陕西西安市高新第一中学2025-2026学年第二学期期末考试高一数学试题

2025-2026学年第二学期期末考试 2028届高一数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.若集合A={0,12,3},B={∈NI0<x≤3)，则A∩B=( A.{1,2} B.{1,2,3} C.{x|0≤x≤3} D.{0,1,2,3} 2.复数=普 -在复平面内对应的点位于（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若x>m是x2-3x+2<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（) A.[1,+o∞) B.(-m,2] C.（-∞， D.[2,oo) 4.已知n,n是两条不同的直线，a,B是两个不同的平面，则下列命题正确的是（) A.若mlln,nca,则m/1a B.若a⊥B,m⊥B,n⊥m,则n⊥a C.若mca,ncB,allB,则ml∥n D.若m⊥a,n⊥B,m⊥n,则a⊥B 5.将函数∫(x)的图象向左平移”个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标扩大到原来的 4倍（纵坐标不变），得到函数y=2smx+的图象，则()的解析式可以为() A.f=2sn+到 B.=n- c.f=2sn4x-） D.f=2sn(4+到 6.面积为S的△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且4V5S=a2+b2-c2,则C=（) A B.牙 c D. 7.已知某班级参与定点投篮比赛的学生共有20名，进球数的平均值和方差分别是4和3.6， 其中男生进球数的平均值和方差分别是5和1.8，女生进球数的平均值为3，则女生进球数的 方差为() A.3.2 B.3.4 C.3.6 D.3.8 8.已知函数f(x),g(x)的定义域均为Z,且g(x)+∫(1-x)=2,(x)-g(x-3)=4.若y=∫(x) 的图象关于直线x=1对称，∫()=1，则() 高一数学试卷第1页，共4页 A.f(x-1)=(x+1)B.g(x)+g(x-2)=2C.g(2)=3D.】 g间=-2028 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知平面向量ā=(2,3)，b=(-4,x),下列说法正确的是（) A.若a15,则x=号 B.若3a+b=(2,10,则x=0 C.若a在b上的投彤向量为b,则x=5 D.若a与5夹角为钝角，则xE(-o,-6U(-6, 10.口袋中装有大小质地完全相同的白球和黑球各2个，从中不放回的依次取出2个球，事 件A=“取出的两球同色”，事件B=“第一次取出的是白球”，事件C=“第二次取出的是白 球”，事件D=“取出的两球不同色”，则（) A.P(a)= B.B与C互斥 C.A与B相互独立 D.A与D互为对立事件 11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中，E为棱CD的 D 中点，动点P在侧面BCC,B内（含边界)运动，则() A.若P为BC的中点，则PEII平面B,D,D B B.过点E,P的平面截正方体所得截面可能为五边形 C.若三棱锥A-PME的体积为，则动点P的轨迹长度为4巨 E 3 8 D.若P为枝CC的中点，则平面P截方体所得截面面织为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.o-}则s2a+周} 13.据《九章算术》中记载，“阳马”是以矩形为底面，一棱与底面垂直的四棱锥.现有一个 “阳马”，PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形，且PA=5,AB=4,BC=3,则这个四棱锥 外接球表面积为 高一数学试卷第2页，共4项页 -ceKend? -x2+6.x-7,x23 14已知（间-oe在+外-1K:<g关于：的方程[V]++m+1=0有6个不相等 的实数根，则实数m的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，且 PA=AB=2. (1)证明：BD⊥平面PAC; (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 16.(15分)在锐角△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√3 acos C-csin A=0. (1)求C: (2)若a=2,求△ABC面积的取值范围. 17.(15分)某工厂抽取了100件 频率组距 电子元件进行检测，测量这些产品 0.025 的一项质量指标值，由测量结果得 0.020 0.015 到如下的频率分布直方图： 0.010 (1)求第一四分位数和中位数： 0.005 (2)现规定：质量指标值小于385 345355365375385395405415425 质量指标值 的电子元件为二等品，质量指标值不小于385的电子元件为一等品.利用分层抽样的方法从 该企业所抽取的100件产品中抽出5个电子元件进行检测. ()求抽出5个电子元件中一等品和二等品分别有多少个： ()从这5个电子元件中随机抽取2个作进一步质量分析，试求这两个电子产品恰好有一个 为一等品的概率。 高一数学试卷第3页，共4页 18.（17分)如图，已知△MBC是边长为4的等边三角形，D,E分别是AB,AC的中点，将△MDE 沿着DE翻折，使点A到点P处，得到四棱锥P-BCED, (1)设平面PDE∩平面PBC=1,证明：1∥平面BCD: (2)当PB⊥PC时，求平面PDE与平面PDB的夹角的正弦值： (3)若点P在平面BCED的射形在四边形BCED的内部，四棱锥P-BCED的体积 求直线AP被四棱锥P-BCED外接球球O截得的弦长L的取值范围. E A 19.（17分)意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那 么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊 的悬链线函数，其函数表达式为g(x)=6oshx=c+e,相应的双曲正弦函数的表达式为 2 f(x)=sinh.x=e*-ex 2 (1)求[g(x)]-[f(x)]的值： 2)令F(刘- g(x ,对任意实数x∈(0，ln2),都有F[g(2x)]+F[2kf(3x-]>0,求实数k的 取值范围： (3)若函数F)= g(x) 在区间m,](m<m)上的值域是[2acm,21c2](aeR),求实数元的取 值范围。 高一数学试卷第4页，共4页 2025-2026学年第二学期期末考试 2028届高一数学试题解析 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B A c D C A B D AD ACD ABD 二、填空题 7 12.25 13.50π 14.（-1,2-22). 三、解答题 15.(1)如图所示，因为四边形ABCD是正方形，所以AC L BD,因为PA⊥平面ABCD,BDC 平面ABCD,所以PA⊥BD,又因为AC⊥BD,ACOPA=A,AC,PAC平面PAC, 所以BDL平面PAC: (6分) （2)由题意容易知道AB,AD,AP两两互相垂直， ZA 故以点A为坐标原点，AB,AD,AP分别为x,》,:轴建立如图所示的空间直角坐标系 由题意PA=AB=2,所以C(2,2,0),P(0,0,2),B(2,0,0),A(0,0,0), 显然平面ABP的法向量可以是m=(O,1,O), PC.m 而P元=(2,2，-2)，故所求为os<P元，m>= 25 263， 即直线PC与平面PAB所成角的正弦值 3 (13分) 16.(1)因为√5 acosC-csin A=0,所以√5 sin AcosC.-sinCsinA=0,因为0<A<π所以sinA≠0， 所以5cosC-sinC=0,anC=snC=5,因为0<C<5, cosC (7分) （2)因为品4品g·所以6-2A2号-月e4+n4. sin A sin A a月1 2(anA+),因为△ABC为锐角三角形， -b= 2 0<A<g 则 Ag所以后4号，m4e 2π ,+oo), -∈(0,3)， 0< 3 tan 4 3 2 tan 4 2,25 所以618C面积的取值范围为(，2同。 (15分) 17.（1)第一四分位数为370，中位数为381： 设第一百分位数为n1,由题知n1∈[365,375)，0.25=0.005×10+0.01×10+0.02×(n1-365), ∴.h1=370 高一数学参考答案 第1页，共4页 设中位数数为n2,由题知n2∈[375,385)，0.5=0.005×10+0.01×10+0.02×10+0.025×(n2-375), ∴.n2=381 (5分) (2)()由频率分布直方图可知， 100个电子元件中，一等品、二等品分别有40个，60个， ÷从一等品电子元件中抽取0x5=2个，从二等品电子元件中抽取0x5=3个 (9分 (i)记抽取的3个二等品电子元件分别为a,b,c,2个一等品电子元件分别为A,B, 从5个样品中抽取2个共有10种情况， 分别为(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(bc,(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(A,B), 恰好有1个电子元件为一等品的情况有6种， 分别为(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B), 这2个电子元件中恰好有1个电子元件为一等品的概率为合-号 (15分) 18.(1)因为AD=DB,AE=EC,所以DEII BC, 又DE在平面PBC,BCc平面PBC,所以DEII平面PBC, 又平面PDE∩平面PBC=I,DEC平面PDE,所以DEIII, 又I平面BCED,DEc平面BCED,所以III平面BCED. (6分) (2)取BC中点N,连AN∩DE=M,则M为DE的中点， 在平面APN内，过M作M⊥AN, 在等边△ABC中，由BN=NC,得AN⊥BC, 又DE∥BC,所以AN⊥DE, 所以AM⊥DE,MP⊥DE,所以DE⊥平面APN, 又MEC平面APN,所以DE⊥ME, 所以M,AN,DE两两垂直，以M为坐标原点， 直线MN,ME,M分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设∠AMP=0(0<0<π)， 则A(-5,0,0,N(5,0,0)E01,0)D0,-1,0)BN5,-2,0,CV5,2,0,P(5cos,05sin0) PB=(3+cos0.-2.-sin 0}PC=(3+3cos0,2,-3sin0) 又P厉⊥P元，则PB-PC=0,所以(5+V5cos9-4+3sin9=0,解得cos0=-} 则m0-写-29，所以停a2） 则亦-525丽=5-10，丽=020， 设平面PDB的一个法向量为n=(xy,), 元DP=5」 则 ,令y=5,得元=15-2)， DB=3x-y=0 试卷第2页，共4页 丽=5+ 2 3+乃 设平面PDE的法向量为乃=(x,,),则 3-0 z,·DE=2y=0 多引5-(2ia.所以6列-器9 3 所以平面PDB与平面PDE夹角的正弦值为 3 (11分) (3)因为点P在平面BCED内的射影在四边形BCED内部， 所以>0，由=一cos0>0,得到0e(经 因为5e-点45，所以5n子xw5-3, 则r-6wiu0=3ma,又re5a, 所以os0=i-sn0c(分》 在等腰梯形BCED中，B=C=于NB=NC=BD=CE=2,则ND=NE=2, 则N为等腰梯形BCED外接圆圆心，设球O的半径为R,球心O(5,0,h), 则R2=0p2=0B2,又B(N5,-2,0,P(-V5cos0,0V3sin0), 则(3+5cos0+(h-5sin0=4+h二，整理得到Vh=1+3cos9 sine 又因为PA=(5cos0-5,0,-v5sin0）Po=(V3cos0+V5,0,h-V5sin8) 3sin20-2 所 L PA.PO V3hsin_+3cos 1 2 PA 6-6cos0 23sin 2 因为-分m0=1-2m号且0传小得到5血g9 2 2 2 3sin29-2 又2 如之令，易y3在区间Q+上单调递增 2 当9尊时9所以吃》则 3 (17分) 19.)-.g-,(-[-[8(+fs(ef (5分) e*-e 得F后上品间的定义规为， (2)F)= 2 222(e24-e2) 任取实数，，且x<,则F()-F()=。西+e西+1C+e+可 高一数学参考答案 第3页，共4页 又：P(对点-2P6,:R闪是g上约帝意，24I小s0 :x<x3,.0<e2西<e2,∴F(x)-F(2)<0,函数F(x)在R上单调递增， .F[g(2x)]>-F[2kf(3x)-],函数F(x)在R上单调递增，F[g(2x]>F[1-2kf(3x], g2>1-2B,即产1-26e,整理得：e-ee+e+-e-e, 2 而xe0h2,=e-e为增函数，u0引， 故e-e>0, e*-e-r e*-e-x 故> 24可-e22+ 令s=+子，u引s=+在0同)上单调选减， 在(5，+∞)上单调递增， 在引上的临城为侵令中图 则其值域为（片0小， k≥0. 所以，实数k的取值范围为[0，+∞). (11分) （3》:F倒=日在区间m,nm<网上的值域是[2ae,2e]2eR) g(x) 由上知P-引在R上单调递增， F间--2ae e2m+1 2"-1-2e2n ，整理得 F(n)= 2"+1 2(e2m+(2-)e2m+1=0 22(e2"+(2-)e2+1=0 则e2m,e2"是关于v的方程2w2+(21-1)v+1=0的两个不等正根， △=(21-1)2-81>0 22-1>0 42 ，解不等式组得：1e0,3-22 ”2 (17分) 元>0 试卷第4页，共4页