第26讲 电磁感应现象的 “双棒” 和线框题型 专项训练 -2027届高考物理一轮复习

第26讲 电磁感应现象的 “双棒” 和线框题型 题型一 无动力光滑等间距双杆题型 1 题型二 有动力光滑等间距双杆题型 5 题型三 无动力的不等间距双杆题型 9 题型四 有动力的不等间距双杆题型 13 题型五 在安培力作用下线框穿越磁场题型 17 题型六 有动力和安培力作用下线框穿越磁场题型 22 综合提升 27 题型一 无动力光滑等间距双杆题型 1．（2026•西安三模）如图所示，足够长、间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面上，MN左侧导轨处在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，MN右侧导轨处在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为2B的匀强磁场中，质量均为m的金属棒a、b分别垂直放置在MN右侧与左侧的导轨上，给金属棒a一个水平向右、大小为v0的初速度，此后两金属棒运动过程中始终垂直导轨并接触良好，两金属棒接入电路的电阻均为R，不计金属导轨的电阻及电磁辐射产生的能量损失。则下列说法正确的是（　　） A．金属棒b受到的安培力做负功 B．两金属棒组成的系统动量守恒 C．从开始运动到最终匀速运动，通过金属棒b的电荷量为 D．从开始运动到最终匀速运动，金属棒b中产生的焦耳热为 【答案】D 【解答】解：A、根据右手定则，可得通过回路的电流方向为逆时针，由左手定则可得到b受到的安培力方向水平向左，则b由静止向左加速，可得到金属棒b受到的安培力做正功，故A错误； B、根据左手定则，可得到a受到的安培力方向为水平向左，即ab受到的安培力方向均水平向左，结合动量守恒条件：合力为零，即可知不满足动量守恒条件，两金属棒的动量不守恒，故B错误； C、根据两金属棒匀速时，金属棒的感应电动势相等，即：2BLva＝BLvb， 对a棒，以水平向右为正方向，结合动量定理：﹣2BILt＝mva﹣mv0， 对b棒，以水平向左为正方向，结合动量定理：BILt＝mvb， 电流定义式：，可得匀速时的速度：，，通过金属棒b的电荷量：，故C错误； D、从开始运动到最终匀速，根据功能关系，可得：， 结合电路连接，可得到金属棒b产生的焦耳热为：，解得：，故D正确。 故选：D。 2．（2025春•南安市期末）如图所示，光滑金属导轨MN、PQ水平固定放置，间距为L，两导轨之间存在着与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属棒ab与cd质量分别为4m、m，电阻分别为R、4R，长度均为L，放置在导轨上并与导轨垂直。现同时给金属棒ab与cd一个大小为v0的初速度，方向分别向左、向右，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则下列说法正确的是（　　） A．通过金属棒ab的最大电流为 B．金属棒cd的最大加速度为 C．金属棒cd的速度减为零时，回路中的电流为 D．从初始时刻到金属棒cd的速度减为零时，两导体棒之间的距离增大了 【答案】C 【解答】解：A.开始运动时通过金属棒ab的电流最大，最大值为，故A错误； B.开始运动时，两棒受安培力最大，加速度最大，则金属棒cd的最大加速度为，，故B错误； CD.两棒组成的系统受合外力为零，则动量守恒，则从初始时刻到金属棒cd的速度减为零时，以向左为正方向，根据动量守恒定律有：4mv0﹣mv0＝4mv1 解得，此时回路中的电流为，以向左为正方向，该过程中对导体棒cd由动量定理﹣BILΔt＝0﹣mv0 其中电荷量 解得两导体棒之间的距离增大了 故C正确，D错误。 故选：C。 3．（2025•攀枝花三模）如图所示，光滑平行的水平导轨ab、cd之间有垂直纸面向里的匀强磁场，导轨间距为L，电阻均为R、长均为L的金属棒A、B置于导轨上，与导轨接触良好，导轨左侧接了阻值也为R的定值电阻。现同时分别给A、B一个初速度vA、vB，且2vA＜vB。导轨电阻不计，则A、B棒开始运动的瞬间流过金属棒B中的电流大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设上下导轨电势差为U，A、B棒分别可看作内阻 为R的电源、A、B棒的电动势分别为 EA＝ BLvA，EB＝ BLvB 左侧固定电阻为 R，无电动势。规定电流由上向下为正，由欧姆定律可知左侧电阻的电流 通过A棒的电流 通过B棒的电流 由于没有外接电源，总电流在上导轨处的代数和应为零，即I+IA+IB＝0 可得 进而可求通过B棒的电流 由于2vA＜vB 所以vA﹣2vB＜0 表示B棒中的实际电流方向是由下导轨流向上导轨，其大小则为，故ABC错误，D正确。 故选：D。 4．（多选）（2026春•天山区校级期中）两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，所在空间有方向垂直于水平面、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场，导轨的间距为L，电阻不计；导轨上静置两根长度均为L的导体棒PQ和MN，其中PQ的质量为2m、阻值为R，MN的质量为m、阻值为2R。若在t＝0时刻给PQ一个平行于导轨向右的初速度v0，不计运动过程中PQ和MN的相互作用力，则（　　） A．t＝0时刻，两导体棒的加速度大小相等 B．t＝0时刻，PQ两端的电压为BLv0 C．PQ匀速运动时的速度大小为v0 D．从t＝0时刻到PQ匀速运动的过程中，导体棒MN产生的焦耳热为 【答案】BC 【解答】解：A、在初始时刻t＝0时，导体棒PQ切割磁感线产生的感应电动势为E＝BLv0，回路中的感应电流为。两棒所受安培力大小相等，均为F＝BIL。根据牛顿第二定律，PQ棒的加速度大小为，而MN棒的加速度大小为，显然aP≠aM，故A错误； B、在t＝0时刻，PQ棒作为等效电源，其两端的电压为路端电压，由部分电路欧姆定律得UPQ＝I•2R，解得：，故B正确； C、两导体棒组成的系统在运动过程中所受合外力为零，因此系统动量守恒。当两者速度相等时达到稳定匀速运动状态，设共同速度为v。根据动量守恒定律有2mv0＝（2m+m）v，解得：，故C正确； D、从初始时刻到PQ棒匀速运动的过程中，根据能量守恒定律，系统产生的总焦耳热为，解得：。再依据串联电路热量分配规律，导体棒MN上产生的焦耳热为，解得：，故D错误。 故选：BC。 题型二 有动力光滑等间距双杆题型 1．（2026•龙岩模拟）如图所示，两平行金属导轨ABC和A′B′C′，其中AB、A′B′段光滑且足够长，与水平方向夹角为30°，BC、B′C′段水平粗糙。空间存在方向分别与两导轨平面垂直向上、磁感应强度大小相等的匀强磁场。现有两根完全相同的导体棒a、b，导体棒b静置于水平导轨某处，导体棒a在AA′处静止释放，当a棒开始匀速运动时，b棒恰好能保持静止。导轨电阻不计，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。关于这一过程说法正确的是（　　） A．金属棒b受到的安培力方向水平向左 B．金属棒b与水平导轨间动摩擦因数为0.5 C．金属棒a克服安培力做的功等于金属棒a产生的焦耳热 D．金属棒a所受安培力的冲量等于金属棒a的动量变化 【答案】B 【解答】解：A、根据楞次定律可知，感应电流的磁场要阻碍磁通量的变化，a棒下滑时，穿过回路的磁通量减小，金属棒b有向右运动的趋势，b棒受到的安培力方向水平向右，故A错误； B、a棒匀速运动时，由平衡条件有：mgsin30°＝BIL。当a棒开始匀速运动时，b棒恰好能保持静止，对b棒，由平衡条件有：BIL＝μmg，联立可得金属棒b与水平导轨间动摩擦因数为μ＝0.5，故B正确； C、根据功能关系，金属棒a克服安培力做的功等于金属棒a和b产生的焦耳热之和，故C错误； D、a棒下滑时，受到重力、安培力和轨道的支持力，根据金属棒a所受合力的冲量等于金属棒a的动量变化，故D错误。 故选：B。 2．（2025•盐池县二模）如图所示，绝缘平面上固定两条足够长的“V”字型光滑平行导轨，导轨间距为l，左右两侧导轨与水平面夹角分别为θ、2θ，均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度分别为B、2B，不计导轨电阻。两侧顶端分别用外力固定质量为m，2m的导体棒ab、cd，电阻分别为R、2R，导体棒垂直于导轨，且运动过程中始终未脱离导轨，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．若ab棒具有沿斜面向上的初速度，则cd棒由静止释放瞬间加速度可能为零 B．若cd棒具有沿斜面向上的初速度，则ab棒由静止释放瞬间加速度可能为零 C．若cd棒始终固定，ab棒由静止释放后的稳定速度为 D．若两导体棒同时静止释放，两棒最终不可能同时匀速下滑 【答案】D 【解答】解：A、若cd释放瞬间加速度为零，则cd受到的安培力水平向右，由左手定则可知，流经cd的感应电流由d指向c，则ab中电流由a指向b，由右手定则可知，ab具有沿斜面向下的速度，故A错误； B、若ab释放瞬间加速度为零，则ab受到的安培力水平向左，由左手定则可知，流经ab的电流由a指向b，则cd中电流由d指向c，由右手定则可知cd具有沿斜面向下的速度，故B错误； C、cd棒始终固定，ab棒的加速度为零时达到稳定状态，ab匀速下滑时所受安培力大小F安＝BIl 由平衡条件有F安cosθ＝mgsinθ 由闭合电路欧姆定律可知流经ab的电流 ab切割磁感线产生电动势，匀速时的速度为v，则E＝Blvcosθ 联立可得速度，故C错误； D、若ab匀速下滑，则由平衡条件得F安cosθ＝BI1lcosθ＝mgsinθ 电流 若cd匀速下滑，则由平衡条件得F'安cos2θ＝2BI2lcos2θ＝2mgsin2θ 电流 则I1≠I2 故两棒不可能同时匀速下滑，故D正确。 