2025～2026学年高一下学期期末数学测试题

**基本信息** 高一期末数学试卷覆盖复数、概率、立体几何等核心知识，解答题融入环保监测、阶梯电价等现实情境，通过数学建模与数据分析培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、古典概型、线面关系|基础概念辨析，如第3题考查空间线面位置关系判断| |多选|3/18|统计图表、立体几何证明|第10题结合圆与垂直关系，考查空间观念与推理能力| |填空|3/15|复数方程、独立事件概率|第14题三棱锥异面直线成角计算，体现几何直观| |解答|5/77|解三角形、向量函数、统计应用|第18题阶梯电价问题，通过频率分布直方图分析数据，培养数据意识与模型观念|

2025~2026学年第二学期高一期末数学测试题 （时长：120分种 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数，则（   ） A． B．1 C． D．2 2.从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（     ） A． B． C． D． 3.已知，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4.已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 6.已知关于x的一次函数为．设集合，，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，则使函数为增函数的概率为（    ） A． B． C． D． 7.在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．正三角形 8.已知函数， 有最小值且无最大值，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 10.如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 11.在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（     ） A． B． C． D．的范围为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若复数满足，则________． 13.相互独立事件，满足，，则________． 14.如图，三棱锥中，平面，与平面所成角为，，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知锐角△中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，求△面积的最大值 16.（本小题满分15分） 已知向量，，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 17.（本小题满分15分） 已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 18.（本小题满分17分） 为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档），的用户缴费在第二档，的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中的值； (2)请估计月均用电量第一档的范围； (3)用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在的概率． 19.（本小题满分17分） 已知的内角，，所对的边分别为，，且． (1)求； (2)若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期高一期末数学测试题 （时长：120分种 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数，则（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】，. 2.从1~10这10个整数中随机选择一个数，设事件表示选到的数能被2整除，事件表示选到的数能被3整除，则事件的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从1~10共10个整数中随机选数，总共有10种等可能结果. 表示选到的数能被2整除，且不能被3整除. 在1~10中，能被2整除的数为， 排除能被3整除的6，剩余符合条件的数共4个，即. 则. 3.已知，表示两条不重合的直线，，，表示三个不重合的平面，则下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】选项A：若，，则与可能平行，也可能相交，故A错误； 选项B：若，，则与可能平行，也可能相交，当平行于与的交线时，可满足同时平行于两个相交平面，故B错误； 选项C：若，，则与的位置关系为平行或异面，故C错误； 选项D：根据线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条不重合直线互相平行，可知若，，是两条不重合的直线，则，故D正确. 4.已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知模长与数量积的值求出夹角的余弦值，再结合向量夹角的取值范围确定夹角大小； 【详解】设与的夹角为，向量夹角的取值范围为， ，可得， 故选：A. 5.一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由球的半径、圆面半径、球心到这个平面的距离构成直角三角形，由勾股定理求得半径即可求解； 【详解】设球的半径为，圆面半径为，球心到这个平面的距离为， 根据球的截面性质，有， ． 故选：C 6.已知关于x的一次函数为．设集合，，分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，则使函数为增函数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用列举法求解，先列出m和n的所有取值的情况，再找出的情况，然后利用古典概型的概率公式求解即可. 【详解】分别从集合P和Q中随机取一个数作为m和n，其样本空间，共10个样本点， 记“使函数为增函数”为事件A，则，共6个样本点， 所以． 故选：A 7.在中，已知，那么一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．正三角形 【答案】A 【分析】根据两角和差的正弦公式化简即可得解. 【详解】在中，， ， 即， ， ， 又A，，， 一定是等腰三角形. 故选：A 8.已知函数， 有最小值且无最大值，则实数t的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，可得， 再由正弦函数在上有最小值且无最大值， 则满足. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9.某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 【答案】ABD 【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 所以，解得，故A正确； 对于B，样本水质指数的平均数为 ，故B正确； 对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误； 对于D，第5组的频率为， 故水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确. 10.