对数函数的图像与性质【13个题型】讲义-2025年暑假新高一数学常考题型归纳

2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【对数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 一．对数函数的定义（共6小题） 二．求对数函数的定义域（共5小题） 三．求对数型复合函数的定义域（共6小题） 四．求对数函数的值域（共5小题） 五．求对数型复合函数的值域（共7小题） 六．对数函数的图象（共2小题） 七．对数函数图象特征与底数的关系（共2小题） 八．对数函数及对数型复合函数的图象（共3小题） 九．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共6小题） 十．由对数函数的单调性求解参数（共3小题） 十一．对数值大小的比较（共5小题） 十二．指数函数与对数函数的关系（共5小题） 十三．对数函数图象与性质的综合应用（共3小题） 【知识点清单】 1．对数函数的定义 【知识点的认识】 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b． 底数则要大于0且不为1． 2．求对数函数的定义域 【知识点的认识】 对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝logax，定义域为x＞0． 3．求对数型复合函数的定义域 【知识点的认识】 对数型复合函数的定义域是使整个复合函数有意义的自变量取值范围． 【解题方法点拨】 ﹣分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义． ﹣分析外层对数函数的定义域，确保整个复合函数有意义． ﹣结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域． 4．求对数函数的值域 【知识点的认识】 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 定点：函数图象恒过定点（1，0） 5．求对数型复合函数的值域 【知识点的认识】 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 对数型复合函数的值域是指复合函数输出值的范围． 【解题方法点拨】 ﹣确定内层函数的值域． ﹣将内层函数的值域代入外层对数函数，分析外层函数的值域． ﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域． 6．对数函数的图象 【知识点的认识】 7．对数函数图象特征与底数的关系 【知识点的认识】 对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同． 0＜a＜1 a＞1 图像 【解题方法点拨】 ﹣当0＜a＜1时，对数函数单调递减，图象从左上到右下． ﹣当a＞1时，对数函数单调递增，图象从左下到右上． ﹣分析底数a的取值，确定图象特征． 8．对数函数及对数型复合函数的图象 【知识点的认识】 对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同． 0＜a＜1 a＞1 图像 9.求对数函数及对数型复合函数的单调性 【知识点的认识】 对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 【解题方法点拨】 ﹣分析对数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1时，对数函数单调递增；当0＜a＜1时，对数函数单调递减． ﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层对数函数确定复合函数的整体单调性． ﹣验证单调性的准确性． 10．由对数函数的单调性求解参数 【知识点的认识】 对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 【解题方法点拨】 ﹣分析已知单调性条件，设定对数函数的形式． ﹣利用单调性条件，求解对数函数的参数． ﹣验证求解结果的正确性． 11．对数值大小的比较 【知识点的认识】 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大） 12．指数函数与对数函数的关系 【知识点的认识】 指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 14．对数函数图象与性质的综合应用 【知识点的认识】 1、对数函数的图象与性质： a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 （0，+∞） 值域 R 定点 过点（1，0） 单调性 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 函数值正负 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0 2、由对数函数的图象确定参数的方法 已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围． 【解题方法点拨】 1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法 （1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开； （2）将同底对数的和、差、倍合并； （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用； （4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1． 2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点 （1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”． （2）对数函数y＝log ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限． （3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系． 【命题方向】 （1）比较对数式的大小： ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． （2）解对数不等式： 形如log ax＞log ab的不等式，借助y＝log ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log ax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/29 22:34:47；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 一．对数函数的定义（共6小题） 1．若函数y＝logax+a2﹣3a+2为对数函数，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 （多选）2．下列函数表达式中，是对数函数的有（　　） A．y＝logπx B． C．y＝log4x2 D．y＝log2（x+1） 3．对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范围是　 　 ． 4．已知函数f（x）＝3loga（2x﹣3）+5（a＞0且a≠1）的图象经过定点P，则点P的坐标是 　 　 ． 5．点P（16，2），Q（t，log23）都在同一个对数函数上，则t＝　 　 ． 6．已知对数函数过点（4，2），则其解析式为 　 　 ． 二．求对数函数的定义域（共5小题） 7．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（　　） A．0＜a＜1 B．0＜a＜2且a≠1 C．1＜a＜2 D．a≥2 8．设集合，则集合A∩B的元素个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 9．已知集合，B＝{x|y＝ln（x2+3x+2）}，则A∩∁RB＝（　　） A．（﹣1，+∞） B． C． D． 10．使式子log（2x﹣1）（2﹣x）有意义的x的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C． D． 11．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 三．求对数型复合函数的定义域（共6小题） 12．函数的定义域为（　　） A．（2，3） B．（﹣∞，3） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，3） 13．函数的定义域是（　　） A．（﹣∞，3] B．（3，4） C．（3，4] D．（4，+∞） 14．函数的定义域是（　　） A． B．[1，+∞） C． D．（﹣∞，1] 15．已知函数，则f（2x）的定义域为（　　） A．[﹣4，1） B．[﹣4，1] C． D．[﹣8，2） 16．函数的定义域是 　 　 ． 17．已知函数．若定义域为R，则实数a的取值范围为 　 　 ． 四．求对数函数的值域（共5小题） 18．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，3] B．