故选：D。 3．（2025春•常州期末）两根足够长不计电阻的光滑平行金属导轨上垂直放置两根完全相同的导体棒ab、cd，装置处于垂直导轨平面的匀强磁场中，如图所示。t＝0时，对cd施加向右的恒力F，下列图像中，v、a、d、i分别为导体棒的速度、加速度、间距和电流，则不可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：导体棒ab和cd通过导轨组成闭合回路，当用力F拉导体棒cd时，cd棒切割磁感线产生感应电动势，电路中有感应电流，两个导体棒要受到安培力的作用，根据右手定则和左手定则可知cd棒受到向左的安培力作用，导体棒ab受到向右的安培力作用加速运动，一开始cd棒的加速度大于ab棒的加速度，二者之间的速度差越来越大，则电路中的电流越来越大，导体棒受到的安培力也是越来越大，则导体棒cd的加速度减小，导体棒ab的加速度增大，当二者的加速度相等时，两个导体棒之间的速度差达到最大，此时两个导体棒以恒定的速度差一起向右做匀加速运动，此时回路中的电流恒定，两个导体棒间的距离随着时间均匀增加，故ABD正确，C错误。 本题是选不正确的，故选：C。 4．（多选）（2026•临泉县校级二模）如图，平行金属导轨由两部分组成，MN与M′N′是圆心角为60°、半径r＝0.9m的圆弧形导轨，NQ与N′Q′是水平长直导轨，圆弧形导轨与长直导轨在N、N′处相切，平行导轨间距L＝1m。NN′右侧存在磁感应强度大小为4T、方向竖直向上的匀强磁场，导体棒a垂直导轨放置，其质量m1＝0.3kg，接入电路中的电阻R1＝6.0Ω。导体棒b的质量m2＝0.2kg，从距离MM′高度h＝0.6m处以一定初速度v0水平抛出，恰能无碰撞地从MM′滑入右侧平行导轨，导体棒b滑入平行导轨后与导轨垂直且接触良好，导体棒b接入电路中的电阻R2＝2.0Ω。两导体棒始终没有相碰。重力加速度g＝10m/s2，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力，则（　　） A．导体棒b抛出时的速度 B．导体棒b刚进入磁场时回路中感应电流沿逆时针方向（俯视） C．导体棒b进入磁场后的加速度最大值为50m/s2 D．导体棒a、b在磁场中运动产生的总焦耳热（导轨足够长）为2.0J 【答案】BC 【解答】解：A．导体棒b运动到MM′时，在竖直方向的速度大小 代入数据解得 根据题意可知 代入数据解得v0＝2m/s 故A错误； B．导体棒b刚进入磁场时回路中时，根据右手定则可得，回路中感应电流沿逆时针方向（俯视），故B正确； C．导体棒b进入磁场后，根据楞次定律可知，安培力与运动方向相反，即导体棒b进入磁场后做减速运动，则导体棒b刚进入磁场时速度最大，电动势最大，安培力和加速度最大，导体棒b运动到MM′时的速度大小为 代入数据得v＝4m/s 导体棒b从MM′运动到NN′过程，根据动能定理 代入数据解得v1＝5m/s 则产生的电动势为E＝BLv1 代入数据解得E＝20V 回路中的电流为 代入数据解得I＝2.5A 则导体棒b受到的安培力大小为FA＝BIL 代入数据解得FA＝10N 根据牛顿第二定律FA＝m2a 代入数据解得a＝50m/s2 故C正确； D．导体棒a、b在磁场运动过程中，动量守恒，当两棒速度大小相等时，回路中没有电流，运动达到稳定，以v1的方向为正方向，根据动量守恒m2v1＝（m1+m2）v共 代入数据解得v共＝2m/s 根据能量守恒 代入数据解得Q＝1.5J 故D错误。 故选：BC。 题型三 无动力的不等间距双杆题型 1．（2025•朝阳区校级开学）如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 【答案】C 【解答】解：A、根据牛顿第二定律得 则a棒与b棒的加速度大小相等，故A错误； B、规定向右为正方向，对a、b棒，分别根据动量定理可得 稳定时有 Blva＝B•2lvb 可得 va＝2vb 联立解得va＝2v0，vb＝v0，故B错误； C、由能量守恒定律可知，两棒损失的动能等于电路中产生的焦耳热，则电路中产生的焦耳热为 ，故C正确； D、对a，规定向右为正方向，根据动量定理可得 通过导体棒a的某一横截面的电荷量 又va＝2v0 联立解得，故D错误。 故选：C。 2．（2026春•鼓楼区校级月考）如图所示，两固定在水平面上的平行金属导轨由宽轨M1N1、M2N2，窄轨O1P1、O2P2两部分组成，宽轨部分间距为2L，窄轨部分间距为L。现将两根材料相同、横截面积相同的金属棒ab、cd分别静置在宽轨和窄轨上。金属棒cd的质量为m，电阻为R，长度为L，金属棒ab的长度为2L，两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。金属导轨处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给金属棒ab水平向右的初速度v0，此后金属棒ab始终在宽轨磁场中运动，金属棒cd始终在窄轨磁场中运动。已知除金属棒的电阻之外其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，不计一切摩擦。下列说法正确（　　） A．金属棒cd开始运动后，金属棒cd中的电流方向为d→c B．当两金属棒匀速运动时，cd棒的速度为 C．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，通过金属棒cd的电荷量为 D．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为 【答案】D 【解答】解：A、金属棒cd开始运动后，穿过回路的磁通量向上减小，根据楞次定律可知，金属棒cd中的电流方向为c→d，故A错误； B、设金属棒cd的质量为m，电阻为R，则金属棒ab的质量为2m，电阻为2R。当两金属棒匀速运动时，两棒产生的感应电动势大小相等，则有B×2Lvab＝B×Lvcd 规定向右为正方向，对ab棒，由动量定理有 对cd棒，由动量定理有 联立解得，故B错误； C、对ab棒，取向右为正方向，由动量定理有 联立解得，两棒串联，则通过金属棒cd的电荷量也为，故C错误； D、根据能量守恒可知，金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为，联立解得，故D正确。 故选：D。 3．（2025•保定一模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MNPQ和M1N1P1Q1固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L和L，金属棒a、b的质量分别为2m、m，阻值分别为2R、R，长度分别为2L、L，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现给金属棒a一水平向右的初速度v0，经一段时间后金属棒a、b达到稳定速度。已知运动过程中两金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，金属棒a一直未到达NN1位置，下列说法正确的是（　　） A．稳定后金属棒a的速度大小为v0 B．稳定后金属棒b的速度大小为 C．整个运动过程中产生的热量为m D．从开始运动至达到稳定速度的过程中，流过金属棒b的电荷量为 【答案】C 【解答】解：AB、设稳定后金属棒a的速度大小为v1，金属棒b的速度大小为v2，这时两个金属棒产生的感应电动势大小相等，回路中感应电流为0，即B•2Lv1＝BLv2，则v2＝2v1，规定向右的方向为正方向，根据动量定理，对金属棒a有，对金属棒b有，联立解得，，故AB错误； C、根据能量守恒可得整个过程中产生的热量为Q，解得Q，故C正确； D、对金属棒b有，q，联立解得q，故D错误。 故选：C。 4．（多选）（2025秋•锡林郭勒盟期末）如图，在水平面内固定的光滑平行金属导轨PQ、MN，左侧间距0.6m，右侧间距0.3m，导轨电阻不计且足够长。空间有竖直向上的磁感应强度为0.5T的匀强磁场。完全相同的导体棒a、b分别放在宽窄不同的导轨上静止，质量都为0.1kg，b棒接入导轨中的电阻为0.1Ω，两棒始终与导轨垂直。给a棒水平向右4m/s的初速度，在a棒到达宽窄导轨分界前两棒已达到稳定状态，下列说法正确的是（　　） A．达到稳定状态时a棒与b棒共速 B．达到稳定状态时a棒速度为0.8m/s C．达到稳定过程中a棒产生的焦耳热为0.64J D．达到稳定过程中回路磁通量改变了0.32Wb 【答案】BD 【解答】解：A、当系统达到稳定状态时，回路中的感应电流为零，总电动势平衡，即BLava＝BLbvb，代入数据得0.6va＝0.3vb，解得：vb＝2va，故A错误； B、分别对金属棒a和b应用动量定理，可得﹣BLaq＝ma（va﹣v0）与BLbq＝mbvb，联立两式得到，代入数据解得：va＝0.8m/s，vb＝1.6m/s，故B正确； C、依据能量守恒定律，系统产生的总焦耳热为，代入数据解得：Q总＝0.64J。根据电阻比例关系，a棒上产生的焦耳热，故C错误； D、回路中通过的电荷量表达式为，结合动量定理公式BLbq＝mbvb及总电阻R总＝0.3Ω，可得磁通量的改变量，代入数据解得：ΔΦ＝0.32Wb，故D正确。 故选：BD。 题型四 有动力的不等间距双杆题型 1．（2024秋•辽宁期末）光滑平行导轨abcd与a′b′c′d′如图所示，轨道的水平部分bcd，b′c′d′处于竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为cd段轨道宽度的2倍，bc段和cd段轨道都足够长，轨道的电阻不计。