精品解析：辽宁大连市某校2025-2026学年高一下学期4月学情诊断数学试卷

2025-2026学年度下学期4月学情反馈 高一年级数学试卷 时间：90分 分值：100分 一．单选题（每题4分） 1. 已知集合第一象限角锐角小于90°的角，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知sin α=2cos α，则sin αcos α=（ ） A. - B. - C. D. 3. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 5. 为锐角三角形是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 7. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在上的最大值与最小值的和为（ ） A. -2 B. 2 C. 4 D. 6 二． 多选题（每题6分） 9. 下列选项中，正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称． B. 函数是最小正周期为的周期函数． C. 设是第二象限角，则且 D. 函数的最小值为 10. 古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一、如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则正确的是（ ） A. B. C. 当秒时， D. 此水斗从A点出发，工作2000秒后P点在最高点 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 三．填空题（每题4分） 12. ___________． 13. 已知函数（），对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为____________． 14. 已知，若对任意实数恒成立，则实数应满足的条件是__________. 四．解答题（共38分） 15. 已知. （1）化简，并写出使有意义的实数的集合； （2）求函数的周期及满足的实数的集合. 16. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期4月学情反馈 高一年级数学试卷 时间：90分 分值：100分 一．单选题（每题4分） 1. 已知集合第一象限角锐角小于90°的角，则下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出三个集合的范围，进而结合特殊角度判断ABC，根据判断D. 【详解】由题知第一象限角， 锐角，小于90°的角 对于A，三个集合的范围完全不同，故错误； 对于B，，故错误； 对于C，，，但，故错误； 对于D，，故正确. 故选：D 2. 已知sin α=2cos α，则sin αcos α=（ ） A. - B. - C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由sin α=2cos α得tan α=2，原式化为，代入即可得结果. 【详解】由sin α=2cos α得tan α=2， 所以sin αcos α= 故选： 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题. 3. 若函数为偶函数，则取得最小值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 4. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，可证，，得结论. 【详解】先证明：当时，. 如图，角终边为OP，其中点P为角的终边与单位圆的交点，轴，交x轴于点M， A点为单位圆与x轴的正半轴的交点，轴，交角终边于点T， 则有向线段MP为角的正弦线，有向线段AT为角的正切线， 设弧长， 由图形可知：，即， 所以，即. 则，所以． 而，所以， 所以. 故选：D． 5. 为锐角三角形是的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为是锐角三角形，所以，且， 所以，其中， 因为在上单调递增， 所以，所以充分性成立； 若，不妨设，满足， 但为直角三角形，故必要性不成立. 6. 已知，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】两边平方得到，结合得到，再利用三角函数正弦和角公式得到，确定，，得到答案. 【详解】两边平方得， 故， 因为，所以，故，则， 又，其中， ，， 故，故，，是第三象限角. 故选：C 7. 数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据莱洛三角形的周长求出构成它的等边三角形的边长，再通过三个扇形面积减去两个等边三角形面积得到其面积. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， 则等边三角形的边长，分别以点A、B、C为圆心， 圆弧AB、BC、AC所对的扇形面积均为，等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是. 故选：C 8. 函数在上的最大值与最小值的和为（ ） A. -2 B. 2 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】将函数左移一个单位，即，，根据解析式可判断，即函数关于对称，即可求解. 【详解】将函数左移一个单位，得，， 则， 所以函数关于对称，故最大值与最小值也关于对称，其和为6， 故选：D 二． 多选题（每题6分） 9. 下列选项中，正确的有（ ） A. 函数的图象关于点对称． B. 函数是最小正周期为的周期函数． C. 设是第二象限角，则且 D. 函数的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正切函数的对称性判断A；数形结合判断B；分类讨论所在象限，结合函数值的正负、大小关系判断C；将化为二次函数形式，结合二次函数性质判断D. 【详解】对于A，根据正切函数的性质可知，函数的图象关于点对称，故A正确. 对于B，由函数的图象可知，该函数不是周期函数，故B错误.. 对于C，设是第二象限角即，则，， 当k为偶数，是第一象限角，且，且成立； 当k为奇数时，是第三象限角，且与选项矛盾，故C错误. 