（1，2] C．（1，3] D．[2，+∞） 19．已知函数f（x）＝log2（2﹣x）的值域为（﹣∞，1]，则函数f（2x）的定义域为（　　） A．[0，+∞） B．[0，2） C．[0，1） D．（﹣∞，1） 20．已知f（x）＝lg（ax2+2ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 21．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝lnex的定义域和值域相同的是（　　） A．y＝x B．y＝lnx C．y＝ex D． 22．函数的值域为A，的定义域为B． （1）求A； （2）若B∩∁RA＝∅，求实数a的取值范围． 五．求对数型复合函数的值域（共7小题） 23．已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），的值域为[2，+∞），则a﹣b＝（　　） A．0 B．1 C．3 D．5 24．已知函数的值域是R，则实数a的最大值是 　 　 ． 25．函数的值域为 　 　 ． 26．已知函数． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围． （2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围． 27．已知函数． （1）若f（x）≤0，求x的取值范围； （2）当时，求函数f（x）的值域． 28．设函数（a＞0且a≠1，b∈R），已知f（2）＝1，f（loga6）＝2． （1）求f（x）的定义域； （2）是否存在实数λ，使得f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m﹣λ，2n﹣λ]？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 29．已知函数f（x）＝loga[（x﹣4a）（x﹣6a）]（a＞0且a≠1）． （Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的单调增区间； （Ⅱ）是否存在α，β∈（0，4a），使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logaβ，logaα]？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由． 六．对数函数的图象（共2小题） 30．已知x≥1，f（x）＝lnx，，三个函数图象如图所示，则f（x），g（x），h（x）的图象依次为图中的（　　） A．C1，C2，C3 B．C3，C2，C1 C．C2，C3，C1 D．C1，C3，C2 31．已知实数a＞1，正方形PQRS满足PQ∥x轴，且P，Q，R分别在y＝logax，y＝2logax，y＝5logax的图象上，若正方形PQRS的面积为36，则a＝（　　） A． B． C． D． 七．对数函数图象特征与底数的关系（共2小题） 32．已知lga+lgb＝0（a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝logbx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 33．若0＜c＜1＜b＜a，则（　　） A．bc＞ac B．ca＞cb C．ca＞logba D．logac＞logbc 八．对数函数及对数型复合函数的图象（共3小题） 34．已知实数m＞0且m≠1，函数y＝logm（x+n）的大致图象如下，则m，n的取值范围可能为（　　） A．m＞1，n＞1 B．m＞1，0＜n＜1 C．0＜m＜1，n＞1 D．0＜m＜1，0＜n＜1 （多选）35．已知函数f（x）＝|ln（2+x）|﹣|ln（2﹣x）|，则下列判断正确的是（　　） A．函数y＝f（x）是奇函数 B．函数y＝f（x）的最大值是ln3 C．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣x有三个交点 36．已知函数，若f（a）＝f（b），且a≠b，则ab＝ 　 　 ． 九．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共6小题） 37．若，则（　　） A．ln（m﹣n+1）＞0 B．ln（n﹣m+1）＞0 C． D． 38．已知函数f（x）＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|，则f（x）（　　） A．是偶函数，且在区间（1，+∞）上单调递增 B．是奇函数，且在区间（﹣1，1）上单调递减 C．是偶函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增 D．是奇函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减 39．已知函数在[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣4，2] D．[﹣1，2] 40．已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）在[2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A． B．（0，1） C． D．（1，+∞） 41．函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣1，1） D．（﹣3，﹣1） （多选）42．关于函数f（x）＝lg（1），下列说法正确的有（　　） A．f（x）的定义域为（﹣1，1） B．f（x）的函数图象关于y轴对称 C．f（x）的函数图象关于原点对称 D．f（x）在（0，1）上单调递增 十．由对数函数的单调性求解参数（共3小题） 43．已知，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 44．若函数（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．（1，+∞） 45．已知f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，且a≠1）在（0，4）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C．（1，2） D．（1，2] 十一．对数值大小的比较（共5小题） 46．函数f（x）＝|lgx|，若a＝f（0.1），b＝f（1），c＝f（2），则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 47．已知a＝0.3﹣0.2，b＝log52，c＝log74，则（　　） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b 48．设，b＝log38，c＝log25，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 49．若a＝log23，b＝log45，c＝21﹣b，则（　　） A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 50．已知a＝log32，b＝log23，c＝log34，则（　　） A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞c＞a 十二．指数函数与对数函数的关系（共5小题） 51．已知x1+2x1＝4，x2+log2x2＝4，则x1+x2的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 52．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论错误的是（　　） A．x1+x2＝2 B． C．x1lnx2+x2lnx1＞0 D． （多选）53．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B． C． D．x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2） （多选）54．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B． C．x1lnx2+x2lnx1＜0 D． （多选）55．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论，则其中正确的结论是（　　） A．x1+x2＝2 B． C． D．x1lnx2+x2lnx1＜0 十三．对数函数图象与性质的综合应用（共3小题） 56．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）． （1）若f（x）在区间[4，16]上的最大值与最小值之差为2，求实数a的值； （2）若函数的值域为[1，+∞），求使得f（1﹣t）≤1的实数t的取值范围． 57．已知函数． （1）当x∈[1，4]时，求函数的值域． （2）若存在x∈[4，16]，使得不等式f（x）≤mlog4x成立，求实数m的取值范围． 58．已知函数f（x）＝log2（2x+1）． （1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增； （2）记g（x）＝log2（2x﹣1）（x＞0）．若关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高一数学常考题型归纳 【对数函数的图像与性质】 总览 题型梳理 一．对数函数的定义（共6小题） 二．求对数函数的定义域（共5小题） 三．求对数型复合函数的定义域（共6小题） 四．求对数函数的值域（共5小题） 五．求对数型复合函数的值域（共7小题） 六．对数函数的图象（共2小题） 七．对数函数图象特征与底数的关系（共2小题） 八．对数函数及对数型复合函数的图象（共3小题） 九．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共6小题） 十．由对数函数的单调性求解参数（共3小题） 十一．对数值大小的比较（共5小题） 十二．指数函数与对数函数的关系（共5小题） 十三．对数函数图象与性质的综合应用（共3小题） 【知识点清单】 1．对数函数的定义 【知识点的认识】 一般地，如果a（a＞0，且a≠1）的b次幂等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．即ab＝N，logaN＝b． 底数则要大于0且不为1． 2．求对数函数的定义域 【知识点的认识】 对数函数的定义域是使对数有意义的自变量取值范围，对于y＝logax，定义域为x＞0． 3．求对数型复合函数的定义域 【知识点的认识】 对数型复合函数的定义域是使整个复合函数有意义的自变量取值范围． 【解题方法点拨】 ﹣分析内层函数的定义域，确保内层函数有意义． ﹣分析外层对数函数的定义域，确保整个复合函数有意义． ﹣结合内外层函数的定义域，确定复合函数的定义域． 4．求对数函数的值域 【知识点的认识】 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 定点：函数图象恒过定点（1，0） 5．求对数型复合函数的值域 【知识点的认识】 一般地，我们把函数y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R． 对数型复合函数的值域是指复合函数输出值的范围． 【解题方法点拨】 ﹣确定内层函数的值域． ﹣将内层函数的值域代入外层对数函数，分析外层函数的值域． ﹣结合内外层函数的值域，确定复合函数的值域． 6．对数函数的图象 【知识点的认识】 7．对数函数图象特征与底数的关系 【知识点的认识】 对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同． 0＜a＜1 a＞1 图像 【解题方法点拨】 ﹣当0＜a＜1时，对数函数单调递减，图象从左上到右下． ﹣当a＞1时，对数函数单调递增，图象从左下到右上． ﹣分析底数a的取值，确定图象特征． 8．对数函数及对数型复合函数的图象 【知识点的认识】 对数函数的图象特征与其底数a有关，不同底数的对数函数图象形态不同． 0＜a＜1 a＞1 图像 9.求对数函数及对数型复合函数的单调性 【知识点的认识】 对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 【解题方法点拨】 ﹣分析对数函数的解析式，确定其单调性：当a＞1时，对数函数单调递增；当0＜a＜1时，对数函数单调递减． ﹣对于复合函数，分析内层函数的单调性，再结合外层对数函数确定复合函数的整体单调性． ﹣验证单调性的准确性． 10．由对数函数的单调性求解参数 【知识点的认识】 对数函数的单调性 当a＞1时，y＝logax在（0，+∞）上为增函数 当0＜a＜1时，y＝logax在（0，+∞）上为减函数 【解题方法点拨】 ﹣分析已知单调性条件，设定对数函数的形式． ﹣利用单调性条件，求解对数函数的参数． ﹣验证求解结果的正确性． 11．对数值大小的比较 【知识点的认识】 1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较． 2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较 3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大） 12．指数函数与对数函数的关系 【知识点的认识】 指数函数和对数函数的关系： （1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称． （2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数． （3）指数函数与对数函数的联系与区别： 14．对数函数图象与性质的综合应用 【知识点的认识】 1、对数函数的图象与性质： a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 （0，+∞） 值域 R 定点 过点（1，0） 单调性 在（0，+∞）上是增函数 在（0，+∞）上是减函数 函数值正负 当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0 当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞0 2、由对数函数的图象确定参数的方法 已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围． 【解题方法点拨】 1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法 （1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开； （2）将同底对数的和、差、倍合并； （3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用； （4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1． 2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点 （1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”． （2）对数函数y＝log ax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限． （3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系． 【命题方向】 （1）比较对数式的大小： ①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． ②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． ③若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较． （2）解对数不等式： 形如log ax＞log ab的不等式，借助y＝log ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log ax＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/7/29 22:34:47；用户：张旺清（小初高数）；邮箱：lwjxqz15@xyh.com；学号：21557663 题型分类 知识讲解与常考题型 一．对数函数的定义（共6小题） 1．若函数y＝logax+a2﹣3a+2为对数函数，则a＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】对数函数的定义．版权所有 【分析】由题意利用对数函数的定义，求得a的值． 【解答】解：∵函数为对数函数，∴a2﹣3a+2＝0，则a＝1（舍去）或a＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查对数函数的定义，属于基础题． （多选）2．下列函数表达式中，是对数函数的有（　　） A．y＝logπx B． C．y＝log4x2 D．y＝log2（x+1） 【考点】对数函数的定义．版权所有 【分析】根据对数函数的定义知，形如y＝logax（a＞0且a≠1）函数符合要求可得解． 【解答】解：根据对数函数的定义知，y＝logπx，是对数函数，故AB正确； 而，y＝log2（x+1）不符合对数函数的定义，故CD错误． 故选：AB． 【点评】本题主要考查对数函数的定义，属于基础题． 3．对数表达式log（x﹣1）（5﹣x）中的x的取值范围是　（1，2）∪（2，5）　 ． 【考点】对数函数的定义．版权所有 【分析】直接根据底数与真数满足的条件求解即可． 【解答】解：∵对数式的底数需大于0不等于1，真数大于0； 故需：⇒⇒x的取值范围是：（1，2）∪（2，5）． 故答案为：（1，2）∪（2，5）． 【点评】本题主要考查对数表达式中底数与真数所满足的条件，属于基础题． 4．已知函数f（x）＝3loga（2x﹣3）+5（a＞0且a≠1）的图象经过定点P，则点P的坐标是 　（2，5）　 ． 【考点】对数函数的定义；对数函数图象特征与底数的关系．版权所有 【分析】由loga1＝0，令2x﹣3＝1，解得x＝2，代入即可得解． 【解答】解：因为loga1＝0，所以令2x﹣3＝1，解得x＝2，所以f（2）＝3loga1+5＝5， 即函数f（x）＝3loga（2x﹣3）+5（a＞0且a≠1）的图象经过定点P（2，5）． 故答案为：（2，5）． 【点评】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题． 5．点P（16，2），Q（t，log23）都在同一个对数函数上，则t＝　9　 ． 【考点】对数函数的定义；对数的运算性质．版权所有 【分析】设出函数解析式，利用P得出解析式，代入Q可得答案． 【解答】解：设对数函数为y＝logax，因为P（16，2）在函数上，所以loga16＝2，解得a＝4； 因为Q（t，log23）也在函数上，所以log4t＝log23，解得t＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查对数函数的定义，属于基础题． 6．已知对数函数过点（4，2），则其解析式为 　f（x）＝log2x　 ． 【考点】对数函数的定义．版权所有 【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可． 【解答】解：设对数函数解析式为f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）， 因为对数函数过点（4，2）， 所以loga4＝2，解得a＝2， 所以对数函数解析式为f（x）＝log2x． 故答案为：f（x）＝log2x． 【点评】本题主要考查了对数函数解析式的求解，属于基础题． 二．求对数函数的定义域（共5小题） 7．若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（　　） A．0＜a＜1 B．0＜a＜2且a≠1 C．1＜a＜2 D．a≥2 【考点】求对数函数的定义域．版权所有 【分析】结合对数函数的性质即可求解． 【解答】解：若函数的定义域为R， 则x2﹣ax+1＞0恒成立， 所以Δ＝a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2， 又a＞0且a≠1， 故0＜a＜2且a≠1． 故选：B． 【点评】本题主要考查了对数函数的性质的应用，属于基础题． 8．设集合，则集合A∩B的元素个数为（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】求对数函数的定义域；求集合的交集．版权所有 【分析】将集合B中的函数定义域求出来，再求集合A，B的交集． 【解答】解：因为B＝{x|y}， 所以要使得函数有意义，则，解得1＜x≤3且x≠2； 所以B＝（1，2）∪（2，3]． 所以A∩B＝{3}，只有1个元素． 故选：C． 【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题． 9．已知集合，B＝{x|y＝ln（x2+3x+2）}，则A∩∁RB＝（　　） A．（﹣1，+∞） B． C． D． 【考点】求对数函数的定义域；集合的交并补混合运算；解一元二次不等式．版权所有 【分析】求出函数定义域分别化简集合A，B，再利用补集、交集的定义求解即得． 【解答】解：由2x+3≥0，得，则， 由x2+3x+2＞0，得（x+1）（x+2）＞0，解得x＜﹣2或x＞﹣1， 则B＝{x|y＝ln（x2+3x+2）}＝（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞），可得∁RB＝[﹣2，﹣1]， 故A∩∁RB＝[，+∞）∩[﹣2，﹣1]． 故选：B． 【点评】本题考查函数定义域的求法，考查交集及其运算，是基础题． 10．使式子log（2x﹣1）（2﹣x）有意义的x的取值范围是（　　） A．（2，+∞） B．（﹣∞，2） C． D． 【考点】求对数函数的定义域．版权所有 【分析】由对数函数的定义构造不等式即可求解． 【解答】解：log（2x﹣1）（2﹣x）有意义 则，解得：且x≠1， 所以x的取值范围是． 故选：D． 【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题． 11．函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【考点】求对数函数的定义域．版权所有 【分析】根据对数、根式、分式的性质求函数定义域． 【解答】解：由题知，可得， 故f（x）的定义域为{x|}． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题． 三．求对数型复合函数的定义域（共6小题） 12．函数的定义域为（　　） A．（2，3） B．（﹣∞，3） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）∪（2，3） 【考点】求对数型复合函数的定义域．版权所有 【分析】使分母不等于0，及对数的真数大于0即可求解． 【解答】解：由题意可得，，解得x＜3且x≠2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题． 13．函数的定义域是（　　） A．（﹣∞，3] B．（3，4） C．（3，4] D．（4，+∞） 【考点】求对数型复合函数的定义域．版权所有 【分析】由对数函数的性质列出不等式，求解即可． 【解答】解：由题意得：， 解得x≤3． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题． 14．函数的定义域是（　　） A． B．[1，+∞） C． D．（﹣∞，1] 【考点】求对数型复合函数的定义域．版权所有 【分析】欲使函数有意义，须，解之得函数的定义域即可． 【解答】解：欲使函数的有意义， 须， ∴ 解之得： 故选：C． 【点评】对数的真数必须大于0是研究对数函数的定义域的基本方法，其中，若底数含有参数，必须分类讨论，结论也必须分情况进行书写． 15．已知函数，则f（2x）的定义域为（　　） A．[﹣4，1） B．[﹣4，1] C． D．[﹣8，2） 【考点】求对数型复合函数的定义域．版权所有 【分析】求出函数f（x）的定义域，再求出复合函数定义域即得． 【解答】解：函数中，，解得﹣4≤x＜1，即函数f（x）的定义域为[﹣4，1）， 因此在f（2x）中，﹣4≤2x＜1，解得， 所以f（2x）的定义域为． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题． 16．函数的定义域是 　{x|且x≠2}　 ． 【考点】求对数型复合函数的定义域．版权所有 【分析】由已知结合函数成立的条件即可求解． 【解答】解：由题意可得，，解得且x≠2． 故答案为：{x|且x≠2}． 【点评】本题主要考查了函数定义域的求解，属于基础题． 17．已知函数．若定义域为R，则实数a的取值范围为 　　 ． 【考点】求对数型复合函数的定义域．版权所有 【分析】由题意，恒成立．结合二次函数的图象与性质分别讨论a＝0、a＞0和a＜0情况下即可． 【解答】解：函数定义域为R， 则恒成立． 当a＝0时，不恒成立； 当a＞0时，由， 解得，此时f（x）的定义域为R； 当a＜0时，抛物线的开口向下，函数值不可能恒大于0． 综上，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数型复合函数的定义域，属于中档题． 四．求对数函数的值域（共5小题） 18．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围为（　　） A．（2，3] B．（1，2] C．（1，3] D．[2，+∞） 【考点】求对数函数的值域．版权所有 【分析】先求解y＝log2x，x≥2的值域，结合f（x）的值域为R，分析y＝（a﹣1）x+5﹣3a，x＜2的单调性、值域，可得关于a的不等式组，求解即可． 【解答】解：∵函数y＝log2x，x≥2在[2，+∞）上单调递增， ∴y≥log22＝1， 又∵f（x）的值域为R， 则y＝（a﹣1）x+5﹣3a，x＜2需满足， ，解得1＜a≤2． 故选：B． 【点评】本题考查分段函数值域的求法，考查化归与转化思想，是中档题． 19．已知函数f（x）＝log2（2﹣x）的值域为（﹣∞，1]，则函数f（2x）的定义域为（　　） A．[0，+∞） B．[0，2） C．[0，1） D．（﹣∞，1） 【考点】求对数函数的值域．版权所有 【分析】先求出f（x）的定义域，再结合抽象函数定义域的求法，即可求解． 【解答】解：由f（x）＝log2（2﹣x）值域为（﹣∞，1]，得0＜2﹣x≤2， 故0≤x＜2，即f（x）的定义域为[0，2）， 令0≤2x＜2得0≤x＜1，故f（2x）的定义域为[0，1）． 故选：C． 【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题． 20．已知f（x）＝lg（ax2+2ax+1）的值域为R，则实数a的取值范围为（　　） A．（0，1） B．（0，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞） 【考点】求对数函数的值域．版权所有 【分析】设t＝ax2+2ax+1，由值域为R，可以得到t能取遍所有正数，从而求解． 【解答】解：设t＝ax2+2ax+1， 又∵f（x）值域为R，∴t能取遍所有正数， ∴，解得a≥1． 故选：C． 【点评】本题主要考查对数型函数的值域，属于基础题． 21．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝lnex的定义域和值域相同的是（　　） A．y＝x B．y＝lnx C．y＝ex D． 【考点】求对数函数的值域．版权所有 【分析】先判断已知函数的定义域及值域，然后检验各选项即可判断． 【解答】解：因为y＝lnex＝x，定义域和值域都为R， 结合选项可知，y＝x符合题意； y＝lnx定义域（0，+∞），不符合题意； y＝ex的值域（0，+∞），不符合题意；， y的值域（0，+∞），不符合题意． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数定义域及值域的求解，属于基础题． 22．函数的值域为A，的定义域为B． （1）求A； （2）若B∩∁RA＝∅，求实数a的取值范围． 【考点】求对数函数的值域；集合交并补混合关系的应用．版权所有 【分析】（1）利用对数函数的单调性求出函数在上的最大值和最小值，即可得出集合； （2）求出集合B＝{x|﹣a＜x≤﹣a+1}，利用集合的包含关系可得出不等式组，解之即可． 【解答】解：（1）因为在上单调递减， 所以当时y有最大值，且最大值为， 当x＝2，y有最小值，且最小值为， 所以A＝{x|﹣1≤x≤4}； （2）由，得， 即（x+a﹣1）（x+a）≤0且x+a≠0， 解得﹣a＜x≤﹣a+1， 所以B＝{x|﹣a＜x≤﹣a+1}， 又因为A＝{x|﹣1≤x≤4}，且B⊆A， 所以， 解得﹣3≤a≤1， 故实数a的取值范围[﹣3，1]． 【点评】本题主要考查了对数函数的值域，考查了集合间的包含关系，属于中档题． 五．求对数型复合函数的值域（共7小题） 23．已知函数f（x）＝2x+1（x≥2）的值域为[a，+∞），的值域为[2，+∞），则a﹣b＝（　　） A．0 B．1 C．3 D．5 【考点】求对数型复合函数的值域；由值域求解函数或参数；指数函数的值域．版权所有 【分析】结合指数函数及对数函数的性质可求a，b，进而可求． 【解答】解：当x≥2时，f（x）＝2x+1≥5， 由题意可得a＝5， 因为的值域为[2，+∞）， 所以y＝x2﹣8x+5b＝（x﹣4）2+5b﹣16的值域为[9，+∞）， 所以5b﹣16＝9，即b＝5， 则a﹣b＝0． 故选：A． 【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数值域的求解，属于基础题． 24．已知函数的值域是R，则实数a的最大值是 　8　 ． 【考点】求对数型复合函数的值域．版权所有 【分析】根据已知条件，可知f（x）在[0，+∞）上的最小值小于或等于3，然后判断其单调性，列出不等式求出a的范围． 【解答】解：当x＜0时，． 因为f（x）的值域为R，所以当x≥0时，f（x）min≤3． 当x≥0时，f（x）＝x2+2x+a＝（x+1）2+a﹣1， 故f（x）在[0，+∞）上单调递增，可得[f（x）]min＝f（0）≤3， 即log2a≤3，解得log2a≤log223，可得0＜a≤8，因此a的最大值为8． 故答案为：8． 【点评】本题主要考查函数的单调性与值域、分段函数的应用等知识，属于基础题． 25．函数的值域为 　[，+∞）　 ． 【考点】求对数型复合函数的值域．版权所有 【分析】先结合对数运算性质进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解． 【解答】解：（2+log2x）（2log2x﹣6）＝2（log2x）2﹣2log2x﹣12， 根据二次函数的性质可知，当log2x时，函数取得最小值，没有最大值， 故函数的值域为[，+∞）． 故答案为：[，+∞）． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质及二次函数的性质在函数值域求解中的应用，属于基础题． 26．已知函数． （1）若f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围． （2）若f（x）的值域为R，求实数a的取值范围． 【考点】求对数型复合函数的值域；求对数函数的定义域．版权所有 【分析】（1）由题意得到ax2﹣6x+18＞0恒成立，再通过讨论a求解即可； （2）通过a＝0，a≠0两类情况讨论即可； 【解答】解：（1）由f（x）（ax2﹣6x+18）的定义域为R，得ax2﹣6x+18＞0恒成立， a＝0时，f（x）（18﹣6x）的定义域为（﹣∞，3），不符合题意． a≠0时，解得a． 综上，a的取值范围是（，+∞）． （2）a＝0时，f（x）（18﹣6x）的值域为R，符合题意． a≠0时，解得0＜a． 综上，a的取值范围是[0，]． 【点评】本题考查了对数函数的图象与性质应用问题，是基础题． 27．已知函数． （1）若f（x）≤0，求x的取值范围； （2）当时，求函数f（x）的值域． 【考点】求对数型复合函数的值域．版权所有 【分析】（1）应用换元法令，结合二次不等式即可求解； （2）应用换元法令，结合二次函数的值域即可求解． 【解答】解：（1）令，则y＝t2﹣3t﹣4，t∈R， 由f（x）≤0，得t2﹣3t﹣4≤0，即（t﹣4）（t+1）≤0，解得﹣1≤t≤4， 即，解得，所以x的取值范围是； （2）当时，，即y＝t2﹣3t﹣4，t∈[﹣2，3]， 当时，， 当t＝﹣2时，ymax＝4+6﹣4＝6， 所以函数f（x）的值域为． 【点评】本题考查了对数函数的性质，涉及到二次函数的性质，属于基础题． 28．设函数（a＞0且a≠1，b∈R），已知f（2）＝1，f（loga6）＝2． （1）求f（x）的定义域； （2）是否存在实数λ，使得f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m﹣λ，2n﹣λ]？若存在，请求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由． 【考点】求对数型复合函数的值域．版权所有 【分析】（1）由f（2）＝1和f（loga6）＝2求得a，b，得函数解析式，即可确定定义域； （2）假设存在实数λ，n＞m＞1，判断出f（x）的单调性，由单调性变形并换元后转化成二次方程有两个不等的实根，再由二次方程根的分布知识可得结论． 【解答】解：（1）由f（2）＝1，得，即a2﹣a﹣b＝0，① 由f（loga6）＝2，得loga（6﹣b）＝2，即6﹣b＝a2，② 由①②得2a2﹣a﹣6＝0，解得a＝2，或（舍），b＝2， 所以， 由2x﹣2＞0得x＞1， 故f（x）的定义域为（1，+∞）； （2）假设存在实数λ，n＞m＞1，使得f（x）在区间[m，n]上的值域是[2m﹣λ，2n﹣λ]． 令u＝2x﹣2，（u＞0），则u在（1，+∞）上单调递增， 而y＝log2u在（0，+∞）上单调递增，故f（x）在（1，+∞）上单调递增， 所以，即． 令，，，则t1，t2为方程t2﹣t0t+2t0＝0的两个不等实数根且t1，t2＞2， 令g（t）＝t2﹣t0t+2t0，则，即，解得t0＞8． 即2λ＞8，λ＞3，故存在实数λ符合条件，λ的取值范围是（3，+∞）． 【点评】本题考查函数解析式的求法及函数的定义域的求法，函数的单调性的应用，属于中档题． 29．已知函数f（x）＝loga[（x﹣4a）（x﹣6a）]（a＞0且a≠1）． （Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的单调增区间； （Ⅱ）是否存在α，β∈（0，4a），使f（x）在区间[α，β]上的值域是[logaβ，logaα]？若存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由． 【考点】求对数型复合函数的值域．版权所有 【分析】（Ⅰ）将a的值代入，由复合函数的点调性可得函数的单调递增区间； （Ⅱ）分a＞1和0＜a＜1两种情况讨论，由题意可得关于a的不等式组，进而可得a的范围． 【解答】解：（Ⅰ）a＝2时，f（x）＝log2[（x﹣8）（x﹣12）]，定义域为：（﹣∞，8）∪（12，+∞）， 由复合函数的点调性可得：f（x）的单调递增区间与函数y＝（x﹣8）（x﹣12）在定义域 （﹣∞，8）∪（12，+∞）上单调递增性一致， 所以f（x）的单调增区间为：（12，+∞）． （Ⅱ）令g（x）＝（x﹣4a）x﹣6a），则g（x）在（0，4a）上单调递减， 当a＞1，且f（x）在区间[α，β]上的值域是[logaβ，logaα]， 即g（x）在区间[α，β]上的值域是[β，α]． 故必须，即α，β是g（x）＝x的在（0，4a）的两个不等实根． 而y＝g（x）与y＝x在（0，4a）上只有一个交点，不符合（舍）， 当 0＜a＜1，且f（x）在区间[α，β]上的值域是[logaβ，logaα]， 即g（x）在区间[α，β]上的值域是[α，β]． 故必须，即， 由①②得α+β﹣10a＝﹣1，得β＝﹣α+10a﹣1，代入①得： α2+（1﹣10a）α+24a2﹣10a+1＝0，同理β2+（1﹣10a）β+24a2﹣10a+1＝0， 令h（x）＝x2+（1﹣10a）x+24a2﹣10a+1， 则h（x）在（0，4a）有两个零点，即， 得到， ∴， ∴a的范围为：（，）． 【点评】本题考查函数与方程的综合应用，复合函数的单调性，函数的定义域与值域，函数的零点与方程根的关系，对数函数及其性质，属于中档题． 六．对数函数的图象（共2小题） 30．已知x≥1，f（x）＝lnx，，三个函数图象如图所示，则f（x），g（x），h（x）的图象依次为图中的（　　） A．C1，C2，C3 B．C3，C2，C1 C．C2，C3，C1 D．C1，C3，C2 【考点】对数函数的图象．版权所有 【分析】根据题意，令x＝2，可得f（2）＝ln2，，，结合指数函数与对数函数的性质，得到h（2）＞f（2）＞g（2），进而得到答案． 【解答】解：令x＝2，可得，，f（2）＝ln2， 因为4＞e，所以，， 又因为16＜e3，可得，即， 所以h（2）＞f（2）＞g（2）， 所以f（x），g（x），h（x）的图象依次为图中的C2，C3，C1． 故选：C． 【点评】本题注意考查函数图象，属于基础题． 31．已知实数a＞1，正方形PQRS满足PQ∥x轴，且P，Q，R分别在y＝logax，y＝2logax，y＝5logax的图象上，若正方形PQRS的面积为36，则a＝（　　） A． B． C． D． 