现将质量均为m的金属棒P和Q（P和Q都有电阻，但具体阻值未知）分别置于轨道上的ab段和cd段，将P棒置于距水平轨道高为h处由静止释放，使其自由下滑，重力加速度为g。则（　　） A．当P棒进入轨道的水平部分后，P棒先做加速度逐渐增大的减速直线运动 B．当P棒进入轨道的水平部分后，Q棒先做匀加速直线运动 C．从静止释放P棒直至P棒、Q棒稳定运动的过程中，系统的生热量为 D．从静止释放P棒直至P棒、Q棒稳定运动的过程中，系统的生热量为 【答案】D 【解答】解：AB．设cd轨道宽度为L，bc段轨道宽度为2L。P棒进入磁场后切割磁感线产生感应电动势，回路中形成感应电流。由于vP减小、vQ增大，导致I减小，由F＝BIL可知两棒所受安培力减小，根据牛顿第二定律，P做加速度减小的减速运动，Q做加速度减小的加速运动，故AB错误； CD．设P棒初速度为v0，由动能定理得。当两棒电动势平衡时满足2BLvP＝BLvQ，解得2vP＝vQ。此过程中安培力对P的冲量为Q的两倍，由动量定理得：对P棒﹣2I＝mvP﹣mv0，对Q棒I＝mvQ，联立解得，。系统产生的热量，故C错误，D正确。 故选：D。 2．（2024秋•雁塔区校级期末）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，以直线MN为分界线，MN左、右两侧导轨的间距分别为l、2l。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，其中MN左侧磁场的磁感应强度大小为2B、MN右侧磁场的磁感应强度大小为B。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，两导体棒接入电路中的阻值均为R，其余电阻不计。初始时两导体棒均静止，现对a棒施加水平向左的恒力F1，同时对b棒施加水平向右的恒力F2。且F1＝F2＝F，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触。已知从开始运动到两棒运动状态刚好稳定的过程中b棒的位移大小为x，则此过程中（　　） A．同一时刻a棒的加速度大小等于b棒加速度大小 B．运动状态稳定时a棒做匀加速运动 C．运动状态稳定时b棒的速度大小为 D．a棒产生的焦耳热为 【答案】D 【解答】解：A．设回路电流为i，对a棒应用牛顿第二定律得F﹣2Bil＝ma1，对b棒有F﹣Bi×2l＝2ma2，解得a1＝2a2，故A错误； B．初始阶段两棒加速运动，随速度增加，回路电动势E增大导致电流i增大，安培力随之增大，两棒做加速度减小的加速运动，最终安培力与恒力F平衡时达到稳定状态，做匀速运动，故B错误； C．稳定时设速度分别为va、vb，回路总电动势E＝2Blva+B×2lvb＝2Bl（va+vb）。任意时刻满足a1＝2a2，即a1Δt＝2a2Δt，得va＝2vb。稳定时F＝2Bil，其中，联立解得，故C错误； D．任意时刻v'a＝2v'b，故稳定时位移关系xa＝2xb＝2x。稳定速度。根据能量守恒，a棒焦耳热，解得，故D正确。 故选：D。 3．（2021秋•天山区校级期末）光滑平行异型导轨abcd与a'b'c'd'如图所示，轨道的水平部分bcd、b'c'd'处于竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为cd段轨道宽度的2倍，bc段和cd段轨道都足够长，但abcd与a'b'c'd'轨道部分的电阻都不计。现将质量相同的金属棒P和Q（P和Q都有电阻，但具体阻值未知）分别置于轨道上的ab段和cd段，将P棒置于距水平轨道高为h处由静止释放，使其自由下滑，重力加速度为g。则（　　） A．当P棒进入轨道的水平部分后，P棒先做加速度逐渐增大的减速直线运动 B．当P棒进入轨道的水平部分后，Q棒先做匀加速直线运动 C．Q棒的最终速度和P棒最终速度关系VP＝2VQ D．P棒的最终速度，Q棒的最终速度 【答案】D 【解答】解：设cd轨道宽度为L，则bc段轨道宽度为2L； AB、P棒进入磁场后切割磁感线产生感应电动势，回路产生感应电流， P、Q都受安培力作用，P做减速运动，Q做加速运动，回路电流， 由于vP减小、vQ增大，回路电流I减小，由安培力公式可知P、Q受到的安培力减小，由牛顿第二定律可知，P、Q的加速度减小， P做加速度减小的减速运动，Q做加速度减小的加速运动，故AB错误； CD、设P棒滑到b点的速度为v0，由动能定理得：mgh0，解得：v0 最终两棒的感应电动势相等，即：2BLvp＝BLvQ 解得：2vp＝vQ（此时两棒与轨道组成的回路的磁通量不变） 这个过程中的任意一个时刻两棒的电流都相等，但由于轨道宽度两倍的关系， 使得P棒受的安培力总是Q棒的两倍，所以同样的时间内P棒受的安培力的冲量是Q棒的两倍， 以水平向右为正方向，由动量定理得： 对P棒：﹣2I＝mvp﹣mv0 对Q棒：I＝mvQ 解得：，，最终两棒的速度不相等，故C错误，D正确。 故选：D。 4．（多选）（2026•长安区校级二模）某科技小组利用物理知识研究一款无接触驱动的游戏装置，如图所示，导轨a、b由半径为r＝0.4m的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨c、d良好衔接，导轨a、b部分宽度为L1＝2m，导轨c、d部分宽度为L2＝1m，金属棒P与金属棒Q上分别固定有绝缘卡通玩偶，营造出猫追老鼠的氛围，两者将随金属棒始终无翻转水平运动，金属棒P与“猫”总质量为M＝2kg，金属棒Q与“老鼠”总质量为m＝1kg，接入导轨间的电阻大小均为R＝1Ω，Q棒静止在c、d导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝1T。现将P棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过t＝1s时间P棒到达圆弧轨道最低点，此时P棒对导轨压力为其重力的两倍，金属棒与轨道接触良好，不考虑一切摩擦，重力加速度为g取10m/s2，则（　　） A．从释放P棒到运动至圆弧轨道最低点过程中通过金属棒的电荷量为0.3C B．在Q棒一直锁定下，要使P棒不能带“猫”进入c、d轨道，则a、b轨道水平部分长度至少为2m C．当P棒到达圆弧最低点时，若Q棒立即解除锁定，水平导轨均足够长，且P棒始终在ab上运动，Q棒始终在cd上运动，则两金属棒运动稳定时速度大小分别为vPm/s，vQm/s D．P棒在导轨ab的水平部分运动过程，两者运动状态第一次稳定后，P棒进入cd导轨时，若此时距Q棒1m，则此后两者将会相碰 【答案】BC 【解答】解：A、从释放P捧到运动至圆弧轨道最低点过程中通过金属棒的电荷量 代入数据可得q＝0.4C 故A错误； B、导体棒P到达圆弧导轨最低点时速度为v0，由牛顿第二定律有 且N＝2Mg 代入数据可得v＝2m/s 在Q棒一直锁定下，P棒将减速到停，规定初速度方向为正，由动量定理﹣BIL1t＝0﹣Mv0 I为平均电流，由，E为平均感应电动势， 联立可得 代入数据可得x＝2m，故B正确； C、解除锁定后，P棒做减速运动，Q棒做加速运动，两棒最终均做匀速运动，回路中电流为零，设两棒最终速度分别为vP和vQ，由于EQ＝EP 即B L1vP＝B L2vQ 规定初速度方向为正，由动量定理对P棒有﹣BIL1t＝M（vP﹣v0） 对Q棒有BIL2t＝m vQ 代入数据可得，，故C正确； D、P棒在导轨ab的水平部分运动过程两者运动状态第一次稳定后速度小于Q棒，上到cd轨道后虽然加速，但距离还会加大，最后速度相等，不可能碰上，故D错误。 故选：BC。 题型五 在安培力作用下线框穿越磁场题型 1．（2026•河北一模）如图所示，将涂有绝缘漆的金属圆环绕成“8”字形线圈，两小圆的半径均为r，圆心分别为O1、O2，线圈放置在光滑水平面上，水平面上MN右侧存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。线圈两次均以相同的初速度垂直MN向右开始运动，第1次O1O2连线垂直初速度方向，第2次O1O2连线平行初速度方向。已知线圈的电阻为R，则（　　） A．第1、2次，完全进入磁场后线圈速度相同 B．第1、2次，进入磁场瞬间加速度之比为2：1 C．第2次，线圈进入磁场过程通过线圈某截面的净电荷量为0 D．第2次，线圈进入磁场过程通过线圈某截面的净电荷量为 【答案】C 【解答】解：AB．根据题意可知，第一次O1O2 连线垂直速度方向，两环是同时进入磁场，任意时刻两环进入磁场的面积相等，环中总磁通量Φ＝BS﹣BS＝0，则线圈中的磁通量变化率为0，感应电动势为0，感应电流为0，所以线圈不受安培力，做匀速运动，完全进入后速度等于初速度v0； 第二次O1O2 连线平行速度方向，两环先后进入磁场，进入过程中，线圈中总磁通量不为0，线圈中有感应电流，线圈受安培力阻碍，所以线圈做减速运动，完全进入后速度小于v0，因此v1＞v2；第一次进入瞬间感应电动势为0，加速度a1＝0，第二次进入瞬间只有一个环切割磁感线，感应电动势不为0，加速度a2≠0，加速度之比不为2：1，第1、2次，完全进入磁场后线圈速度不相同，故AB错误。 CD．通过线圈某截面的净电荷量公式，初态线圈在磁场外，总磁通量Φ1＝0，末态线圈完全进入磁场，两环面积均为πr2，且绕向相反，总磁通量 因此磁通量变化量 ΔΦ＝0，净电荷量，故C正确D错误。 故选：C。 2．（2026•江阴市校级模拟）如图所示，光滑水平面上存在竖直向下的匀强磁场，磁场左右边界相互平行，范围足够大，一正方形金属线框在水平面上以初速度v0进入磁场，穿过磁场过程中（　　） A．线框做直线运动 B．线框做匀变速曲线运动 C．线框进、出磁场动能的变化相等 D．