29.2.1　垂直于弦的直径 课件 2026-2027 学年人教版数学九年级上册

这是一份初中数学同步教学课件，聚焦“垂直于弦的直径”，包含实验操作、推理证明、新知概括、例题应用及课堂检测，构建从具体到抽象的学习支架，助力学生掌握圆的轴对称性与垂径定理。 资料特色鲜明，融合核心素养，通过剪圆对折实验培养几何直观（数学眼光），严谨推理证明发展逻辑思维（数学思维），赵州桥等实例强化模型应用（数学语言），“知二推三”推广助知识系统化，防易错提示减少误解，利于学生深度学习，为教师教学提供清晰路径。九年级学生面临升学考试，需重点掌握圆的核心定理，该资料能帮助学生夯实基础，提升解题能力。

29.2.1　 垂直于弦的直径 第二十九章　圆 29.2 探究与应用 剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,你发现了什么? 活动1　理解并掌握圆的轴对称性 操作尝试 解:沿着圆的任意一条直径对折,直径两侧的部分总能重合. 求证:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 推理证明 证明:如图,设AB是☉O的任意一条直径, 如果M为☉O上点A,B以外的任意一点,M'是点M关于直线AB的对称点,那么直线AB是线段MM'的垂直平分线. 因为圆心O在AB上,所以OM'=OM, 因此点M'在☉O上. 如果点M与点A或点B重合,那么结论显然也成立. 所以圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 圆的轴对称性: (1)圆是　　　 图形,任何一条直径所在直线都是圆的　　 　.  (2)圆有　　　　条对称轴.  轴对称　 概括新知 对称轴　 无数 (教材补充例题)下列说法正确的是 (　　) A.每一条直径都是圆的对称轴　 B.圆的对称轴是唯一的 C.圆的对称轴一定经过圆心 D.圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线 例 1 C 理解应用 对称轴是直线,不是线段,而圆的直径是一条线段,所以不能说直径是圆的对称轴,必须强调是直径所在的直线. 防 易错 问题1　如图29-2-1所示,从上面[推理证明]的解答过程可知,如果☉O的直径AB垂直于弦MM',垂足为N,那么M和M'是关于直径AB的对称点,图中除OA=OB外,还有哪些相等的线段和劣弧? 活动2　理解并掌握垂径定理及其推论 问题情境 解:由圆的轴对称性可知,把圆沿着直径AB对折时,MN与M'N重合,,分别与,重合,∴MN=M'N,=,=. 图29-2-1 问题2　(1)如图29-2-2,若直径AB与弦MM'相交于点N,且AB平分MM',弦MM'不过圆心O,则AB垂直于MM'吗?图中还有哪些劣弧相等? 解:(1)连接OM,OM'.∵AB平分弦MM',∴MN=M'N. 又∵OM=OM',∴AB⊥MM', ∴点M与点M'关于直线AB对称,和对称,和对称, ∴=,=. 图29-2-2 (2)在(1)中,若弦MM'过圆心O,上面得到的结论还成立吗? (2)不一定成立. 图29-2-2 垂径定理及其推论: 概括新知 垂径定理 图形 推论 文字 表述 　　　　　　　　平分弦,并且平分弦所对的两条弧    文字 表述 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且 　　　　　　　　　  符号 语言 如右图,∵CD为☉O的直径,CD⊥AB,∴AE=BE, =　　　, =　　  符号 语言 如左图,∵CD为☉O的直径,AE=BE,∴CD⊥　 , =　 ,=　　　  垂直于弦的直径 　 平分弦所对的两条弧 AB　 　 垂径定理及其推论的推广——“知二推三” 垂径定理所含的五个论断:①过圆心,②垂直于弦,③平分弦(不是直径),④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧,若把其中两个论断作为条件,则可推出另外三个论断. 可 推广 (教材典题)赵州桥(如图29-2-3)是我国隋代建造的石拱桥,距今已有1400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m,求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位). 例 2 解:如图,表示主桥拱,设所在圆的圆心为O,半径长为R m. 理解应用 图29-2-3 经过圆心O作弦AB的垂线OC,D为垂足,OC与相交于点C,连接OA.根据垂径定理,D是AB的中点,C是的中点,CD就是拱高. 由题设可知AB=37,CD=7.23, ∴AD=AB=×37=18.5,OD=OC-CD=R-7.23. 在Rt△OAD中,由勾股定理,得OA2=AD2+OD2, 即R2=18.52+(R-7.23)2,解得R≈27.3. 因此,赵州桥主桥拱的半径长约为27.3 m. 圆的半径r,圆心到弦的距离d,弦长a之间的关系式为 r2=d2+（）2. 学 方法 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.圆是轴对称图形,它的对称轴有 (　　) A.1条 B.2条 C.4条 D.无数条 | 课堂检测 | D 2.下列说法中,正确的是 (　　) A.垂直于弦的直线必经过圆心 B.平分弦的直径必平分弦所对的弧 C.平分弦的直径垂直于弦 D.弦的垂直平分线必经过圆心 D 3.如图29-2-4,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E,OC=5 cm, CD=8 cm, 则AE的长为 (　　) A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm A 图29-2-4 4.如图29-2-5是一款拱门的示意图,其中拱门最下端AB=18分米, C为AB的中点,D为拱门最高点,圆心O在线段CD上,CD=27分米,求拱门所在圆的半径长. 解:连接OA,如图所示. ∵CD过圆心,C为AB的中点,AB=18分米, ∴CD⊥AB,AC=BC=AB=9分米. 图29-2-5 设拱门所在圆的半径长为x分米, 则OA=OD=x分米. ∵CD=27分米, ∴OC=(27-x)分米. 在Rt△OAC中,由勾股定理,得AC2+OC2=OA2, 即92+(27-x)2=x2,解得x=15. 答:拱门所在圆的半径长是15分米. $