4.4 对数函数 讲义2025-2026学年高一下学期暑假复习

4.4对数函数 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是. 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是减函数 在上是增函数 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为反函数，其图象关于直线对称. 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、对数的运算性质的应用 【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为. 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为. 2．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数（型）的单调性求参数 【详解】令，函数的外层函数为， 又，则外层函数为单调递减函数. ∵ 函数在区间上单调递增， ∴ 内层函数在区间上单调递减，且在上恒成立. ∵ 是开口向上的二次函数，对称轴为， ∴ 要满足在上单调递减，需，解得. ∵ 在上单调递减，∴ 时，， 要满足在上恒成立，需，即，解得. 综上，实数的取值范围为. 3．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，若函数的值域为，则a的值最小为（   ） A．e B．2 C．1 D． 【答案】C 【知识点】根据对数函数的值域求参数值或范围、分段函数的值域或最值 【详解】当时，又，所以； 当时，函数在上单调递增，所以； 又函数的值域为，所以，解得， 所以a的值最小为1. 4．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）已知满足的的最大值为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据函数的单调性求出的值，根据对数函数的性质确定的范围，进而比较大小. 【详解】因为是单调递增函数，而， 则等价于， 所以满足的的最大值为， 又 ，综上. 5．（25-26高二下·河南南阳·期末）若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】根据题意利用作差法判断A；利用作差法、基本不等式及指数函数的性质判断B；利用作差法、及二次函数的性质判断C；利用作差法、基本不等式及对数函数的性质判断D.. 【详解】对于A，对，且， 则， 所以，不满足题意，故A错误； 对于B，对，且， 则 ， 所以，满足题意，故B正确； 对于C，对，且， 则 ， 所以，不满足题意，故C错误； 对于D，对，且， ， 由基本不等式可得， 所以， 即， 所以，不满足题意，故D错误. 6．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、对数函数单调性的应用、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 7．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【详解】单调递增，故， 单调递增，故， ， 对于，，设函数，， 故函数在上单调递增， 所以， 则，所以， 故． 8．（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、比较对数式的大小 【分析】根据题意，得到函数的图象关于直线对称，进而推得函数也是周期等于的函数，化简得到，结合对数函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数，可得， 所以函数的图象关于直线对称，则有， 再由是定义在上的周期为2的函数， 可得函数也是周期等于2的函数， 所以， 又因为时，是增函数，可得． 二、多选题 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 【答案】AC 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断、由对数（型）的单调性求参数 【详解】令，则或，故 的定义域关于原点对称， 选项A：的定义域为，，满足奇函数定义，A正确。 选项B：，B错误。 选项C：由于在单调递增，而为定义域内的单调递增函数，为由复合函数“同增异减”得在区间单调递增，由于为奇函数，因此在区间上单调递增，C正确。 选项D：由于， 不满足，D错误。 10．（2026高二下·浙江·学业考试）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】对数函数图象的应用 【详解】由对数函数性质可知， 所以当时，，所以，选项A正确； 当时，，所以，选项B正确； 当时，，所以，选项C错误； 当时，，所以，选项D正确. 11．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 【答案】AC 【知识点】求对数型复合函数的定义域、求对数型复合函数的值域、已知函数的定义域求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】对于A，由的解集为，得为方程的两个根，进而判断；对于B，由对于恒成立，进而判断；对于C，令，根据二次函数的性质结合条件进而判断；对于D，令，由外函数为增函数，得在上单调递增，进而判断. 【详解】对于A，由的定义域为，所以的解集为， 所以为方程的两个根，所以，故A正确； 对于B，由的定义域为，所以对于恒成立， 当时，满足题意， 当时，， 所以，故B错误； 对于C，由的值域为R，令，则， 当时，不满足题意， 当时，， 所以，故C正确； 对于D，由在上单调递增，令， 当时，不满足题意， 当时，二次函数的对称轴为， 由外函数为增函数，所以在上单调递增， 所以对于，恒成立， 所以， 所以，故D错误. 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 【答案】ACD 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、函数对称性的应用、求对数型复合函数的定义域 【分析】根据对数函数的定义域判断A，应用对数及二次函数复合的单调性及最值判断B,D，根据二次函数的对称性判断复合函数的对称性判断C. 【详解】，解得， 即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，D选项正确． 三、填空题 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【知识点】判断指数函数的单调性、反函数的性质应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数奇偶性定义及反函数的性质得出是上单调递减的奇函数，再将问题转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 14．（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数在区间（）内存在零点，则______． 【答案】 【知识点】对数的运算、零点存在性定理的应用、判断零点所在的区间 【分析】首先根据题意得到函数在定义域上为增函数，且，，即可得到答案. 【详解】在定义域上为增函数， 且，， 所以函数唯一的零点在内，即． 15．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【知识点】求对数型复合函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】利用对数函数的性质转化为恒成立问题，再建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为函数的定义域为，所以在上恒成立， 当时，，解得，不合题意； 当时，则，解得． 