对于D，函数， 又，则当时，函数有最小值，故D正确. 故选：AD 10. 古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类改造自然的成果之一、如图是一个半径为的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的直线为轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足，则正确的是（ ） A. B. C. 当秒时， D. 此水斗从A点出发，工作2000秒后P点在最高点 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，先求得函数解析式，进而求解判断各选项即可. 【详解】由题意知，，所以， 把点对应的代入， 得，则， 又，所以，则，故A错误，B正确； 当时，， 当时，点的横坐标为，即， 则，故C正确； 当时，，故D正确. 故选：BCD 11. 已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 不等式的解集为 D. 将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上不单调 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，先通过图象算出周期，从而确定的值，再根据图象的最高点确定的值，从而得到解析式；B选项，将代入解析式，即可计算函数值；C选项，通过正弦函数的取值范围即可推导不等式的解集；D选项，平移后得到新的函数，当时，，包含正弦函数的极值点，即可判断出不单调. 【详解】对于A：由图象可知，，所以， 因为图象过，所以，又，所以， 所以，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：令，则， 所以，解得：， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D：将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象， 当时，，该区间包含（正弦函数的极值点）， 所以函数在区间上不单调，故D正确. 三．填空题（每题4分） 12. ___________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用反三角函数的概念与性质结合特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】令， 所以由反三角函数的定义可得，， 所以，， 故答案为： 13. 已知函数（），对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦型函数的性质和题目给出的条件，运用最小正周期与的关系，对称轴及单调性的特点求解. 【详解】因为，所以函数的图象关于直线对称， 所以，即，， 解得，， ， ，， 因为在区间上单调， 所以，解得． 经检验，当时，，当时，均满足题意． 故答案为：或. 14. 已知，若对任意实数恒成立，则实数应满足的条件是__________. 【答案】 【解析】 【分析】不等式变形为令，即上式变形为关于的一元二次不等式，对应的二次函数为，根据题意，若满足时不等式恒成立，则需时，恒成立，分类讨论，当或或时，判断函数单调性，解不等式，求解即可. 【详解】 . 设，. 由题意可知，时，恒成立. 当对称轴时在上单调递减， 则，即 当对称轴时， 解得即 当对称轴时在上单调递增， 则，即 综上所述： 故答案为： 【点睛】本题考查一元二次不等式恒成立问题，同时也考查同角三角函数基本关系，属于难题. 四．解答题（共38分） 15. 已知. （1）化简，并写出使有意义的实数的集合； （2）求函数的周期及满足的实数的集合. 【答案】（1）， （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式化简原函数，结合正弦函数和余弦函数的性质求解集合即可. （2）利用正切函数的性质求解周期，再求出取值集合即可. 【小问1详解】 由题意得， 化简得， 由可得且，故集合为. 【小问2详解】 因为函数， 所以由正切函数性质得可得其周期为， 由（1）可知即：， 故，即，， 得到，， 故不等式的解集为：. 16. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． 【小问2详解】 ， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． 【小问3详解】 ，设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 17. 已知函数的最小正周期为. （1）求函数在区间上的单调递增区间； （2）已知函数的最小值为1； ①求的值； ②若，使得，求实数m的取值范围. 【答案】（1）函数单调递增区间为，. （2）① ② 【解析】 【分析】（1）由周期求得函数解析式，由正弦函数的性质求得函数的单调区间，即可得答案； （2）①令.若由二次函数的最小值点建立方程解得并验证；若得函数最小值；若，再讨论对称轴的范围，从而得到对于情况的最小值，解得；即可求得符合条件的. ②由①中结论求得和在对应区间的范围，讨论，，时分别求得的范围，由集合的包含关系建立不等式组，解得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由题意可知，∴，即， 令，则， ∴函数单调递增区间为，. 【小问2详解】 ①令，则， 当时，函数开口向下，则或为函数的最小值， 即或， 解得（舍去）或. 当时，，此时最小值为，不合题意舍去. 当时，，不合题意舍去. 当时，函数的对称轴， 当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）； 当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或； ∴. ②由①可知当时，函数， 由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减， ∴时，， 当时，，不合题意舍去， 当时，，由题意得， 即，解得， 当时，，由题意得， 即，解得， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $