1.2 有理数的概念和数轴（知识梳理+达标检测）-2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》（人教版）

本初中数学讲义聚焦有理数的概念与数轴核心知识点，系统梳理整数、分数及有理数的定义，明确有理数分类标准，构建从数的概念到分类的认知基础，进而引入数轴三要素及画法，建立有理数与数轴上点的对应关系，形成递进式学习支架。 资料通过生活化问题（如“0添加”中0的意义）培养应用意识，结合圆滚动数轴问题发展几何直观，解答题联系教室实际提升抽象能力。课中辅助教师授课，课后助力学生通过分层检测查漏补缺，强化知识理解与应用。

2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 有理数的概念和数轴（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的有关概念 1、整数：正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2,0，1,2，3等。 2、分数：正分数、负分数统称为分数，如、、等。 3、有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。 4、部分常用的数。 知识点二有理数的分类 知识点三数轴 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 2、画数轴的步骤。 知识点四数轴上的点与有理数的关系 1、有理数可以用数轴上的点表示，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是个单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度。 一、选择题 1．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 【答案】C 【分析】根据既是正数又是有理数的定义即可判断． 【解答】解：A、 是负数，故选项不符合题意； B、 不是有理数，故选项不符合题意； C、54是正有理数，故选项符合题意； D、可能是正数、负数或0，故选项不符合题意； 2．某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 【答案】C 【解答】解：不同场景中0有不同含义： A选项，测量时刻度尺的0刻度表示起点，不符合题意； B选项，多位数中的0起到占位作用，不符合题意； C选项，“0添加”指没有添加额外成分，这里0表示“没有”，符合题意； D选项，0是正负数的分界，如温度中的表示分界，不符合题意． 3．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】非负整数指大于或等于0的整数，只需逐个判断给出的数，统计符合条件的个数即可． 【解答】解：是负整数，不符合；是分数，不是整数，不符合；是大于等于的整数，符合；是负小数，不符合；是负分数，不符合；是大于的整数，符合； ∴ 符合条件的非负整数共有个． 4．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：数轴的三要素是：原点、单位长度和正方向．A选项的图中符合所有条件，是数轴； B选项图中没有原点， C选项图中单位长度不一样长， D选项图中原点左边数据标错，则B、C、D三个选项图中均不是数轴． 5．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【解答】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 二、填空题 6．把下列各数填到相应的集合中；，，，，，0，6，，则阴影部分应该填入的数为__________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的分类，根据图形可得，阴影部分表示负数但不是整数，进而可得答案． 【解答】解：根据图形，阴影部分应填入的数为， 故答案为：． 7．如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【答案】左 【解答】解：∵， ∴表示的点在A点的左边． 8．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    【答案】3 【分析】先由数轴上两点间距离公式可得，即，易得点 B 表示的数为 2，最后再运用数轴上两点间距离公式求解即可． 【解答】解：∵ 点O，A，C表示的数分别为0，，5， ∴， ∵， ∴， 由图可知点 B 在原点 O 的右侧 ， ∴ 点 B 表示的数为 2， ∵ 点 C 表示的数为 5， ∴． 9．如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 【答案】0.6/ 【分析】本题主要考查了实数与数轴．求出在数轴上点B和点C的距离，这个距离等于点C和点B表示的两数之间的距离，点B表示，则点C表示的数即可求出． 【解答】解：∵数轴上点B和点C对应刻度尺上的数分别为1.8，5.4，且数轴的单位长度是， ∴点B和点C的距离为， ∴当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为， 故答案为：0.6． 10．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【解答】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得（舍去负值）； ②若为奇数，则，即，解得（舍去负值）． 故答案为：或． 三、解答题 11．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． （1）在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ （2）你能将这些数字进行分类吗？ （3）在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【分析】本题主要考查了数字的分类（计数、测量、标号与排序）、整数与分数的概念，以及数在实际生活中的应用，熟练掌握数字的分类方法和整数、分数的定义是解题的关键． （1）先从题干描述中逐一提取出现的所有数字，再根据计数、测量、标号与排序的定义，对每个数字的用途进行判断和归类． （2）依据整数和分数的数学定义，对提取出的所有数字进行整数与分数的划分． （3）结合实际生活中的具体数学问题，举例说明仅用整数和分数无法满足需求，从而论证数系需要扩展． 【解答】（1）解：老师刚才描述中出现了：、、、、、、， 计数的有50，测量的有、、、、13岁、，没有属于标号与排序的数字； （2）解：按整数和分数分类：整数有、、、，分数有、、． （3）解：仅有整数和分数不够用，例如求圆的周长和面积时，发现圆周率但圆周率的值并不能由两个整数相除而得；又如求边长为的正方形对角线长时，求得的也不是整数和分数． 12．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 【答案】解：在数轴上表示各数如图， 用“＜”号连接：， 【解答】略 13．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【解答】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 14．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． （1）当点P返回到点B时，求t的值； （2）当时，求点P表示的数； （3）当点P表示的数是时，求t的值． 【答案】（1） （2）0 （3）t的值为3或 【分析】本题考查两点之间的距离，用点表示数轴上的数，分情况讨论是解题的关键； （1）先求出之间的距离，再分别计算点P到达A点和返回时用的时间，相加即可； （2）根据P到达A点时用的时间确定路径，再计算所走路程，即可解答； （3）分两种情况计算即可． 【解答】（1）解：由题意得，， ∵点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动， ∴（秒），故点P到达A点时用的时间为秒； ∵当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动， ∴， 故当点P返回到点B时，； （2）解：∵P到达A点时用的时间为（秒）， 当时，，即时，点P从A点返回； ； ∴当时，点P表示的有理数是：； （3）解：当点P第一次到达时，， 当点P运动到点A，然后向右运动到时， ， 综上所述，t的值为3或． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年七年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.2 有理数的概念和数轴（知识梳理+达标检测） 知识点一有理数的有关概念 1、整数：正整数、0、负整数统称为整数，如-3，-2,0，1,2，3等。 2、分数：正分数、负分数统称为分数，如、、等。 3、有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。 4、部分常用的数。 知识点二有理数的分类 知识点三数轴 1、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 2、画数轴的步骤。 知识点四数轴上的点与有理数的关系 1、有理数可以用数轴上的点表示，一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是个单位长度；表示数-a的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是a个单位长度。 一、选择题 1．下列属于正有理数的是（     ） A． B． C．54 D． 2．某种食品的广告词之一是“0添加”，这里的0可以（     ） A．表示“起点” B．用来“占位” C．表示“没有” D．表示“分界” 3．在，，，，，中，非负整数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．下列图形中是数轴的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．把下列各数填到相应的集合中；，，，，，0，6，，则阴影部分应该填入的数为__________． 7．如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 8．如图，点O，A，B，C在同一条数轴上，其中点O，A，C表示的数分别为0，，5且，则________．    9．如图，点､､是数轴上排列的三个点（数轴的单位长度是），对应刻度尺上的数分别､和，移动刻度尺，当点在数轴上表示的数为时，数轴上点所对应的数为_______． 10．如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 三、解答题 11．读完下面这段话，回答问题 我们的教室长，宽，讲台长，宽，我们班有人，占全年级人数的，多数同学都是岁． （1）在老师刚才描述中出现了哪些数字？哪些属于计数和测量？哪些属于标号与排序？ （2）你能将这些数字进行分类吗？ （3）在实际生活中仅有整数和分数够用吗？请你举例说明． 12．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，，0，2，4， 13．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 14．如图，数轴上点A表示的有理数为，点B表示的有理数为9，点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度在数轴上向左运动，当点P到达点A后立即返回，再以每秒2个单位长度的速度向右运动，回到点B后停止运动．设点P运动的时间为． （1）当点P返回到点B时，求t的值； （2）当时，求点P表示的数； （3）当点P表示的数是时，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $