同，因此不能将其定义为直线l与平面α所成的角. 5 新课学习 斜线与平面所成的角的概念 平面的一条斜线在平面内的射影是唯一确定的，因此，平面的斜线与它在平面内的射影所成的角，称为这条斜线与平面所成的角． 6 新课学习 举个例子： 如图所示，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A′B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA′ 就是直线AB与平面α所成的角. 7 新课学习 尝试与发现：如图所示，设AO是平面α的一条斜线段，O为斜足，A′为 A在平面α内的射影，而OM是平面α内的一条射线，A′M⊥OM. 记∠AOA′=θ1，∠A′OM=θ2，∠AOM=θ. (1)从直观上判断θ1与θ的大小关系； (2)说明AM⊥OM是否成立，探究θ1，θ2，θ三者之间的等量关系. 如图所示，注意到AA′⊥α，所以△AA′O，△AA′M都是直角三角形，而且A′M是AM在平面α内的射影. 因此，根据A′M⊥OM 与三垂线定理可知AM⊥OM，所以 △AMO也是直角三角形. 8 新课学习 如果设OA=1，则在Rt△AA′O中 OA′=OAcos θ1=cos θ1， 因此在Rt△OMA′ 中， OM=OA′cos θ2=cos θ1cos θ2； 另一方面，在 Rt△AMO中，有 OM=OAcos θ=cos θ . 因此 cos θ=cos θ1cos θ2. 一般地，因为 0≤cos θ2≤1，所以由上式可知 cos θ≤cos θ1，因为θ1和θ都是锐角，所以可得θ1≤θ. 这就是说，平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 9 新课学习 直线与平面所成的角 空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称为它们的夹角． 10 新课学习 例1：如图所示，已知∠BAC在平面α内，过该角的顶点A引平面α的斜线AP，且使∠PAB=∠PAC，求证：斜线AP在平面α内的射影平分∠BAC. 设点P在平面α内的射影为点M，则AM为AP在平面α内的射影. 根据前面的结论有 cos∠PAB=cos∠PAMcos∠BAM， cos∠PAC=cos∠PAMcos∠CAM， 由∠PAB=∠PAC可得，cos∠BAM=cos∠CAM， 因此∠BAM=∠CAM，即AM平分∠BAC. 11 新课学习 尝试与发现：如图所示，P是平面α外一点，P 在平面α内的射影为P′. 过P 作平面α的斜线段PA1，PA2，且A1，A2均为斜足，设PA1，PA2与平面α所成角分别为θ1，θ2 试判断PA1=PA2是θ1=θ2的什么条件，P′A1=P′A2是 θ1=θ2的什么条件. 注意到PP′⊥α，所以△PP′A1与△PP′A2都是直角三角形，从而PP′=PA1sin θ1=PA2sin θ2， 再根据θ1，θ2都是锐角可知PA1=PA2是θ1=θ2的充要条件； 类似地，因为PP′=P′A1tan θ1=P′A2tan θ2，所以P′A1=P′A2也是θ1=θ2的充要条件. 12 新课学习 上面的结果可以总结为：经过平面外同一点所作的平面的多条斜线中，斜线段长、射影长及斜线与平面所成的角，只要有一个相等，则另外两个也对应相等． 思考一下：从上面的结果你可以得到什么结论？ 从上面的还可以看出，当线段AB所在的直线与平面α所成的角为θ，且AB在平面α内的射线为A′B′时，有 A′B′=ABcos θ 13 新课学习 尝试与发现：如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，通过作图讨论θ与〈v，n〉的关系. 如图(1)(2)所示，可以看出 特别地， cos θ=sin〈v，n〉或 sin θ=|cos〈v，n〉|． 14 新课学习 例2：已知 ABCD−A′B′C′D′ 是正方体，求B′D′与平面A′BCD′ 所成角的大小. 方法一： A′(1,0,1)，B(1,1,0)，D′(0,0,1)，B′(1,1,1)， 设平面A′BCD′的一个法向量为n=(x,y,z)，则 15 新课学习 例2：已知 ABCD−A′B′C′D′ 是正方体，求B′D′与平面A′BCD′ 所成角的大小. 方法一： 取z=1，可得n=(0,1,1)， 又因为 从而可知B′D′与平面A′BCD′所成角的大小为 利用空间向量的方法 16 新课学习 例2：已知ABCD−A′B′C′D′是正方体，求B′D′与平面A′BCD′所成角的大小. 设A′B的中点为E，连接B′E，D′E，如图所示. 方法二： 因为ABB′A′是正方形，所以B′E⊥A′B. 又因为D′A′⊥平面ABB′A′，且B′E⊂平面ABB′A′，所以D′A′⊥B′E. 再根据D′A′∩A′B=A′可知B′E⊥平面A′BCD′. 因此，B′D′在平面A′BCD′内的射影为D′E，所以∠B′D′E就是B′D′与平面A′BCD′所成角. 因为正方体中有B′D′=2B′E，所以在Rt△B′ED′中，sin∠B′D′E= ，又因为∠B′D′E是一个锐角，所以∠B′D′E= ， 即B′D′与平面A′BCD′ 所成角的大小为 . 利用直线与平面所成角的定义 17 新课学习 拓展：用空间向量法解答的基本步骤： 1.建系，写出相关点的坐标. 2.求直线方向向量a及平面法向量n. 3.利用向量的夹角公式求出向量夹角的三角函数值. 4.结合图形(角的关系)及三角函数值关系确定角的值，并写出结论. 18 新课学习 拓展：用几何推理法解答的基本步骤： 1.找到(或作出)斜线(斜线段)上一点到平面的垂线(或垂线段)，并证明. 2.找到(或作出)斜线(斜线段)在平面内的射影，并确定线面角. 3.根据题目条件解直角三角形，经计算(或推理)得到角的值. 4.写出结论. 19 新课学习 拓展：空间向量法与几何推理法的比较： 空间向量法 几何推理法 优点 缺点 ①不用做图； ②几何问题代数化，难度降低； ③有固定的相应公式，可直接代入计算； 计算量小，不易出现计算失误 画图困难或不正确 计算量大，计算容易失误 20 课堂练习 B 21 课堂练习 22 课堂练习 A 23 课堂练习 24 课堂练习 A 25 课堂练习 26 课堂练习 D 27 课堂练习 28 课堂练习 D 29 课堂练习 30 课堂练习 31 课堂总结 1.斜线与平面所成的概念 2.直线与平面所成角的概念 32 谢 谢 观 看 33 或 以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴、 y轴、z轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系. 则 所以 ， ， . . 所以 ， 1.已知直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，若l与 所成角的正弦值为 ，则 ( ) A. B. C.2 D.4 2.在正三棱柱 中， ，P为 的中点，则直线 与平面 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 解析：如图，过点A作平面 的垂线为x轴，以 ， 为y轴和z轴，作空间直角坐标系.则平面 的一个法向量为 ，设正三棱柱 中， ，则 ， ，所以 ，所以 ，所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .故选：A. 3.若直线l的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，则l与 所成角的大小为( ) A. B. C. 或 D. 或 解析：设直线l与平面 所成角为 ，因为直线l的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，所以 .所以 ，即直线l与平面 所成角为 .故选：A. 4.在直三棱柱 中， ， ， ，E为 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 5.如图，在正方体 中，点P在线段 上，若直线DP与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. $