线框进、出磁场速度的变化相等 【答案】D 【解答】解：将线框的初速度v0分解为垂直磁场边界方向的分速度vx和平行磁场边界方向的分速度vy。线框进、出磁场时，仅有平行于边界的边切割磁感线，感应电动势E＝BLvx，线框受到的安培力，由楞次定律可知安培力方向始终垂直边界向外。由于平行边界方向不受外力作用，vy保持不变。 AB、由于线框所受合外力（安培力）方向与速度方向不共线，线框做曲线运动；随着vx不断减小，安培力逐渐减小，线框的加速度逐渐变小，即线框做非匀变速曲线运动，故A错误，B错误； C、线框进入磁场阶段的水平分速度vx大于离开磁场阶段的水平分速度，在进、出磁场垂直方向上位移同为L的过程中，进入磁场时的平均安培力更大，克服安培力做功更多，根据动能定理可知进入磁场时动能的变化量更大，故C错误； D、规定垂直磁场边界向右为正方向。对线框进、出磁场的过程分别根据动量定理有，其中安培力的冲量大小。因为进、出磁场过程中垂直边界方向的位移大小均为Δx＝L，解得速度的变化量。由于平行边界方向分速度vy保持不变，即Δvy＝0，故线框进、出磁场速度的变化量相等，故D正确。 故选：D。 3．（2026•宜兴市校级模拟）如图所示，绝缘粗糙细杆abc在b处弯折，水平bc段足够长，在虚线AB的右侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电圆环（可视为点电荷）套在杆上从ab段某处由静止释放，忽略圆环经过弯折处的能量损失，圆环在运动过程中所带电荷量保持不变。下列关于圆环速度v随时间t变化的图像不可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：设圆环的质量为m，绝缘粗糙细直杆的动摩擦因数为μ。 当圆环从倾角为α的倾斜绝缘细直杆上下滑时，由牛顿第二定律可得mgsinα﹣μmgcosα＝ma，解得加速度a＝g（sinα﹣μcosα）。可知在圆环做初速度为零的匀加速直线运动，v﹣t图像为过原点的倾斜直线。 当圆环进入匀强磁场中后，圆环受洛伦兹力F洛＝qvB，方向由电荷正负决定。若圆环带正电，则受到竖直向上的洛伦兹力，当洛伦兹力等于其重力时，圆环所受合外力为零，在磁场中将做匀速直线运动，v﹣t图像为一条平行于时间轴的直线；若洛伦兹力大于重力，由牛顿第二定律可得μ（qvB﹣mg）＝ma1，可知小环将做加速度减小的减速运动，而随着速度的减小洛伦兹力也随之减小，当洛伦兹力减小到与重力大小相等时，圆环将做匀速直线运动；若洛伦兹力小于重力，由牛顿第二定律有μ（mg﹣qvB）＝ma2，可知圆环做减速运动，随着速度的减小，洛伦兹力减小，加速度增大，可知圆环做加速度增大的减速运动，直至速度减为零。 若圆环带负电，所受洛伦兹力竖直向下，由牛顿第二定律可得μ（mg+qvB）＝ma3，可知圆环做减速运动，随着速度的减小洛伦兹力减小，加速度减小，圆环做加速度减小的减速运动，直至速度减为零。 故ACD正确，B错误。 本题选不正确的，故选：B。 4．（多选）（2026•黑龙江）如图，光滑绝缘水平面上x＝0两侧区域Ⅰ、Ⅱ分别存在竖直方向的匀强磁场，宽度均为L，磁感应强度方向相反，大小分别为B、2B，x＝﹣3L和x＝3L处有固定挡板。同种材料制成、粗细均匀的正方形导体线框MNPQ，边长为L，质量为m，总电阻为R，以初速度v0从左侧进入磁场，沿x轴方向运动。线框平面始终与磁场方向垂直，MN边始终与磁场边界平行，线框与挡板的碰撞均为弹性碰撞。则（　　） A．MN首次进入磁场时线框的加速度大小a B．MN每次经过x＝1.5L时，电势差UNM：UPQ＝1：1 C．MN与右侧挡板首次碰撞后瞬间线框的速度大小v D．线框停止处，穿过线框的磁通量为0 【答案】AC 【解答】解：A、感应电动势E＝BLv0，感应电流 安培力 由牛顿第二定律得 代入v0得，故A正确； B、MN在x＝1.5L，即线框一半在Ⅱ区（2B向外）、一半无磁场，只有PQ边切割磁感线，电动EPQ＝2BLv线框为均匀正方形，四边电阻相等，每边电阻。PQ是电源，UPQ为路端电压（PN、NM、MQ三边总外阻3r）： MN是外电路一段导线，无切割， 比值|UMN|：|UPQ|＝1：3，故B错误； C、过程分析：从x＝﹣L到右侧挡板x＝3L MN从﹣L→0（完全在B磁场，位移L），取沿x轴正方向为正方向，动量定理﹣BL•Δt＝mv1﹣mv0，， MN从0→L，MN在2B、QP在B，两边反向切割，总电动势E＝2BLv+BLv＝3BLv，总安培力向左：F＝2BIL+BIL＝3BIL， 动量定理， MN从x＝L到x＝2L，PQ在2B，切割磁感线，电动势E＝2BLv，安培力向左：F＝2BIL，，动量定理﹣2BL•mv3﹣mv2，v3＝v2v0， x＝2L到x＝3L无磁场，匀速到挡板，弹性碰撞速度大小不变，故C正确； D、根据C选项分析可知，线框完整穿过Ⅰ、Ⅱ磁场，线框速度变化量为Δv，根据2026÷14＝14×144+10，因为144为偶数，可以判断出线框第145次从左侧进入磁场Ⅰ最终停止在磁场中，假设线框能完全进入磁场，此时速度变化量Δv′，也可由C选项直接判断出线框刚好停在磁场Ⅱ区域，穿过线圈的磁通量Φ＝2BL2，故D错误。 故选：AC。 题型六 有动力和安培力作用下线框穿越磁场题型 1．（2026•榆林三模）由相同材料、粗细均匀的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的粗细不同，乙线圈的横截面积是甲的2倍，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的边界水平，且磁场的宽度大于线圈的边长，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。甲的下边开始进入磁场时以速度v做匀速运动，下列判断正确的是（　　） A．甲和乙进入磁场的瞬间，安培力之比为1：2 B．从释放甲、乙线圈到线圈上边界离开磁场，甲、乙用时相同 C．甲和乙进入磁场的过程中，通过导线的电荷量之比为1：1 D．甲和乙进入磁场的过程中产生的焦耳热之比为1：4 【答案】B 【解答】解：A、设正方形线圈的边长为L，由电阻定律可得线圈电阻为。已知两线圈匝数满足nA＝2nB，横截面积满足SB＝2SA，代入比例关系，解得两线圈电阻之比为RA＝4RB。两线圈从同一高度自由下落，到达磁场边界时具有相同的速度v。进入磁场瞬间，线圈所受安培力大小为，代入前述匝数与电阻的比例关系，可得FA＝FB，即安培力之比为1：1，故A错误； B、甲线圈进入磁场后以速度v做匀速运动，表明其重力与安培力平衡，即mg＝FA。由于两线圈质量相等，且已求得FA＝FB，因此乙线圈进入磁场时，其安培力也等于重力，故乙线圈同样以速度v匀速进入磁场。两线圈完全进入磁场后，均仅受重力作用，做加速度为g的匀加速直线运动，到达下边界时具有相同的速度，出磁场过程中的运动情况也完全相同。因此，两线圈在整个下落过程中的运动状态完全一致，所用时间相同，故B正确； C、线圈进入磁场的过程中，通过导线横截面的电荷量公式为。代入匝数比nA：nB＝2：1与电阻比RA：RB＝4：1，解得电荷量之比qA：qB＝1：2，故C错误； D、甲、乙两线圈在进入磁场的过程中均做匀速直线运动，动能保持不变。根据能量守恒定律，系统机械能的减少量全部转化为焦耳热，即Q＝mgL。由于两线圈质量m相等，边长L相同，因此产生的焦耳热之比QA：QB＝1：1，故D错误。 故选：B。 2．（2026•浙江三模）如图甲所示，斜面倾角θ＝37°，一宽为s＝0.5m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与面底边平行。在斜面上由静止释放一正方形金属线框abcd，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行。取斜面底边重力势能为零，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移x之间的关系如图乙所示，图中①、②均为直线段。已知线框的质量为m＝0.1kg，图乙中数据为已知量，sin37°＝0.6，则（　　） A．金属线框与斜面间的动摩擦因数0.75 B．金属线框在磁场中运动时ab两端的电压保持不变 C．金属线框的长度为0.25m D．金属线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间0.125s 【答案】D 【解答】解：A、根据功能关系，线框进入磁场前机械能的减少量等于克服摩擦力所做的功，即ΔE1＝μmgx1cosθ，结合图像数据可解得动摩擦因数μ＝0.5，故A错误； C、线框下滑x1过程中，其重力势能的减少量为ΔEp1＝mgx1sinθ。到达磁场边界时的动能Ek1＝E1﹣（E0﹣ΔEp1），结合动能公式，解得刚进入磁场时的速度v1＝1.2m/s。进入磁场过程中，机械能与位移的关系图像为一条倾斜直线，表明线框克服非保守力做功的功率恒定，即线框做匀速直线运动。由平衡条件可得mgsinθ＝μmgcosθ+FA。此过程中机械能的减少量ΔE2＝（μmgcosθ+ FA）L，联立解得金属线框的边长L＝0.15m，故C错误； B、金属线框完全进入磁场后，穿过线框的磁通量保持不变，回路中无感应电流，安培力为零，线框在重力与摩擦力作用下做匀加速直线运动。在此阶段，ab边切割磁感线，ab两端电压Uab＝BLv，由于速度v不断增大，因此ab两端电压也将不断增大，故B错误； D、金属线框从刚进入磁场到恰好完全进入磁场的过程做匀速直线运动，所用时间，代入数据解得t＝0.125s，故D正确。 故选：D。 3．（2026春•昆山市校级期中）如图所示，空间存在间距为L的两足够大有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场的宽度也为L，磁场方向竖直向下，一矩形金属框abcd置于光滑绝缘水平台面上，已知ab＝3L，t＝0时刻bc边与磁场Ⅰ的左边界重合。现用水平恒力F向右拉动金属框，当bc边经过磁场Ⅱ的左边界时框开始做匀速运动。在金属框穿出磁场Ⅰ前的运动过程中，下列描述框的速度v、流过框中的电流i、通过框截面的电量q、框克服安培力做的功W随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A．根据题意，首先分析bc边在磁场Ⅰ中时金属框的运动，在此过程中金属框受到的安培力为 可以看出金属框受到的安培力随着金属框速度的增大而增大，而金属框受到的安培力方向与金属框运动方向相反，则bc边在磁场Ⅰ中时金属框做加速度减小的加速运动；然后分析bc边在磁场Ⅰ、Ⅱ之间的区域中时金属框的运动，在此过程中金属框只受到恒力F，则金属框做匀加速直线运动；最后分析bc边在磁场Ⅱ中时金属框的运动，根据题意可知在此过程中金属框做匀速直线运动。因此v﹣t图像应该一开始是一条弯曲的线且斜率不断减小，然后是一段斜率固定且为正的直线，最后是一段水平的直线，故A错误； B．由感应电动势公式以及欧姆定律可得电流 可知电流i与金属框速度以及磁场强度有关，i﹣t图像第一和第三阶段的图线趋势应与v﹣t图像一致，而第二阶段由于bc边不在磁场中，磁场强度B为零，则电流为零，故B错误； C．在前面选项分析的基础上，先分析bc边在磁场Ⅰ中时的情况，可知金属框做加速度减小的加速运动，则金属框中的电流不断增强且增速不断减慢，所以通过金属框截面的电量q不断增加且增速不断减慢，q﹣t图像应该是斜率不断减小的曲线；再分析bc边在磁场Ⅰ、Ⅱ之间的区域中时的情况，在此过程中bc边未切割磁感线，金属框中没有电流，则通过金属框截面的电量q不会增加，q﹣t图像应该是一条水平直线；最后分析bc边在磁场Ⅱ中时的情况，此时金属框做匀速直线运动，电流保持不变，则通过金属框截面的电量q应匀速增加，此段时间内q﹣t图像应该是一条斜率固定且为正的直线。故C正确； D．金属框受到的安培力，分析bc边在磁场Ⅰ中时的情况，金属框受到的安培力不断增大且增速不断减小，则克服安培力做的功W也不断增加且增速不断减小，W﹣t图像应该是斜率不断减小的曲线；然后分析bc边在磁场Ⅰ、Ⅱ之间的区域中时的情况，在此过程中金属框不受安培力，此段时间内安培力做功为零，则W﹣t图像应该是一条与水平轴重合的线；最后分析bc边在磁场Ⅱ中时的情况，金属框受到的安培力不变，则克服安培力做的功W匀速增加，W﹣t图像应该是一条斜率固定且为正的直线，结合以上分析可知此图像符合。故D错误。 故选：C。 4．（多选）（2026•安徽模拟）如图所示，光滑斜面倾角θ＝30°，间距为L的水平线GH和PQ间有垂直于斜面向上的匀强磁场Ⅰ，间距大于L的水平线PQ和MN间有垂直斜面向下的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为B，边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd从斜面上GH上方由静止释放，线框运动过程中ab边始终水平，线框ab边刚进磁场Ⅱ时，线框的加速度恰好为零，线框ab边刚出磁场Ⅱ时线框的加速度也恰好为零，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．线框进入磁场Ⅱ的过程中，通过线框截面的电量为 B．线框进磁场Ⅰ的过程可能做减速运动 C．线框从静止释放到ab边刚进磁场Ⅱ所用时间为 D．水平线PQ和MN间的距离为L 【答案】ACD 【解答】解：A.线框进入磁场Ⅱ的过程中，通过线框截面的电量 故A正确； B.若线框进磁场Ⅰ过程如果做减速运动，则线框ab边刚进磁场Ⅱ时一定做减速运动，故B错误； C.设线框ab边刚进磁场Ⅱ时线框的速度为v1，则有 解得 线框从静止释放到ab边刚进磁场Ⅱ的过程中，以沿斜面向下的方向为正方向，根据动量定理有 解得 故C正确； D，设线框ab边刚出磁场时线框的速度为v2，则有 解得 设水平线MN与PQ间的距离为s，从线框ab边刚进磁场Ⅱ到ab边刚出磁场Ⅱ过程应用动能定理有 解得 故D正确。 故选：ACD。 综合提升 一．选择题 1．（2025•固始县一模）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为d→c B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在0﹣t0时间内，ab棒产生的热量为 D．在0∼t0时间内，通过cd棒的电荷量为 【答案】D 【解答】解：A、金属棒ab刚开始运动时，根据右手定则可知cd棒中的电流方向为c→d，故A错误； B、ab运动后，由于安培力作用，速度会逐渐减小，同时cd棒将做加速运动，回路总电动势减小，电流减小，cd棒受到的安培力会减小，由于：F＝m′a，可知，cd棒的加速度会减小，故B错误； C、两金属棒组成的系统动量守恒：，解得：m′＝2m，由于ab棒与cd棒质量之比为1：2，且它们的材料和长度相同，故横截面积之比为1：2，由，得电阻之比为2：1，故ab棒与cd棒产生的热量之比为2：1，根据两棒组成的系统能量守恒有： 0～t0时间内ab棒产生的热量：，故C错误； D、对cd棒列动量定理有：，又：，则在0～t0时间内，通过cd棒的电荷量：，故D正确。 故选：D。 2．（2025春•常州期中）如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 【答案】C 【解答】解：AB、若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，ab棒做切割磁感线运动，产生感应电流，受到沿导轨向上的安培力而减速。cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，当两棒速度相同时，不再产生感应电流，因两棒受到的滑动摩擦力大小f＝mgsinθ，两棒的合外力均为零，所以最终两棒分别以大小相等的速度匀速运动，故AB错误； CD、若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，ab棒沿导轨向下做加速运动，产生感应电流，cd棒受到沿导轨向下的安培力而加速，开始阶段，ab棒的加速度大于cd棒的加速度，两棒的速度差增大，回路总的电动势增大，感应电流增大，两棒受到的安培力增大，则ab棒的合外力减小，加速度减小。cd棒的合外力增大，加速度增大，当两棒的加速度相同时，速度差不变，产生的感应电流不变，两棒受到的安培力不变，加速度不变，所以最终两棒速度不同而加速度相同，故C正确，D错误。 故选：C。 3．（2025春•姑苏区校级期中）如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度v0，不计导轨电阻，则（　　） A．M棒刚开始运动时的加速度大小为 B．金属棒M最终的速度为 C．金属棒N最终的速度为 D．整个过程中通过金属棒的电荷量为 【答案】D 【解答】解：A、M棒刚开始运动时，M棒产生的感应电动势为E＝B•2Lv0 根据闭合电路欧姆定律得 由牛顿第二定律得2BIL＝ma 联立解得，故A错误； BC、最终两棒产生的感应电动势大小相等，回路中的电流为0，则有2BLvM＝BLvN 对金属棒M，取向右为正方向，由动量定理得 ﹣B•2L•t＝mvM﹣mv0 对金属棒N，取向右为正方向，由动量定理得 BL•t＝mvN 联立解得，，故BC错误； D、通过金属棒的电荷量为q•t 对金属棒N，取向右为正方向，由动量定理得 BL•t＝mvN 联立解得整个过程中通过金属棒的电荷量为，故D正确。 故选：D。 4．（2021•南京模拟）如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的焦耳热为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（　　） A．v的大小等于 B．撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为v，方向向右 C．撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为v，方向向右 D．撤去拉力F后，整个回路产生的焦耳热为mv2 【答案】C 【解答】解：A、两棒的长度之比为1：2，所以电阻之比为1：2， 由于流过两金属棒的电流在任何时刻均相等，由焦耳定律Q＝I2Rt可知，CD棒产生的焦耳热是AB棒产生焦耳热2倍，即CD棒产生的焦耳热为2Q，在CD棒向右运动距离为s的过程中，对系统由功能关系得：Fs，解得：v，故A错误； BC、令AB棒的长度为L，则CD棒长为2L，撤去拉力F后，AB棒继续向左加速运动，而CD棒向右开始减速运动，两棒最终匀速运动时，电路中电流为零，两棒切割磁感线产生的感应电动势大小相等，感应电动势：BLvAB＝B•2LvCD，解得：vAB＝2vCD， 撤去外力后到棒匀速运动过程，由动量定理得： 对AB：FABt＝mvAB﹣mv 对CD：﹣FCDt＝mvCD﹣mv， 由安培力公式F＝BIL可知，安培力大小：FCD＝2FAB， 解得：vABv，水平向左 vCDv，水平向右，故B错误，C正确； D、撤去外力F到最终稳定运动过程中，由能量守恒定律得； 解得：Q′，故D错误。 故选：C。 5．（2026•模拟）如图所示，光滑绝缘水平台面上有两平行虚线，其间距为3L，两虚线间存在竖直向上的匀强磁场。一边长为L的单匝正方形导线框abcd，在磁场左侧平台上向右匀速运动，t＝0时刻导线框ab边进入磁场，t1时刻cd边进入磁场，t2时刻ab边离开磁场，t3时刻cd边离开磁场。已知导线框运动过程中ab边始终与虚线平行。