4.12练习十五（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

该小学数学教学设计聚焦“分数的意义和性质”单元中最大公因数的巩固练习，通过复习公因数、最大公因数及互质数概念，区分互质数与质数的易错点，承接因数知识，为后续约分及实际问题解决搭建学习支架。 特色在于分层闯关设计，基础题巩固列举法与倍数、互质关系规律，应用题通过画图建模转化生活问题（如裁剪正方形、分段木棒），培养几何直观与模型意识，拓展题引导归纳互质数规律提升推理能力。分层任务适配不同学生，为教师提供清晰的分层教学策略与题型示例。

2026年春季人教版五年级下册数学同步教学设计 单元 第四单元分数的意义和性质 课题 4.12练习十五 课时内容 1课时 教材分析 本节课为人教版小学数学五年级下册第四单元《分数的意义和性质》中最大公因数的巩固练习课，教材 63‑64 页练习十五。本课是在学生初步认识公因数、最大公因数、互质数概念，学会列举法找最大公因数之后的专项巩固课。练习题型分为基础填空、求数组的最大公因数、表格探究题、分数分子分母求最大公因数、生活实际应用题，由纯数字计算过渡到生活情境问题。 本节课承接前面因数、公因数的知识，为后续约分、分数化简、解决分段问题、长方形裁剪正方形问题打下基础。教材习题层层递进：先是巩固找公因数的基础方法，再通过倍数关系、互质关系两组特例总结快速求最大公因数的规律，最后落地到生活实际，把抽象的数学概念转化成实际问题，渗透模型思想，让学生明白最大公因数在生活里的应用价值。同时教材拓展 “互质数” 概念，拓宽学生认知，区分互质数和质数的不同，完善学生知识框架。 学情分析 本班学生分层差异明显，优等生占比偏低，中等生为班级主体，学困生基数偏大，学生抽象逻辑思维发展不均衡，计算能力两极分化。优等生基础扎实，愿意钻研拓展题，但做题容易轻视基础小题，不习惯画图梳理应用题题意，经常因为细节马虎失分；中等生可以完成基础计算题，可对公因数概念只会死记硬背，遇到变式题型就不会变通，不能梳理应用题的数量关系，解题书写步骤不规范，没有验算、整理错题的习惯；学困生存在前期计算知识断层，理解抽象概念速度慢，一碰到文字应用题就产生畏难情绪，同类错题反复出错，作业拖沓。 整体班级共性短板：不会把最大公因数知识转化成生活模型，分不清什么时候要用最大公因数解题；审题不细致，不主动画图分析题目，缺少归纳总结规律的意识。本节课要针对分层学情设计分层任务，借助小组互助、对比探究、画图建模的方式补齐学生短板。 学习目标 知识与技能：通过练习，巩固公因数、最大公因数、互质数的概念，能熟练运用列举法、观察特例法（互质关系、倍数关系）快速找出一组数的最大公因数；能找准实际问题里的数量关系，利用最大公因数模型解决裁剪、分段类实际问题。 过程与方法：经历独立做题、小组交流、对比观察、归纳规律的过程，提升观察对比、归纳概括能力；学会借助画图法分析应用题，建立 “求最长、最多、同样长且无剩余” 类问题的数学模型，发展推理意识。 情感态度与价值观：在小组合作交流中，优等生带动中等生、学困生补齐知识漏洞；通过解决生活问题，体会数学和生活的联系，消除学困生对应用题的畏难心理，养成验算、归纳错题的学习习惯。 教学重难点 教学重点：熟练掌握找最大公因数的两种简便规律（倍数关系、互质关系），精准解决教材基础习题；能把生活问题转化成求最大公因数的数学问题。 教学难点：区分变式题型，判断什么时候使用最大公因数解题；中等生灵活运用规律解决变式题，学困生理解应用题的解题逻辑，优等生养成画图审题的习惯。 教学过程 （一）复习旧知，谈话导入（5 分钟） 师：同学们，上一节课我们新学习了公因数和最大公因数，谁能先回忆一下，什么叫公因数？什么是最大公因数？ 生 1：几个数共有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的那一个，就是最大公因数。 师：说得概念很准确。那还有一个特殊概念 —— 互质数，谁再来说一说互质数的定义？ 生 2：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。 师：非常棒。那老师追问大家一个易错点，两个数互质，这两个数一定都是质数吗？大家举个例子说一说。 生 3：不一定，比如 4 和 9 都是合数，但它们的公因数只有 1，二者互质。 师：这位同学举的例子特别典型，刚好打破我们固定思维。