如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】ACD 【分析】由题意易得，进而可证平面判断A；若平面，可得，可判断B；由平面，可判断C；由已知可得平面，进而可判断D. 【详解】对于A，因为垂直于圆所在的平面，又在圆所在的平面内，所以， 又为圆的直径，所以，又，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，若平面，又平面，则， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，这与为圆的直径矛盾， 故平面不成立，故B错误； 对于C，因为垂直于圆所在的平面，即平面， 又平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，因为平面，又平面， 所以，又，，又平面， 所以平面，平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ACD. 11.在中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（     ） A． B． C． D．的范围为 【答案】AC 【分析】对题干所给式子，利用正弦定理边角互化化简即可判断A，B选项；利用向量的加法法则即可判断C选项，利用向量模长计算的范围即可． 【详解】根据， 由正弦定理可知， 整理得， 利用两角和公式可知； 根据三角形内角和可知，， 故上式可化简为， 根据正弦定理可知，故A正确； 假设，则， 因为，故，则，，则， 不符合三角形内角范围，故B错误； 由可得， 故，故C正确； 因为， 由余弦定理可得，故， 因为，故； 由三角形三边关系可知，解得； 故，故的范围为，故D错误． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若复数满足，则________． 【答案】或 【分析】设复数的代数形式为，利用复数模的定义列方程组求解的值即可 【详解】设，其中， 根据复数模的定义可知： ， ， 由题意得：，即，解得或， 所以或. 13.相互独立事件，满足，，则________． 【答案】/ 【详解】由对立事件的性质得， 则，解得， 已知事件，相互独立，则 ，解得． 14.如图，三棱锥中，平面，与平面所成角为，，，是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是__________． 【答案】/ 【分析】取BC的中点F，连接，利用中位线定理将异面直线PB平移至EF，从而将异面直线所成角转化为中的内角（或其补角），通过计算三角形三边长并利用余弦定理求解. 【详解】平面，与底面线面角为，， 中，，, 是中点，直角三角形斜边中线：, ，, 取中点，连接，是中位线：， 就是异面直线所成角（或补角）， ,则是等边三角形， 为中点，, 在中，， 所以， 所以异面直线和所成角的余弦值是. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知锐角△中，角，，所对的边分别为，，，. (1)求的值； (2)若，求△面积的最大值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知条件中的化为，使用两角和的正弦公式打开化简，可求得； （2）由余弦定理，结合不等式，求出的最大值，代入面积公式即可. 【详解】（1）∵ ∴， ∴ ∴ ∵△为锐角三角形，为锐角，∴ ∴，即， ∴△内角. （2）由余弦定理知，， ∴，当且仅当时取等号， 即当且仅当时， ∴ ∴△面积的最大值为. 16.（本小题满分15分） 已知向量，，． (1)求函数的单调递增区间； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）由的取值范围求出的范围，再结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 令，解得， 所以的单调递增区间为； （2）当时，， 所以，则， 所以函数在上的值域为. 17.（本小题满分15分） 已知直三棱柱中，为正方形，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)若是边长为2正三角形，求四面体的体积． 【答案】(1)连接，，则交于点，如下图所示， 因为分别为，的中点， 所以在中，， 因为平面，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）利用中位线定理及线面平行的判定定理即可求解； （2）利用可得答案. 【详解】（1）略 （2）连接，如下图所示， 因为是边长为2的正三角形，为正方形， 所以，， 所以， 所以四面体的体积为. 18.（本小题满分17分） 为了实现绿色发展，避免能源浪费，某市政府拟推行居民阶梯电价制度，使75%的用户缴费在第一档（最低一档），的用户缴费在第二档，的用户缴费在第三档（最高一档）．为此，相关部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位：），并将数据整理后画出如图所示的频率分布直方图．    (1)求直方图中的值； (2)请估计月均用电量第一档的范围； (3)用频率估计概率，在该市中任选3户居民，不同居民的月均用电量相互独立，求恰有1户居民的月均用电量在的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图中频率的和为1求出的值. （2）根据百分位数的定义和公式求75%分位数. （3）首先求出月均用电量在的概率，然后求出恰有1户居民的月均用电量在的概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可得： ， 解得. （2）因为75%的居民缴费在第一档，需要确定月均用电量的75%分位数. ，. 设第一档的上限为，则列方程为： ，解得. 所以月均用电量第一档的范围是. （3）用户的月均用电量在的概率为： 所以恰有1户居民的月均用电量在的概率为： . 19.（本小题满分17分） 已知的内角，，所对的边分别为，，且． (1)求； (2)若，点在上，直线上一点满足，在点和点的变化过程中， （ⅰ）求的最小值； （ⅱ）当最小时，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）运用正余弦定理化简等式，得到关于的余弦公式，求解即可； （2）（ⅰ）建立直角坐标系，根据题意得到，运算得到点的轨迹方程，限定其坐标的取值范围，得到双变量函数，依次放缩即可求出最小值；（ⅱ）根据（ⅰ）中取等的条件，求出点的坐标，代入运算即可. 【详解】（1）在中，，则， 又，所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理得， 化简整理得， 又因为，所以； （2）（ⅰ）因为，则， 所以，如图，建立平面直角坐标系， 此时，设， 因为，则，设，则，， 所以，整理得，解得， 因为， 化简整理得， 又， 所以，又因为，所以， 因此，当且仅当时取等号， 所以，当时，取最小值，为； （ⅱ）当最小时，此时，所以， 代入，则，解得， 所以，， 因此，直线的方程为，直线的方程为， 联立方程，解得，即为， 所以，，因此. 1 学科网（北京）股份有限公司 $