下列说法正确的是（　　） A．导线框进入磁场和离开磁场的过程中，线圈内电流方向相同 B．0～t1时间内，导线框中的电流恒定 C．0～t1与t2～t3时间内，通过导线框的电荷量相等 D．0～t1与t2～t3时间内，导线框速度的变化量可能不相同 【答案】C 【解答】解：A、导线框进入磁场时，穿过线框的磁通量增大；离开磁场时，磁通量减小。依据楞次定律，这两种情形下线框内的感应电流方向相反，故A错误； B、在0～t1时段内，ab边切割磁感线，由右手定则判定感应电流方向从a流向b，再根据左手定则可知ab边所受安培力水平向左，线框做减速运动。线框产生的感应电动势逐渐减小，感应电流也随之减小，故B错误； C、在0～t1与t2～t3两段时间内，穿过线框的磁通量变化量相等，根据，可知通过线框横截面的电荷量相同，故C正确； D、在0～t1与t2～t3两段时间内，对线框分析，取向右为正方向，由动量定理得。因为电荷量q相等，所以速度变化量Δv也相等，故D错误。 故选：C。 6．（2026春•烟台期中）如图甲所示，一质量为m，电阻为R，边长为L的正方形金属线框abcd，从ab边距离匀强磁场上边界L处自由释放，线框之后运动过程的v﹣t图像如图乙所示，图中图线OA段跟CD段斜率相等，BC段与t轴平行，AB段上B点的切线与BC段平行。线框下落过程ab边始终与磁场边界平行，已知匀强磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g，不计空气阻力，整个过程中线框产生的焦耳热为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：线框从距离磁场上边界L处由静止释放，下落L距离后ab边进入磁场，根据，解得线框进入磁场时的速度。由v﹣t图像可知，线框在BC段做匀速运动，此时安培力与重力平衡，即mg＝F安，结合安培力公式，解得匀速运动的速度。 在进入磁场的过程中（对应图像A→C），线框位移为L，根据能量守恒定律有，代入vA的表达式，解得进入过程产生的焦耳热。 由图像可知CD段图线为直线且斜率与OA段相等，说明线框完全进入磁场后仅受重力做匀加速运动，加速度为g。由于OA段对应的位移为L，且线框在磁场中完全进入后的运动距离也为L，则线框开始离开磁场时的速度vD满足。 在线框离开磁场的过程（从D点开始）中，位移亦为L，由题意及过程对称性可知，线框完全离开磁场时的末速度仍为vB，根据能量守恒定律有，解得离开过程产生的焦耳热。 整个过程中产生的总焦耳热，将vB的表达式代入，得。 根据上述分析可知，线框产生的总焦耳热为，故B正确，ACD错误。 故选：B。 二．多选题 7．（多选）（2025秋•五华区校级期末）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，虚线OO'垂直导轨，导轨所在空间区域OO′两侧存在着方向相反的竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧，并与导轨保持良好接触。不计导轨的电阻，现使a获得一个水平向左的初速度v0，下列关于a、b两棒此后整个运动过程的说法正确的是（　　） A．a、b两棒受到的安培力大小相等，方向相同 B．棒a最终停止运动 C．导体棒b最终产生的热量为 D．稳定前，若通过导体棒a的电荷量为q，此过程中两棒运动的位移大小之差为 【答案】ACD 【解答】解：A、a棒向左运动时切割磁感线，产生感应电流，根据右手定则判断可知回路中感应电流沿逆时针方向，由左手定则可知a棒所受安培力方向水平向右，b棒所受安培力方向水平向右。通过两棒的电流大小相等，由F＝BIL可知，ab两棒受到的安培力大小相等，故A正确； B、b棒在安培力作用下向右运动，也要产生感应电动势，当两棒产生的感应电动势抵消时回路中没有感应电流，两棒不再受安培力，从而做匀速直线运动，达到稳定状态，此时有BLva＝BLvb，则得va＝vb，即稳定时两棒速度大小相等。 对a棒，取水平向左为正方向，根据动量定理得 ﹣BL•Δt＝mva﹣mv0 对b棒，取水平向右为正方向，根据动量定理得 BL•Δt＝mvb﹣0 联立解得va＝vb，故a、b两棒最终都将以大小为的速度做匀速直线运动，故B错误； C、对两棒组成的系统，由能量守恒定律得：2m（）2+Q总，b棒最终产生的热量QbQ总，解得：Qb，故C正确； D、设此过程中两棒运动的位移大小之差为Δx。根据qtt，可得Δx，故D正确。 故选：ACD。 8．（多选）（2025秋•泰安期末）如图所示，用金属制作的曲线导轨与水平导轨平滑连接，水平导轨宽轨部分间距为2L，有竖直向下的匀强磁场，窄轨部分间距为L，有竖直向上的匀强磁场，两部分磁场磁感应强度大小均为B。质量均为m的金属棒M、N垂直于导轨静止放置，现将金属棒M自曲线导轨上距水平导轨h高度处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为R，其余电阻不计，导轨足够长，M棒总在宽轨上运动，N棒总在窄轨上运动，不计所有摩擦。下列说法正确的是（　　） A．M棒刚进入磁场时加速度为 B．M棒刚进入磁场时加速度为 C．通过N棒的最大电量为 D．通过N棒的最大电量为 【答案】AD 【解答】解：金属棒M沿曲线导轨下滑过程中，根据机械能守恒定律有，解得棒M进入水平导轨时的速度。 AB、棒M进入磁场瞬间，其切割磁感线产生的感应电动势E＝B•2L•v0，由闭合电路欧姆定律可得回路中的感应电流， 此时棒M所受安培力，根据牛顿第二定律可得棒M的加速度，故A正确，B错误； CD、设棒M的初速度方向为正方向，对棒M应用动量定理有，即﹣2BLq＝mvM﹣mv0； 棒N所在回路磁场方向相反，其安培力方向与M相同，对棒N应用动量定理有，即BLq＝mvN； 当两棒产生的感应电动势大小相等且相互抵消时，回路电流为零，系统达到稳定状态，此时满足B•2L•vM＝B•L•vN，即vN＝2vM； 联立上述方程，解得通过棒N的电量，故C错误，D正确。 故选：AD。 9．（多选）（2025•石家庄校级开学）如图所示，两条足够长的光滑金属导轨平行放置在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。由同种材料制成的、粗细相同的导体棒C和导体棒D分别垂直于导轨放置。已知D棒的长度为L、电阻为R、质量为m，C棒的长度为2L，导轨电阻不计。第一次锁定D棒，让C棒以初速度v0向右运动，C棒运动一段距离x后停止运动（未到两导轨连接处），该过程中通过C棒的电荷量为q1。第二次解除锁定，让C棒仍以初速度v0向右运动，当C棒的速度稳定时还未到两导轨连接处，该过程中通过D棒的电荷量为q2，D棒中产生的焦耳热为Q，x、q1、q2、Q均未知，下列说法正确的是（　　） A． B．q1：q2＝3：2 C． D．第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比 【答案】ABD 【解答】解：A、锁定D棒，C棒滑行并逐渐停下，规定向右为正方向，由动量定理得 解得 又由和 可知 又ΔΦ＝B•2Lx，解得，故A正确； B、第二次解除锁定后两棒都运动，稳定时回路中无电流，则有B•2Lv1＝BLv2 规定向右为正方向，对C棒，由动量定理有 对D棒，由动量定理有 解得，， 可得，故B正确； C、由能量守恒定律有 解得，故C错误； D、锁定D棒，C棒滑行过程中速度逐渐减小，对应的感应电动势逐渐减小，因此其热功率也逐渐减小，由E1＝B•2Lv和，可知，即第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比，故D正确。 故选：ABD。 10．（多选）（2025秋•大连期末）如图所示，足够长的水平轨道左侧b1b2﹣c1c2部分轨道间距为2L，右侧c1c2﹣d1d2部分的轨道间距为L，曲线轨道与水平轨道相切于b1b2，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T。质量为M＝0.2kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为m＝0.1kg的金属棒A自曲线轨道上距水平轨道高为h的a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，金属棒A在宽轨道上运动稳定很长一段时间后进入窄轨道上运动，金属棒B总在窄轨道上运动。已知：金属棒A在宽轨道上运动时，两金属棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2Ω，h＝0.2m，L＝0.2m，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。则（　　） A．金属棒A在宽轨道上稳定运动的速度大小m/s B．金属棒A在宽轨道上运动过程中，通过金属棒A某截面的电荷量C C．金属棒A在宽轨道上运动过程中，金属棒A、B在水平轨道间扫过的面积之差是m2 D．金属棒B最终速度大小为m/s 【答案】BD 【解答】解：AB、金属棒A下滑至水平轨道时的初速度，解得：v0＝2m/s；磁场垂直于轨道平面的分量B1＝Bcos37°，解得：B1＝0.08T。在宽轨道稳定运动时，回路电动势平衡，有B1（2L）vA1＝B1LvB1，解得：vB1＝2vA1；根据动量定理，对棒A有﹣∫B1（2L）Idt＝m（vA1﹣v0），对棒B有∫B1LIdt＝M（vB1﹣0），联立方程得m（v0﹣vA1）＝2MvB1，代入数据解得金属棒A稳定时的速度，棒B的速度，故A错误；通过金属棒的电荷量，代入数据解得，故B正确； C、在宽轨道运动过程中，回路磁通量的变化量ΔΦ＝B1（2LxA﹣LxB）＝B1ΔS，根据电荷量公式，代入数据解得面积之差，解得：，故C错误； D、当棒A进入窄轨道后，两棒均在间距为L的轨道上运行，系统动量守恒，有mvA1+MvB1＝（m+M）vB2，代入数据解得最终速度，故D正确。 