综上实数的取值范围为． 四、解答题 16．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)求； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、对数的运算、具体函数的定义域、求函数值 【分析】（1）直接由函数解析式求函数值并结合对数运算可得； （2）先求函数的定义域，再将不等式根据对数函数的性质转化为一元二次不等式，并求得解集，再与函数的定义域求交集可得. 【详解】（1）因为函数，所以，， ， 所以 . 因此. （2）要使函数有意义，则，即，得；    又由，可知， 根据对数函数的性质，得，，，，解得， 所以不等式的解集为， 因此不等式的解集为. 17．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知函数，，其中且，. (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1)当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. (2). 【知识点】对数的运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据题意得，进而分和两种情况求解即可； （2）由题知，，进而根据已知条件得，再结合一元二次不等式求得答案. 【详解】（1）当时，， 所以不等式即， 当时，，  解得； 当时，，  解得. 综上所述，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. （2）因为函数（且）与（且）有意义须满足，所以. 所以与有意义须满足，所以. 所以当时，，， 所以不等式可化为， 即，即. 所以，或， 解得或. 故原不等式的解集为. 18．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 【答案】(1)； (2)①； ②证明：因为，其定义域为， 所以， 所以， 所以函数的图象关于点对称． 【知识点】判断或证明函数的对称性、函数对称性的应用、 对数函数y=log2x的图像和性质、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】（1）由定义域关于原点对称，得，再代入检验即可； （2）①由题意可得，将代入求解即可； ②证明即可. 【详解】（1）因为为奇函数， 由，得， 即， 当时，得，定义域为，不满足题意； 当时，由，得， 又因为是奇函数， 故定义域关于原点对称， 所以， 解得； 当时，， 定义域为，关于原点对称， 且，满足题意； 所以； （2）①因为， 所以； ②略； 19．（浙江省金华市2025-2026学年高一下学期6月期末质量检测数学试题）已知函数，． (1)若是定义域上的奇函数，求的值；通过观察和的图象关系，指出函数的对称中心（简单说明理由，不必严格证明）； (2)若对任意的正数，均有，或成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，所以函数是由奇函数向上平移一个单位移得的，因此关于（0，1）中心对称． (2) 【知识点】根据函数的最值求参数、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）应用奇函数定义计算求解参数，再应用平移得到对称中心； （2）将问题转化为恒成立问题，参数分离计算求解. 【详解】（1）是定义域上的奇函数． 所以． 对任意的恒成立，所以． ，所以函数是由奇函数向上平移一个单位移得到，因此关于中心对称． （2）因为当时，，当时，， 所以只要考虑时，恒成立， 即，令，当时，，单调递增， 当时，， 对恒成立，所以． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4对数函数 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．对数函数的概念 一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 . 2．对数函数的图象和性质 一般地，对数函数的图象与性质如下表所示： 图象 定义域 值域 性质 过定点，即时， 在上是 在上是 当x＞1时，y＜0； 当0＜x＜1时，y＞0 当x＞1时，y＞0； 当0＜x＜1时，y＜0 在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴； 当时，底数越小，图象越 轴，即“底大图低”． 3．对数函数与指数函数的关系 指数函数且）与对数函数且）互为 ，其图象关于直线对称. 巩固练习 一、单选题 1．（25-26高二下·山东日照·阶段检测）已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南岳阳·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南南阳·期末）已知，若函数的值域为，则a的值最小为（   ） A．e B．2 C．1 D． 4．（2026高一上·陕西咸阳·竞赛）已知满足的的最大值为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南南阳·期末）若函数满足，且，都有，则的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 6．（2026·天津滨海新区·三模）已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，设，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是奇函数 B． C． 在区间上单调递增 D． 10．（2026高二下·浙江·学业考试）已知实数，满足，则，可能的情况是（     ） A． B． C． D． 11．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（   ） A．若的定义域为，则 B．若的定义域为R，则 C．若的值域为R，则 D．若在上单调递增，则 12．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 三、填空题 13．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 14．（2025高一上·安徽·竞赛）已知函数在区间（）内存在零点，则______． 15．（25-26高一下·云南昭通·阶段检测）若函数的定义域为，则实数a的取值范围为________． 四、解答题 16．（25-26高二下·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)求； (2)求不等式的解集． 17．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）已知函数，，其中且，. (1)当时，求不等式的解集； (2)解关于的不等式：. 18．（25-26高二下·江苏常州·期末）已知函数为奇函数． (1)求实数的值; (2)设函数． ①求的值： ②证明函数的图象关于点对称． 19．（浙江省金华市2025-2026学年高一下学期6月期末质量检测数学试题）已知函数，． (1)若是定义域上的奇函数，求的值；通过观察和的图象关系，指出函数的对称中心（简单说明理由，不必严格证明）； (2)若对任意的正数，均有，或成立，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $