4.12练习十五（教学设计）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

单元

第四单元分数的意义和性质

课题

4.12练习十五

课时内容

1课时

教材分析

本节课为人教版小学数学五年级下册第四单元《分数的意义和性质》中最大公因数的巩固练习课，教材 63‑64 页练习十五。本课是在学生初步认识公因数、最大公因数、互质数概念，学会列举法找最大公因数之后的专项巩固课。练习题型分为基础填空、求数组的最大公因数、表格探究题、分数分子分母求最大公因数、生活实际应用题，由纯数字计算过渡到生活情境问题。

本节课承接前面因数、公因数的知识，为后续约分、分数化简、解决分段问题、长方形裁剪正方形问题打下基础。教材习题层层递进：先是巩固找公因数的基础方法，再通过倍数关系、互质关系两组特例总结快速求最大公因数的规律，最后落地到生活实际，把抽象的数学概念转化成实际问题，渗透模型思想，让学生明白最大公因数在生活里的应用价值。同时教材拓展 “互质数” 概念，拓宽学生认知，区分互质数和质数的不同，完善学生知识框架。

学情分析

本班学生分层差异明显，优等生占比偏低，中等生为班级主体，学困生基数偏大，学生抽象逻辑思维发展不均衡，计算能力两极分化。优等生基础扎实，愿意钻研拓展题，但做题容易轻视基础小题，不习惯画图梳理应用题题意，经常因为细节马虎失分；中等生可以完成基础计算题，可对公因数概念只会死记硬背，遇到变式题型就不会变通，不能梳理应用题的数量关系，解题书写步骤不规范，没有验算、整理错题的习惯；学困生存在前期计算知识断层，理解抽象概念速度慢，一碰到文字应用题就产生畏难情绪，同类错题反复出错，作业拖沓。

整体班级共性短板：不会把最大公因数知识转化成生活模型，分不清什么时候要用最大公因数解题；审题不细致，不主动画图分析题目，缺少归纳总结规律的意识。本节课要针对分层学情设计分层任务，借助小组互助、对比探究、画图建模的方式补齐学生短板。

学习目标

知识与技能：通过练习，巩固公因数、最大公因数、互质数的概念，能熟练运用列举法、观察特例法（互质关系、倍数关系）快速找出一组数的最大公因数；能找准实际问题里的数量关系，利用最大公因数模型解决裁剪、分段类实际问题。

过程与方法：经历独立做题、小组交流、对比观察、归纳规律的过程，提升观察对比、归纳概括能力；学会借助画图法分析应用题，建立 “求最长、最多、同样长且无剩余” 类问题的数学模型，发展推理意识。

情感态度与价值观：在小组合作交流中，优等生带动中等生、学困生补齐知识漏洞；通过解决生活问题，体会数学和生活的联系，消除学困生对应用题的畏难心理，养成

验算、归纳错题的学习习惯。

教学重难点

教学重点：熟练掌握找最大公因数的两种简便规律（倍数关系、互质关系），精准解决教材基础习题；能把生活问题转化成求最大公因数的数学问题。

教学难点：区分变式题型，判断什么时候使用最大公因数解题；中等生灵活运用规律解决变式题，学困生理解应用题的解题逻辑，优等生养成画图审题的习惯。

教学过程

（一）复习旧知，谈话导入（5 分钟）

师：同学们，上一节课我们新学习了公因数和最大公因数，谁能先回忆一下，什么叫公因数？什么是最大公因数？

生 1：几个数共有的因数，叫作它们的公因数，其中最大的那一个，就是最大公因数。

师：说得概念很准确。那还有一个特殊概念 —— 互质数，谁再来说一说互质数的定义？

生 2：公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。

师：非常棒。那老师追问大家一个易错点，两个数互质，这两个数一定都是质数吗？大家举个例子说一说。

生 3：不一定，比如 4 和 9 都是合数，但它们的公因数只有 1，二者互质。

师：这位同学举的例子特别典型，刚好打破我们固定思维。今天我们就借助练习十五的所有习题，巩固最大公因数的知识，把做题的规律、解题模型彻底吃透，同时补齐我们做题里的漏洞。板书课题：最大公因数练习课。

师：本节课我们分三层任务学习，基础题全员过关，变式题中等生突破，拓展题由优等生攻坚，小组内互帮互助，一会小组交流的时候，优生可以帮学困生讲一讲思路。

（二）分层闯关，习题精讲（30 分钟）

第一关：基础巩固题（教材 63 页第 1‑4 题，独立完成，8 分钟，之后同桌互查，再全班订正）

出示第 1 题：填空

（1）10 和 15 的公因数有________。（2）14 和 49 的公因数有________。

师：谁来说一说第一小题，你是怎么找出公因数的？

生 4：我先分别写出 10 的因数：1、2、5、10；再写出 15 的因数：1、3、5、15，再找两个数重复的因数，就是 1、5。

师：步骤很清晰，找公因数的核心方法，就是先分别列举因数，再找公共部分。第二题谁来回答？

生 5：14 的因数：1、2、7、14；49 的因数：1、7、49，公因数是 1、7。

师：同桌之间核对答案，学困生如果还有疑问，同桌再讲一遍列举步骤。

第 2 题：找出下面每组数的最大公因数

6 和 9、15 和 12、42 和 54、30 和 45、99 和 36

5 和 9、34 和 17、16 和 48、15 和 16、13 和 78

学生独立写完后，教师组织全班交流。

师：大家观察这十组数，能不能把它们分分类？小组内讨论 2 分钟，看看能发现什么快速求最大公因数的规律。

（小组讨论，教师巡视，走到学困生小组引导观察）

师：哪个小组分享你们的分类结果？

组 1：我们发现有两类特例。第一种：两个数是倍数关系，比如 34 和 17，16 和 48，13 和 78，大数是小数的倍数，它们的最大公因数就是较小的数。第二种：两个数公因数只有 1，像 5 和 9、15 和 16，是互质数，最大公因数直接是 1。剩下的几组既不是倍数关系、也不互质，就用列举法。

师：这个小组总结得太到位了！我们把两条规律记下来。

规律 1：两个数是倍数关系，较小数就是它们的最大公因数。

规律 2：两个数互质，最大公因数是 1。

剩下普通的数组，我们再用列举法。以后做题优先判断是不是这两种特殊情况，做题速度会快很多。优等生要记住，就算题目简单，也不能跳步骤，避免马虎失分；中等生要牢记两条规律，以后遇到同类题直接套用；学困生熟记倍数关系的例子。

第 3 题表格题，先在因数下面画 “√”，再填空

师：我们先完成表格，标出 8、16、20 的因数。完成之后完成 4 个小问题。

（1）8 和 16 的公因数有____，最大公因数是____。

（2）8 和 20 的公因数有____，最大公因数是____。

（3）16 和 20 的公因数有____，最大公因数是____。

（4）8、16 和 20 的公因数有____，最大公因数是____。

生 6：我先把三个数的因数标记出来，再找两个、三个数的公共因数。

师：没错，找多个数的公因数，依旧依托因数来找。大家注意区分两个数、三个数公因数的区别，不要遗漏因数 1。

第 4 题：写出分数分子和分母的最大公因数

、、、、、

师：大家观察，这道题其实就是为我们后面约分做铺垫。我们先判断分子分母的关系，快速写最大公因数。

生 7：互质，最大公因数是 1；是倍数关系，最大公因数是 18。

师：非常好，以后约分第一步，就是找分子分母的最大公因数，这道题提前帮我们做铺垫。

第二关：实际应用题（教材 63 页 5‑6 题、64 页 11 题，12 分钟，小组合作，要求