故选：BD。 11．（多选）（2026•河南模拟）如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（　　） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进入磁场区域时，所受合力大小之比为2：1 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4：3 【答案】BD 【解答】解：A、线框进入磁场的过程中，向上的磁通量增大，根据楞次定律可知感应电流的方向为顺时针方向； 线框离开磁场的过程中，向上的磁通量减小，根据楞次定律可知感应电流的方向为逆时针方向，即两个过程中电流方向相反，故A错误； B、当线框刚进入磁场区域时，切割磁感线的有效长度为L，感应电动势为E＝BLv0，感应电流为，线框受到的安培力即为合力，大小为，其中R'为线框的总电阻。由于甲、乙两线框的电阻分别为R和2R，代入可得其所受合力大小之比为2：1，故B正确； C、线框在完全进入或完全离开磁场的过程中，根据动量定理有，即﹣BLq＝mΔv。根据法拉第电磁感应定律与欧姆定律，单次进、出磁场过程中通过线框截面的电荷量为，代入可得单次进、出磁场过程的速度变化量均为。因此，从刚进磁场到完全出磁场的全过程中，速度总变化量为。对于乙线框，其电阻为2R，代入可得速度总变化量为，则乙线框完全出磁场时的速度大小为 ，不为0，故C错误； D、对于甲线框，其电阻为R，速度总变化量为，则甲线框完全出磁场时的速度大小为v1＝0。根据能量守恒定律，线框产生的焦耳热等于其动能的减少量，则甲线框产生的焦耳热为，乙线框产生的焦耳热为，故甲、乙线框产生的焦耳热之比为Q1：Q2＝4：3，故D正确。 故选：BD。 12．（多选）（2026春•武汉期中）火箭的回收利用可有效削减航天发射成本，电磁缓冲是火箭回收的关键技术，电磁缓冲装置的结构如图。匝数为n、总电阻为R、边长为l的正方形闭合线圈abcd固定在火箭主体下部，主体外侧安装有由高强度绝缘材料制成的缓冲槽，主体底端到缓冲槽底端的距离为H，且H＜l。槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度为B的匀强磁场。某时刻主体（含线圈）以速度v0进入缓冲槽，缓冲槽保持静止于地面，此后主体（含线圈）在磁场内减速向下运动直至线圈的ab边落至缓冲槽底端时恰好静止。已知主体（含线圈）总质量为m，重力加速度为g，不计其他阻力。则（　　） A．缓冲槽刚静止时线圈中感应电流的大小为 B．缓冲槽刚静止时主体受到的安培力大小为 C．线圈相对缓冲槽下落高度h时速度减至，此过程所用时间为 D．从缓冲槽着地到线圈的ab边落至缓冲槽底端的过程中线圈上产生的焦耳热Q为 【答案】AD 【解答】解：AB．线圈刚进入缓冲槽时速度为v0，此时产生的感应电动势为E＝nBlv0，根据闭合电路欧姆定律，线圈中感应电流的大小为，线圈受到的安培力大小为，故A正确，B错误。 C．设线圈在缓冲槽中下落过程某时刻速度为v，感应电流为I，经Δt，速度变化Δv，取向下为正方向，由动量定理有（mg﹣nBlI）Δt＝mΔv，对过程求和得；又通过线圈的电荷量，解得时间，故C错误。 D．从缓冲槽着地到线圈的ab边落至缓冲槽底端的过程中，依据能量守恒定律有，故D正确。 故选：AD。 三．解答题 13．（2025秋•汇川区校级期末）如图所示，在水平桌面上固定两根光滑且足够长的平行金属导轨，将两根导体棒a、b垂直导轨放置，空间存在垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场。ma＝2mb＝2m，两棒长度均为L，相距为d0，棒a的电阻为R，棒b的电阻为2R；刚开始棒b静止，棒a以初速度v0水平向右运动，且运动过程中导体棒a与b不会发生碰撞，求在整个过程中： （1）棒a加速度的最大值； （2）棒b产生的焦耳热Qb； （3）两棒间的最小距离d。 【答案】（1）棒a加速度的最大值为； （2）棒b产生的焦耳热为； （3）两棒间的最小距离为。 【解答】解：（1）棒a向右运动时，由右手定则，可得到感应电流方向，由左手定则，可得到棒a受到水平向左的安培力，即棒a减速； 由法拉第电磁感应定律可得：E＝BLv，由闭合电路欧姆定律可得：，由安培力公式可得：F＝BIL，解得：，根据牛顿第二定律，可得：，初始速度最大时加速度最大，即； （2）对棒a、b整体受力分析，可知整体受到的合力为零，即整体动量守恒，以a的初速度方向为正方向，则2mv0＝（2m+m）v； 从a开始运动到稳定过程中，对整体应用动能定理，可得：，由功能关系可得：Q＝|W安|， 根据电路连接情况，可知两棒电流相等，两棒产生的焦耳热与电阻成正比，则b产生的焦耳热满足：，解得：； （3）对两棒受力分析，结合楞次定律，可知a受到的安培力水平向左，b受到的安培力水平向右，即a减速、b加速，直至共速，共速时两棒相距最近。 对棒b受力分析，可知棒b只受到安培力，从b开始运动到稳定的过程中，以水平向右为正方向。 应用动量定理得： 由闭合电路欧姆定律： 由法拉第电磁感应定律： 解得： 两棒间的最小距离为：d＝d0﹣x 解得：。 答：（1）棒a加速度的最大值为； （2）棒b产生的焦耳热为； （3）两棒间的最小距离为。 14．（2026•山西模拟）如图所示，间距为L的光滑平行导轨由足够长的水平导轨和固定在竖直面导轨组成，圆弧导轨最低点与水平导轨分别在M、N两点平滑连接，MN与导轨垂直，水平导轨处在竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B。长度均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒cd、ef垂直放在水平导轨上处于静止状态，虚线MN左侧没有磁场，质量为m、电阻为R的金属棒ab从圆弧轨道上距水平轨道高为处静止释放，三根金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直，金属棒间均不会相碰，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。求： （1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间的距离减小量。 【答案】（1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小为； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小为； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间距离减小了。 【解答】解：（1）设金属棒ab刚进磁场时速度大小为v0。金属棒ab沿圆弧导轨下滑过程，根据机械能守恒定律得 解得 金属棒ab刚进磁场时产生的感应电动势 ab两端间电压为 （2）当金属棒ab刚进入磁场时，通过金属棒ab的电流为 通过金属棒cd的电流 设金属棒cd的加速度为a，根据牛顿第二定律得 BI1L＝ma 解得 （3）从ab进入磁场至ab速度v的过程中，设ab和cd间的距离减小量为x。 对ab研究，根据动量定理得 •t＝mv﹣mv0 其中•t＝BL•t＝BL•q＝BL•BL• 解得（1分） 即从ab进入磁场至ab速度等于的过程中，ab和cd间距离减小了。 答：（1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小为； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小为； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间距离减小了。 15．（2025•崆峒区校级模拟）如图所示，M、N、P、Q四根光滑的足够长的金属导轨平行放置在水平面内，导轨间距分别为2L和L，两组导轨间由导线相连，导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两根质量分别为3m和m的导体棒ab、cd垂直于导轨静止放置，接入电路的电阻分别为2R和R，其余部分电阻不计。t＝0时给导体棒ab向右的初速度v0，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒ab未到两组导轨连接处。求： （1）t＝0时导体棒ab两端电压Uab； （2）导体棒ab稳定运动时的速度大小； （3）导体棒cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量。 【答案】（1）t＝0时导体棒ab两端电压为； （2）导体棒ab稳定运动时的速度大小为； （3）导体棒cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量为。 【解答】解：（1）t＝0时回路中的感应电动势为：E＝2BLv0，a点电势高。 导体棒ab两端电压：Uab； （2）稳定运动时，电路中电流为零，导体棒ab、cd切割产生的感应电动势大小相等，方向相反，相互抵消。 设此时导体棒ab、cd的速度分别为v1、v2，感应电动势2BLv1＝BLv2 设导体棒ab、cd变速运动的时间为Δt，取向右为正方向，由动量定理得： 对ab棒有：﹣2BLΔt＝3mv1﹣3mv0 对cd棒有：BLΔt＝mv2﹣0 联立解得：v1，v2； （3）根据能量守恒定律可知回路产生总的内能：Q总 解得：Q总 则cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量：Q。 