今天我们就借助练习十五的所有习题，巩固最大公因数的知识，把做题的规律、解题模型彻底吃透，同时补齐我们做题里的漏洞。板书课题：最大公因数练习课。 师：本节课我们分三层任务学习，基础题全员过关，变式题中等生突破，拓展题由优等生攻坚，小组内互帮互助，一会小组交流的时候，优生可以帮学困生讲一讲思路。 （二）分层闯关，习题精讲（30 分钟） 第一关：基础巩固题（教材 63 页第 1‑4 题，独立完成，8 分钟，之后同桌互查，再全班订正） 出示第 1 题：填空 （1）10 和 15 的公因数有________。（2）14 和 49 的公因数有________。 师：谁来说一说第一小题，你是怎么找出公因数的？ 生 4：我先分别写出 10 的因数：1、2、5、10；再写出 15 的因数：1、3、5、15，再找两个数重复的因数，就是 1、5。 师：步骤很清晰，找公因数的核心方法，就是先分别列举因数，再找公共部分。第二题谁来回答？ 生 5：14 的因数：1、2、7、14；49 的因数：1、7、49，公因数是 1、7。 师：同桌之间核对答案，学困生如果还有疑问，同桌再讲一遍列举步骤。 第 2 题：找出下面每组数的最大公因数 6 和 9、15 和 12、42 和 54、30 和 45、99 和 36 5 和 9、34 和 17、16 和 48、15 和 16、13 和 78 学生独立写完后，教师组织全班交流。 师：大家观察这十组数，能不能把它们分分类？小组内讨论 2 分钟，看看能发现什么快速求最大公因数的规律。 （小组讨论，教师巡视，走到学困生小组引导观察） 师：哪个小组分享你们的分类结果？ 组 1：我们发现有两类特例。第一种：两个数是倍数关系，比如 34 和 17，16 和 48，13 和 78，大数是小数的倍数，它们的最大公因数就是较小的数。第二种：两个数公因数只有 1，像 5 和 9、15 和 16，是互质数，最大公因数直接是 1。剩下的几组既不是倍数关系、也不互质，就用列举法。 师：这个小组总结得太到位了！我们把两条规律记下来。 规律 1：两个数是倍数关系，较小数就是它们的最大公因数。 规律 2：两个数互质，最大公因数是 1。 剩下普通的数组，我们再用列举法。以后做题优先判断是不是这两种特殊情况，做题速度会快很多。优等生要记住，就算题目简单，也不能跳步骤，避免马虎失分；中等生要牢记两条规律，以后遇到同类题直接套用；学困生熟记倍数关系的例子。 第 3 题表格题，先在因数下面画 “√”，再填空 师：我们先完成表格，标出 8、16、20 的因数。完成之后完成 4 个小问题。 （1）8 和 16 的公因数有____，最大公因数是____。 （2）8 和 20 的公因数有____，最大公因数是____。 （3）16 和 20 的公因数有____，最大公因数是____。 （4）8、16 和 20 的公因数有____，最大公因数是____。 生 6：我先把三个数的因数标记出来，再找两个、三个数的公共因数。 师：没错，找多个数的公因数，依旧依托因数来找。大家注意区分两个数、三个数公因数的区别，不要遗漏因数 1。 第 4 题：写出分数分子和分母的最大公因数 、、、、、 师：大家观察，这道题其实就是为我们后面约分做铺垫。我们先判断分子分母的关系，快速写最大公因数。 生 7：互质，最大公因数是 1；是倍数关系，最大公因数是 18。 师：非常好，以后约分第一步，就是找分子分母的最大公因数，这道题提前帮我们做铺垫。 第二关：实际应用题（教材 63 页 5‑6 题、64 页 11 题，12 分钟，小组合作，要求画图分析） 师：做完基础题，我们进入第二关，解决生活应用题。老师先提一个要求：所有应用题，大家要先画图，把文字信息转化成图形，再列式，改掉只靠空想做题的坏习惯。（针对优等生不画图、中等生不会梳理数量关系的问题） 第 5 题：一张长方形纸，长 70cm，宽 50cm。剪成同样大小的正方形，没有剩余，正方形边长最大是多少厘米？ 师：大家拿出草稿纸，先画出一个长方形，标注长 70cm，宽 50cm。思考问题：正方形的边长要满足什么条件？前后桌交流。 生 8：正方形的边长既要能整除长 70，又要能整除宽 50，也就是 70 和 50 的公因数，题目问边长最大，就是求最大公因数。 师：逻辑完全通顺。那我们现在求 70 和 50 的最大公因数。谁来计算？ 生 9：70 的因数：1、2、5、7、10、14、35、70；50 的因数：1、2、5、10、25、50。