【考点】对数函数的图象；对数的运算性质．版权所有 【分析】根据图形的性质和对数的性质列出等式，并利用正方形的面积求出边长，从而可求得a的值． 【解答】解：∵PQ∥x轴，点P，Q，R分别在y＝logax，y＝2logax，y＝5logax上， ∴logaxP＝2logaxQ，化简得． 而xQ＝xR，∵正方形的边长相等，∴PQ＝QR， 即|xP﹣xQ|＝|5logaxR﹣2logaxQ|， 化简得． ∵正方形的面积为36，∴边长为6， ∴，解得xQ＝3， ∴|loga3|＝2，又a＞1，∴a． 故选：A． 【点评】本题考查了对数的运算性质应用问题，是基础题． 七．对数函数图象特征与底数的关系（共2小题） 32．已知lga+lgb＝0（a＞0，b＞0，且a≠1，b≠1），则函数f（x）＝a﹣x与g（x）＝logbx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．版权所有 【分析】分析可知，b，再由指数函数及对数函数的性质即可得解． 【解答】解：由lga+lgb＝0可知，b， 故f（x）＝a﹣x＝bx， 故函数f（x）＝a﹣x与函数g（x）＝logbx的单调性相同． 故选：B． 【点评】本题考查对数运算及指数函数，对数函数的图象及性质，属于基础题． 33．若0＜c＜1＜b＜a，则（　　） A．bc＞ac B．ca＞cb C．ca＞logba D．logac＞logbc 【考点】对数函数图象特征与底数的关系；指数函数图象特征与底数的关系．版权所有 【分析】根据不等式的基本性质以及指数函数、幂函数和对数函数的性质即可判断． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，0＜c＜1，则函数y＝xc在（0，+∞）上为增函数． 又1＜b＜a，则bc＜ac，故A错误； 对于B，0＜c＜1，函数y＝cx在（0，+∞）上为减函数． 又1＜b＜a，则ca＜cb，故B错误； 对于C，0＜c＜1，函数y＝cx在（0，+∞）上为减函数， 1＜a，则ca＜c1＜1． 又由1＜b，则对数函数y＝logbx在（0，+∞）上为增函数， 又1＜b＜a，则有logba＞logbb＝1，故ca＜logba，故C错误； 对于D，0＜c＜1，函数y＝logcx在（0，+∞）上单调递减， 则有logca＜logcb＜logc1＝0，变形可得，即logac＞logbc，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查指数函数、对数函数的性质和应用，涉及不等式的性质，属于基础题． 八．对数函数及对数型复合函数的图象（共3小题） 34．已知实数m＞0且m≠1，函数y＝logm（x+n）的大致图象如下，则m，n的取值范围可能为（　　） A．m＞1，n＞1 B．m＞1，0＜n＜1 C．0＜m＜1，n＞1 D．0＜m＜1，0＜n＜1 【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．版权所有 【分析】利用对数函数的图象与性质分析判断即可． 【解答】解：由y＝logm（x+n）的图象可得0＜m＜1， 又当x＝0时，logmn＜0， 故n＞1． 故选：C． 【点评】本题考查对数函数的图象与性质，属于基础题． （多选）35．已知函数f（x）＝|ln（2+x）|﹣|ln（2﹣x）|，则下列判断正确的是（　　） A．函数y＝f（x）是奇函数 B．函数y＝f（x）的最大值是ln3 C．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称 D．函数y＝f（x）的图象与直线y＝﹣x有三个交点 【考点】对数函数及对数型复合函数的图象；函数的图象与图象的变换．版权所有 【分析】选项A，根据奇函数的定义可判断；选项B，根据由函数y＝f（x）是奇函数，考虑x∈（0，2）时，由ln（2﹣x）的正负分为x∈（0，1）和x∈[1，2）分别求函数的值域即可；选项C由函数的定义域可判断；选项D结合函数的奇偶性和单调性画出图象即可判断． 【解答】解：对于选项A，由，解得﹣2＜x＜2， 所以函数的定义域为（﹣2，2），关于原点对称， 又f（﹣x）＝|ln（2﹣x）|﹣|ln（2+x）|＝﹣f（x）， 所以函数y＝f（x）是奇函数，故A正确； 对于选项B，由于函数y＝f（x）是奇函数，先考虑x∈（0，2）， 当x∈（0，1）时，， 此时函数在区间（0，1）上单调递增， 因x∈（0，1），故，， 当x∈[1，2）时，f（x）＝ln（2+x）+ln（2﹣x）＝ln（4﹣x2）， 此时函数在区间[1，2）上单调递减， 因x∈[1，2）时，4﹣x2∈（0，3]，ln（4﹣x2）∈（﹣∞，ln3]， 故x∈（0，2）时，f（x）∈（﹣∞，ln3]， 由奇函数的性质，当x∈（﹣2，0）时，f（x）∈[﹣ln3，+∞）， 所以f（x）不存在最大值，故B错误； 对于选项CD，因为当x→﹣2时，f（x）→+∞，当x→2时，f（x）→﹣∞，结合B选项，画出f（x）的图象，如图所示： 所以函数y＝f（x）的图象不关于直线x＝1对称，故C错误； 函数f（x）的图象与直线y＝﹣x有三个交点，故D正确． 故选：AD． 【点评】本题主要考查了对数函数的图象和性质，考查了函数的奇偶性和对称性，属于中档题． 36．已知函数，若f（a）＝f（b），且a≠b，则ab＝ 　　 ． 【考点】对数函数及对数型复合函数的图象．版权所有 【分析】不妨设，去绝对值符号，再根据对数的运算性质即可得解． 【解答】解：已知函数，若f（a）＝f（b），且a≠b， 令，则， 函数在（0，+∞）上单调递增， 不妨设， 由f（a）＝f（b）可得， 去绝对值化简得， 故ln（ab）＝﹣1，所以． 故答案为：． 【点评】本题考查对数型函数相关知识，属于中档题． 九．求对数函数及对数型复合函数的单调性（共6小题） 37．若，则（　　） A．ln（m﹣n+1）＞0 B．ln（n﹣m+1）＞0 C． D． 【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．版权所有 【分析】由题意，构造函数，根据函数的单调性判断m＞n＞0，再判断选项中的命题是否正确即可． 【解答】解：由log5m﹣log5n，得log5mlog5n， 设f（x）log5x，x＞0；由y单调递减，y＝log5x单调递增，则f（x）单调递减； 所以m＞n＞0，所以m﹣n＞0，m﹣n+1＞1，所以ln（m﹣n+1）＞0，选项A正确． 选项B，n﹣m＜0，n﹣m+1＜1，所以ln（n﹣m+1）＜0，选项B错误； 选项CD，不能确定m﹣1与n﹣1是否大于0，选项CD不能确定大小． 故选：A． 【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，是基础题． 38．已知函数f（x）＝ln|x+1|﹣ln|x﹣1|，则f（x）（　　） A．是偶函数，且在区间（1，+∞）上单调递增 B．是奇函数，且在区间（﹣1，1）上单调递减 C．是偶函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增 D．是奇函数，且在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减 【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；奇函数偶函数的判断．版权所有 【分析】根据函数的奇偶性和单调性求得正确答案． 【解答】解：由题意知，f（x）的定义域为{x|x≠±1}， 且f（﹣x）＝ln|﹣x+1|﹣ln|﹣x﹣1|＝ln|x﹣1|﹣ln|x+1|＝﹣f（x）， 所以f（x）是奇函数，选项A、C错误． 当﹣1＜x＜1时，f（x）＝ln（x+1）﹣ln（1﹣x）＝lnlnln（1）， y1在（﹣1，1）上单调递增，y＝lnx在（0，+∞）上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知f（x）在区间（﹣1，1）单调递增，选项B错误． 当x＞1时，f（x）＝ln（x+1）﹣ln（x﹣1）＝lnlnln（1）， y＝1在（1，+∞）上单调递减，y＝lnx在（0，+∞）上单调递增， 根据复合函数单调性同增异减可知f（x）在区间（1，+∞）单调递减， f（x）是奇函数，则在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的奇偶性与单调性判断问题，是基础题． 39．已知函数在[2，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．[2，+∞） C．（﹣4，2] D．[﹣1，2] 【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．版权所有 【分析】根据对数复合函数的对称性进行求解即可． 【解答】解：令f（x）＝x2﹣2ax+5a，对称轴为x＝a， 因为函数是正实数集上的减函数， 所以要想函数在[2，+∞）上为减函数， 只需函数f（x）＝x2﹣2ax+5a在[2，+∞）上为增函数，且f（x）＞0在[2，+∞）上恒成立， 所以a≤2，且f（2）＝4+a＞0， 解得﹣4＜a≤2． 故选：C． 【点评】本题主要考查了复合函数单调性的应用，属于基础题． 40．已知函数f（x）＝loga（ax﹣1）（a＞0，a≠1）在[2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为（　　） A． B．（0，1） C． D．（1，+∞） 【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．版权所有 【分析】令g（x）＝ax﹣1，得到g（x）为单调递增函数，根据对数函数的性质，以及复合函数的单调性的判定方法，列出不等式，求得a的取值范围，即可得到答案． 【解答】解：根据a＞0知ax﹣1是增函数， 又f（x）在[2，+∞）上是减函数， ∴，解得， ∴a的取值范围为：． 故选：A． 【点评】本题考查了对数函数和一次函数的单调性，复合函数的单调性，是基础题． 41．函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（　　） A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣1，1） D．（﹣3，﹣1） 【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性．版权所有 【分析】由x2+2x﹣3＞0，求得x，再由对数型复合函数的单调性即可判断； 【解答】解：由x2+2x﹣3＞0，可得：x＞1或x＜﹣3， 根据二次函数的性质可知，当x＜﹣3时，y＝x2+2x﹣3单调递减； 故f（x）＝lg（x2+2x﹣3）在（﹣∞，﹣3）上单调递减； 故选：B． 【点评】本题主要考查了复合函数单调性的求解，属于基础题． （多选）42．关于函数f（x）＝lg（1），下列说法正确的有（　　） A．f（x）的定义域为（﹣1，1） B．f（x）的函数图象关于y轴对称 C．f（x）的函数图象关于原点对称 D．f（x）在（0，1）上单调递增 【考点】求对数函数及对数型复合函数的单调性；求对数型复合函数的定义域．版权所有 【分析】由对数型复合函数的定义域即可判断A，由函数的奇偶性即可判断BC，由复合函数的单调性即可判断D． 【解答】解：因为，则，解得﹣1＜x＜1， 所以f（x）的定义域为（﹣1，1），故A正确； 因为，即f（x）为奇函数， 所以f（x）的图像关于原点对称，故B错误，C正确； 因为在（0，1）上单调递增，y＝lgx在（0，+∞）上单调递增， 所以在（0，1）上单调递增，故D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查了对数函数的图象及性质，是中档题． 十．由对数函数的单调性求解参数（共3小题） 43．已知，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【考点】由对数函数的单调性求解参数．版权所有 【分析】根据对数函数单调性进行判断． 【解答】解：不等式loga可化为logaloga， 等价于或， 解得a＞1或0＜a； 所以实数a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）． 故选：A． 【点评】本题考查了对数函数的单调性应用问题，是基础题． 44．若函数（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D．（1，+∞） 【考点】由对数函数的单调性求解参数．版权所有 【分析】由已知结合对数函数，一次函数的单调性及复合函数的性质即可求解． 【解答】解：若函数（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上单调递减， 则，解得． 故选：A． 【点评】本题主要考查 了复合函数单调性的应用，属于基础题． 45．已知f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，且a≠1）在（0，4）上单调递增，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C．（1，2） D．（1，2] 【考点】由对数函数的单调性求解参数；求对数函数及对数型复合函数的单调性．版权所有 【分析】根据复合函数单调性列式计算即可． 【解答】解：已知f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，且a≠1）在（0，4）上单调递增， 因为a＞0，所以u＝2﹣ax在（0，4）单调递减， 而f（x）＝loga（2﹣ax）（a＞0，且a≠1）在（0，4）上单调递增， 所以，解得， 所以实数a的取值范围为． 故选：B． 【点评】本题考查复合函数的单调性相关知识，属于中档题． 十一．对数值大小的比较（共5小题） 46．函数f（x）＝|lgx|，若a＝f（0.1），b＝f（1），c＝f（2），则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【考点】对数值大小的比较．版权所有 【分析】结合对数运算得a＝f（0.1）＝f（10），再利用对数函数单调性比较大小即可． 【解答】解：因为f（x）＝|lgx|，所以a＝f（0.1）＝1，b＝f（1）＝0，c＝f（2）＝lg2∈（0，1）， 所以b＜c＜a． 故选：D． 【点评】本题主要考查了对数值大小的比较，属于基础题． 47．已知a＝0.3﹣0.2，b＝log52，c＝log74，则（　　） A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．b＞c＞a D．c＞a＞b 【考点】对数值大小的比较．版权所有 【分析】初步可确定a＞1，0＜b＜1，0＜c＜1，利用对数的运算性质可得，得到c＞b，即a＞c＞b． 【解答】解：0.3﹣0.2＞0.30＝1， ， 又0＜log52＜1，0＜log74＜1，则1＞c＞b＞0， 所以a＞c＞b． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 48．设，b＝log38，c＝log25，则（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a 【考点】对数值大小的比较．版权所有 【分析】取中间值2，结合对数函数单调性可比较b，c，将c化为log425，结合对数函数单调性可比较a，c． 【解答】解：， log38＜2＜log25＜log425＜log432， 即b＜c＜a． 故选：D． 【点评】本题主要考查了函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 49．若a＝log23，b＝log45，c＝21﹣b，则（　　） A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b 【考点】对数值大小的比较．版权所有 【分析】根据对数函数单调性及指数函数单调性得出范围比较大小求解． 【解答】解：因为∈（1，log23），可得1＜b＜a， 则c＝21﹣b＜20＝1，所以a＞b＞c． 故选：B． 【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 50．已知a＝log32，b＝log23，c＝log34，则（　　） A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞c＞a 【考点】对数值大小的比较．版权所有 【分析】设函数y＝log3x即可判断a，c的大小，再找中间值即可判断b，c的大小 【解答】解：因为y＝log3x在（0，+∞）上单调递增，故log32＜log34，即a＜c； 因为，，故b＞c； 故b＞c＞a． 故选：D． 【点评】本题主要考查对数值比较大小，属于基础题． 十二．指数函数与对数函数的关系（共5小题） 51．已知x1+2x1＝4，x2+log2x2＝4，则x1+x2的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】指数函数与对数函数的关系．版权所有 【分析】2x1＝4﹣x1，log2x2＝4﹣x2，从而x1，x2可看成y＝4﹣x与y＝2x及y＝log2x的交点的横坐标，结合互为反函数的函数图象的对称性即可求解． 【解答】解：因为x1+2x1＝4，x2+log2x2＝4， 所以2x1＝4﹣x1，log2x2＝4﹣x2， 所以x1，x2可看成y＝4﹣x与y＝2x及y＝log2x的交点的横坐标， 因为y＝2x与y＝log2x的图象关于y＝x对称，且y＝x与y＝4﹣x的交点为（2，2）， 则x1+x2＝4． 故选：C． 【点评】本题主要考查了函数的对称性在函数值求解中的应用，属于基础题． 52．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论错误的是（　　） A．x1+x2＝2 B． C．x1lnx2+x2lnx1＞0 D． 【考点】指数函数与对数函数的关系．版权所有 【分析】画出直线y＝﹣x+2与函数y＝ex和y＝lnx的图象，根据y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称；直线y＝﹣x+2的图象也关于y＝x对称，得出交点A，B关于y＝x对称，由此判断选项中的命题是否正确即可． 【解答】解：画出直线y＝﹣x+2与函数y＝ex和y＝lnx的图象，如图所示： 因为y＝ex与y＝lnx互为反函数，图象关于y＝x对称； 直线y＝﹣x+2的图象也关于y＝x对称，所以交点A（x1，y1），B（x2，y2）关于y＝x对称； 所以x1＝y2，x2＝y1， 又A（x1，y1）在直线y＝﹣x+2上，所以x1+y1＝2，即x1+x2＝2，选项A正确； 因为222e，所以选项B正确； 由，得ex+x﹣2＝0，设f（x）＝ex+x﹣2，则f（x）单调递增， 因为f（0）＝﹣1，f（）0，所以f（x）的零点在（0，）上，即0＜x1， 由x1+x2＝2得，1＜x2＜2，x1lnx2+x2lnx1＝x1lnx2﹣x2lnx1lnx2﹣x2lnx2＝（x1﹣x2）lnx2＜0，选项C错误； 设g（x）＝2﹣x﹣lnx，则g（1）＝1＞0，g（）＝20，所以1＜x2， 又因为x1x2＝x2lnx2，函数y＝xlnx在（1，e）上单调递增， 所以x1x2＝x2lnx2ln，选项D正确． 