最大公因数是 10，所以边长最大 10 厘米。 师：学困生听懂了吗？只要题目里说裁剪成一样大小、无剩余、求最大，就是求两个数的最大公因数。画图可以帮我们理清题意，优等生以后做题也要养成画图习惯，避免审题出错。 第 6 题：男生 48 人，女生 36 人，分别站成若干排。每排人数相同，每排最多多少人？男、女生各有几排？ 师：大家再画图，男生、女生分成若干排，每排人数一样，且人数要最多。 生 10：每排人数既是 48 的因数，也是 36 的因数，求最多的人数，就是求 48 和 36 的最大公因数。算出最大公因数后，再用总人数 ÷ 每排人数 = 排数。 师：没错。我们先算出 48 和 36 最大公因数是 12。男生排数：48÷12=4（排），女生排数：36÷12=3（排）。中等生要记住两步：第一步求最大公因数，第二步再算排数，不要只做一半题目。 教材 64 页第 11 题：木棒长 12cm、16cm、44cm，截成同样长的小段，没有剩余，每段最长多少厘米？ 师：这道题变成三个数了，思路有没有变化？谁来说？ 生 11：求 12、16、44 三个数的最大公因数。 师：对，只要题目是分段无剩余、求最长长度，就是求所有长度数字的最大公因数。三个数的最大公因数，我们先找前两个数的最大公因数，再和第三个数找最大公因数。 （教师板书步骤，给学困生示范完整书写格式，规范步骤） 第三关：拓展探究题（教材 64 页 7‑10 题，5 分钟，优等生主导探究，中等生记录规律，学困生识记） 第 7 题：写出相邻两个数的最大公因数：4 和 9、9 和 10、10 和 15、15 和 18、18 和 24、24 和 36、36 和 72。 师：先观察前两组，4 和 9，9 和 10，都是相邻的自然数，它们的最大公因数是 1，也就是相邻自然数一定互质。后面几组再计算。 第 8 题：按要求写两个数，使最大公因数是 1。 （1）都是质数；（2）都是合数；（3）一个质数，一个合数。 师：这道题巩固互质数的组合形式，中等生多写几组例子，加深记忆。 第 9 题选择题，学生口述答案，讲清理由。 第 10 题：写出 1‑20 各数和 5 的最大公因数，寻找规律。 生 12：5、10、15、20 和 5 的最大公因数是 5，剩下的数和 5 的最大公因数都是 1。 师：总结规律：一个数是 5 的倍数，它和 5 的最大公因数就是 5；不是 5 的倍数，和 5 的最大公因数是 1。大家可以把这个规律迁移到其他数字上。 （三）课堂小结，梳理错题（3 分钟）师：今天这节练习课，我们收获了什么？谁来梳理本节课的知识点？ 生 13：我们记住了找最大公因数的两条简便规律，学会了用画图法解决裁剪、分段类应用题，还巩固了互质数的知识。 师：总结得很全面。课后任务：优等生把今天变式题整理到错题本，标注画图思路；中等生把两条最大公因数规律抄写背诵；学困生熟记应用题的解题模型，把基础错题重新演算一遍。（四）布置分层作业（2 分钟） 学困生：完成练习十五 1‑4 题，规范书写步骤，订正错题。 中等生：完成练习十五 1‑6 题 + 11 题，每道应用题画图。 优等生：完成全部习题，自主创编一道利用最大公因数解决的生活应用题。 板书设计 最大公因数练习课 概念回顾 公因数：共有的因数 最大公因数：公因数中最大的数 互质数：公因数只有 1 的两个数（不一定都是质数） 两条规律 ①倍数关系→最大公因数 = 较小数 ②互质关系→最大公因数 = 1 普通数组：列举法 应用题模型（画图） 裁剪、分段、站队→同样大小、无剩余、求最多（最长）→求最大公因数 做题步骤：审题→画图→列式→验算 回顾反思 本节课以练习十五的习题为依托，结合分层学情设计三层闯关任务，借助旧知回顾、小组合作交流、画图建模的方式展开教学，大部分学生可以巩固找最大公因数的两种简便规律，基本能将裁剪、分段类生活问题转化成求最大公因数的数学模型。课堂中优等生可以自主探究拓展题型，但部分优等生依旧忽略画图审题，容易因细节问题失分；中等生能够套用基础规律，可面对变式应用题时，还是难以独立梳理数量关系；学困生可以记住基础概念和解题模板，可计算步骤书写不够规范，部分基础计算依旧存在漏洞。后续我要督促优等生养成画图审题、检查验算的习惯，针对中等生增加变式题型训练，引导其自主推导解题思路；利用课后互助小组，让优等生帮扶学困生夯实计算基础，坚持错题复盘，缩小班级两极分化的差距。 学科网（北京）股份有限公司 $