故选：C． 【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题． （多选）53．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图像交于A（x1，y1），B（x2，y2），则下列说法正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B． C． D．x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2） 【考点】指数函数与对数函数的关系．版权所有 【分析】根据互为反函数的性质可得x1＝y2，x2＝y1，从而可判断A； 利用基本不等式可判断B； 依题意可得﹣x1+2＝ex1，﹣x2+2＝lnx2，则，即可判断C； 根据，由A知x2＝y1，x1＝y2，x1＝lny1和y2＝lnx2整理替换可判断D． 【解答】解：由函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，可知y＝ex与y＝lnx的图象关于y＝x对称， 又y＝﹣x+2与y＝x垂直，且由题意可知点A（x1，y1），B（x2，y2）也与y＝x对称， 可得x1＝y2，x2＝y1，结合点A（x1，y1）在直线 y＝﹣x+2上，得x1+y1＝2，即x1+x2＝2，故A正确； 由， 因为x1≠x2，则等号不成立，所以，故B正确； 因为﹣x1+2，﹣x2+2＝lnx2，所以ln（2x2）＝ln2+lnx2＝ln2﹣x2+2， 所以，故C错误； 因为，且，所以x1＝lny1， 由A可知x2＝y1，所以x1＝lnx2， 两边同时减lnx1，得x1﹣lnx1＝lnx2﹣lnx1， 又因为x1＝y2，所以x1﹣lnx1＝lnx2﹣lny2， 由题可知y2＝lnx2，所以x1﹣lnx1＝lnx2﹣ln（lnx2），故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查了反函数的图象的对称性，对数的运算性质，是中档题． （多选）54．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列结论正确的是（　　） A．x1+x2＝2 B． C．x1lnx2+x2lnx1＜0 D． 【考点】指数函数与对数函数的关系．版权所有 【分析】函数y＝ex与y＝lnx互为反函数，将y＝﹣x+2与y＝x联立，则x＝1，y＝1，得x1+x2＝2，再利用基本不等式依次判断即可． 【解答】解：函数y＝ex与y＝lnx互为反函数， 则y＝ex与y＝lnx的图象关于y＝x对称， 将y＝﹣x+2与y＝x联立，则x＝1，y＝1， 由直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2）， 作出函数图像： ， 则A（x1，y1），B（x2，y2）的中点坐标为（1，1），得0＜x1＜1＜x2＜2， 对于A，由，解得x1+x2＝2，故A正确； 对于B，由，解得x1x2≤1，由于x1≠x2，则x1x2＜1，故B错误； 对于C，因为0＜x1＜1＜x2＜2， 则x1lnx2+x2lnx1＜x2lnx2+x2lnx1＝x2ln（x1x2）， 由于x1x2＜1，得x2ln（x1x2）＜0，故C正确； 对于D，， 因为x1≠x2，即等号不成立，所以，故D正确． 故选：AC． 【点评】本小题主要考查函数对称性的应用、反函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． （多选）55．已知直线y＝﹣x+2分别与函数y＝ex和y＝lnx的图象交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），现给出下述结论，则其中正确的结论是（　　） A．x1+x2＝2 B． C． D．x1lnx2+x2lnx1＜0 【考点】指数函数与对数函数的关系．版权所有 【分析】根据函数y＝ex和y＝lnx的图象关于y＝x对称，直线y＝﹣x+2与y＝x垂直，可判定A正确，利用基本不等式可判定B正确，构造函数h（x）＝2﹣x﹣lnx，得到，化简得到x1x2＝（2﹣x2）x2＝x2lnx2，结合函数y＝xlnx的单调性，可判定C错误；构造f（x）＝ex+x﹣2，结合零点存在定理和对数的性质，可判定D正确． 【解答】解：对于A中，由直线y＝﹣x+2与y＝x垂直， 又由函数y＝lnx和y＝ex的图象关于y＝x对称，且与y＝﹣x+2的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）， 所以A（x1，y1），B（x2，y2）关于y＝x对称，又由得交点坐标为（1，1）， 所以x1+x2＝2，所以A正确； 对于B中，由， 因为x1≠x2，所以，所以B正确； 对于C中，设h（x）＝2﹣x﹣lnx，则， 所以，由于x1x2＝（2﹣x2）x2＝x2lnx2， 因为函数y＝xlnx在为单调递增函数， 所以，所以不成立，所以C错误； 对于D中，直线y＝﹣x+2与y＝ex联立，可得﹣x+2＝ex，即ex+x﹣2＝0， 设函数f（x）＝ex+x﹣2，易知f（x）是增函数， 又由f（0）＝﹣1＜0，，可得， 所以函数f（x）在区间上存在唯一零点，即， 因为x1+x2＝2，所以， 则， 所以x1lnx2+x2lnx1＜0，所以D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查对数函数的图象和性质、函数的单调性、零点等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 十三．对数函数图象与性质的综合应用（共3小题） 56．已知函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）． （1）若f（x）在区间[4，16]上的最大值与最小值之差为2，求实数a的值； （2）若函数的值域为[1，+∞），求使得f（1﹣t）≤1的实数t的取值范围． 【考点】对数函数图象与性质的综合应用；复合函数的值域．版权所有 【分析】（1）分a＞1及0＜a＜1讨论，结合对数运算即可得； （2）借助对数定义及函数值域计算可得a＝3，再借助对数函数计算即可得解． 【解答】解：（1）①当a＞1时，则loga16﹣loga4＝loga4＝2，∴a＝2； ②当0＜a＜1时，则，∴； 则实数a的值为2或； （2）因为函数的值域为[1，+∞）， 则x2﹣2x+a＝（x﹣1）2+a﹣1≥2， 根据二次函数的性质可得，a﹣1＝2，解得a＝3， ∵f（1﹣t）≤1，∴log3（1﹣t）≤1，即有0＜1﹣t≤3， ∴﹣2≤t＜1，则实数t的取值范围为{t|﹣2≤t＜1}． 【点评】本题主要考查了对数运算性质及对数函数性质的应用，属于中档题． 57．已知函数． （1）当x∈[1，4]时，求函数的值域． （2）若存在x∈[4，16]，使得不等式f（x）≤mlog4x成立，求实数m的取值范围． 【考点】对数函数图象与性质的综合应用；求对数函数的值域．版权所有 【分析】（1）将f（x）变形为f（x），再令t＝log4x，利用换元法转换为二次函数求值域； （2）将不等式整理为2t2﹣（m+1）t﹣1≤0对t∈[1，2]有解，再利用二次函数的性质分类讨论最值求解． 【解答】解：（1）， 令t＝log4x，则x∈[1，4]时，t∈[0，1]， 此时， t∈[0，1]，则， 所以x∈[1，4]时，函数f（x）的值域为； （2）f（x）≤mlog4x对于x∈[4，16]成立， 即2t2﹣t﹣1≤mt对t∈[1，2]有解， 即2t2﹣（m+1）t﹣1≤0对t∈[1，2]有解， 设h（t）＝2t2﹣（m+1）t﹣1，t∈[1，2]，则h（t）min≤0， ①当1，即m≤3时，h（t）min＝h（1）＝2﹣（m+1）﹣1≤0，解得m≥0，所以0≤m≤3； ②当，即m≥7时，h（t）min＝h（2）＝8﹣2（m+1）﹣1≤0，即m≥7； ③当1，即3＜m＜7时，h（t）min＝h（）＝﹣10显然成立； 综上所述，m的范围为{m|m≥0}． 【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的应用，属于中档题． 58．已知函数f（x）＝log2（2x+1）． （1）求证：函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增； （2）记g（x）＝log2（2x﹣1）（x＞0）．若关于x的方程g（x）＝m+f（x）在[1，2]上有解，求m的取值范围． 【考点】对数函数图象与性质的综合应用．版权所有 【分析】（1）根据函数单调性的定义即可证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）内单调递增； （2）将方程g（x）＝m+f（x）转化为m＝g（x）﹣f（x），然后求出函数g（x）﹣f（x）的表达式，即可求出m的取值范围． 【解答】解：（1）任设x1＜x2，， ∵x1＜x2， ∴， ∴， 即f（x1）＜f（x2）， 即函数的在定义域上单调递增． （2）∵g（x）＝log2（2x﹣1）（x＞0）．g（x）＝m+f（x） ∴m＝g（x）﹣f（x）， 当1≤x≤2时，， ∴， ∴， 即m的取值范围是． 【点评】本题主要考查函数单调性的定义以及对数函数的图象和性质，考查学生的运算能力． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$