答：（1）t＝0时导体棒ab两端电压为； （2）导体棒ab稳定运动时的速度大小为； （3）导体棒cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量为。 16．（2026•杏花岭区一模）如图所示，在绝缘水平面上固定两根光滑平行金属导轨，左右两侧导轨处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为B和2B，导轨间距分别为2d和d，已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为5L的轻质绝缘弹簧，弹簧的劲度系数为k。释放弹簧后两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。求： （1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN的运动速率及回路的总电功率； （2）弹簧伸展过程中流过导体棒MN的电流方向及弹簧释放的整个过程中通过导体棒PQ的电荷量。 【答案】（1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN的运动速率等于2v，回路的总电功率等于； （2）弹簧伸展过程中流过导体棒MN的电流方向为M指向N，弹簧释放的整个过程中通过导体棒PQ的电荷量为。 【解答】解：（1）设任意时刻回路电流为I，则PQ受安培力F1＝BI2d 左手定则可知其方向向右； MN受安培力F2＝2BId 左手定则可知其方向向左，可知两棒系统受合外力为零，系统动量守恒，设PQ质量为2m，则MN质量为m，PQ速率为v时，以向左为正方向，则2mv＝mv1 解得导体棒MN的运动速率v1＝2v 此时电流中的电流 则此时回路的总电功率 联立解得 （2）弹簧伸展过程中，根据右手定则可知，回路中产生顺时针方向的电流，导体棒MN中的电流方向由M指向N。两棒最终停止时弹簧处于原长状态，此时两棒间距增加了5L，对双棒，由动量守恒可得2mvPQ＝mvMN 整理得2mvPQ×t＝mvMN×t 可得2mxPQ＝mxMN 因为xPQ+xMN＝5L 可得则最终MN位置向右移动 PQ位置向左移动 则 因为 ΔΦ＝B×2d×xPQ+2B×d×xMN 联立解得， 答：（1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN的运动速率等于2v，回路的总电功率等于； （2）弹簧伸展过程中流过导体棒MN的电流方向为M指向N，弹簧释放的整个过程中通过导体棒PQ的电荷量为。 17．（2026•孝感模拟）某兴趣小组设计了一种电磁阻尼装置，其简化模型如图所示。光滑水平面上方存在一宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小B＝0.5T，方向竖直向下。一轻弹簧右端固定，左端恰好位于磁场右边界。一上面固定着单匝矩形线框的小车以初速度v0＝4m/s向右运动，穿过磁场，并压缩弹簧。已知线框ad边足够长，ab边宽度也为L＝1m，线框右端与小车右端平齐，小车（含线框）总质量m＝0.5kg，线框电阻R＝0.5Ω。求： （1）线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度； （2）小车向右运动过程中弹簧弹性势能的最大值； （3）若仅将线框匝数增至n＝3，线框总电阻变为3R，其他条件不变，忽略线框匝数引起的小车总质量的变化，小车最终能否静止？若能，确定其静止位置；若不能，求其最终速度大小。 【答案】（1）线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小为4m/s2。 （2）小车向右运动过程中弹簧弹性势能的最大值为2.25J。 （3）能静止，最终静止位置为ab边位于磁场右边界左侧处。 【解答】解：（1）线框刚进入磁场左边界时，其速度为v0＝4m/s，产生的感应电动势为E＝BLv0。 根据闭合电路欧姆定律，回路中的感应电流为，线框所受安培力大小为FA＝BIL。 依据牛顿第二定律FA＝ma，联立以上各式，解得小车的加速度大小为，代入数据可得a＝4m/s2。 （2）小车向右运动，当ab边穿过整个磁场区域时，规定向右为正方向，对小车应用动量定理有， 其中通过线框截面的电荷量为，联立可得，代入数据解得ab边刚出磁场右边界时小车的速度v1＝3m/s。 此后小车继续向右运动并压缩弹簧，由于线框ad边足够长，在此过程中ab边处于磁场右边界外侧， 而cd边尚未进入磁场左边界，穿过线框的磁通量保持不变（始终为Φ＝BL2），因此线框中无感应电流，不受安培力。 小车压缩弹簧的过程中仅有弹力做功，机械能守恒。当小车速度减为零时，弹簧的弹性势能达到最大，根据能量守恒定律有，代入数据解得弹性势能的最大值Epm＝2.25J。 （3）若仅将线框匝数增至n＝3，则线框总电阻为R总＝3R，解得R总＝1.5Ω。 在ab边第一次向右穿过磁场区域的过程中，对小车应用动量定理有， 其中电荷量为，联立可得，代入数据解得ab边刚出磁场右边界时小车的速度v2＝1m/s。 同理，小车压缩弹簧的过程机械能守恒，反弹后ab边再次回到磁场右边界时速度大小为v3＝1m/s，方向向左。 ab边向左进入磁场后，再次受到向右的安培力做减速运动，设小车向左最多能滑行的距离为x。 对向左滑行的过程应用动量定理，有，其中电荷量为。联立推导可得，代入数据解得。 由于L＝1m，说明小车在向左完全穿出磁场前速度已经减为零。此后线框不再产生感应电流，也不再受安培力，弹簧已恢复原长，故小车最终能够静止。 其最终静止位置为：ab边位于磁场右边界左侧处（或距离磁场左边界处）。 答：（1）线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度大小为4m/s2。 （2）小车向右运动过程中弹簧弹性势能的最大值为2.25J。 （3）能静止，最终静止位置为ab边位于磁场右边界左侧处。 18．（2026•东港区校级模拟）如图所示，足够长的光滑斜面与水平面的夹角为θ，虚线MN与斜面底端平行，虚线右侧有磁感应强度大小为B、方向垂直斜面向上的匀强磁场；在虚线MN的左侧有一结构为三个相同的正方形的金属框，正方形的边长为l，其中ab、cd、ef、gh都与虚线MN平行且电阻均为r，金属框的其他电阻不计，金属框的质量为m，初始ab边刚好在虚线MN处且金属框有一沿斜面向下的速度v0，当金属框刚好全部进入磁场时的速度为v，已知重力加速度为g，求： （1）ab边刚进入磁场时流过ab边的电流大小； （2）金属框从开始到全部进入磁场，通过ab边的电荷量以及通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量之比； （3）金属框从开始到全部进入磁场所经历的时间。 【答案】（1）ab边刚进入磁场时流过ab边的电流大小为。 （2）金属框从开始到全部进入磁场，通过ab边的电荷量为，通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量之比为3：1：1：3。 （3）金属框从开始到全部进入磁场所经历的时间为。 【解答】解：（1）ab边刚进入磁场时，仅ab边切割磁感线产生感应电动势E1＝Blv0，此时ab边相当于电源，cd、ef、gh三条边并联构成外电路，等效外电阻。 根据闭合电路欧姆定律，流过ab边的电流大小，联立解得。 （2）将金属框进入磁场的全过程分为三段（每段位移均为l）。设各段时间间隔为Δt，对应产生的平均感应电动势，即。 规定沿斜面向上为感应电动势与电流的正方向。根据并联电路规律，三段过程中导轨间的平均电压分别为、、。 根据电荷量公式，逐段累加可得各边的净电荷量： ab边（全程切割）：； cd边（后两段切割）：； ef边（最后一段切割）：； gh边（全程不切割）：。 故通过ab边的电荷量为，通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量大小之比为3：1：1：3。 （3）在金属框进入磁场的全过程中，取运动方向为正方向，对金属框沿斜面方向应用动量定理，有mgsinθ•t﹣I安＝m（v﹣v0）。 其中安培力的总冲量I安为三段过程安培力冲量之和。根据： 第一段仅ab边受安培力，冲量； 第二段ab、cd边受安培力，冲量； 第三段ab、cd、ef边受安培力，冲量。 全过程安培力总冲量。 将I安代入动量定理方程，得，联立解得所经历的时间。 答：（1）ab边刚进入磁场时流过ab边的电流大小为。 （2）金属框从开始到全部进入磁场，通过ab边的电荷量为，通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量之比为3：1：1：3。 （3）金属框从开始到全部进入磁场所经历的时间为。 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $ 第26讲 电磁感应现象的 “双棒” 和线框题型 题型一 无动力光滑等间距双杆题型 1 题型二 有动力光滑等间距双杆题型 3 题型三 无动力的不等间距双杆题型 5 题型四 有动力的不等间距双杆题型 7 题型五 在安培力作用下线框穿越磁场题型 9 题型六 有动力和安培力作用下线框穿越磁场题型 11 综合提升 13 题型一 无动力光滑等间距双杆题型 1．（2026•西安三模）如图所示，足够长、间距为L的平行光滑金属导轨固定在水平面上，MN左侧导轨处在垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中，MN右侧导轨处在垂直导轨平面向下、磁感应强度大小为2B的匀强磁场中，质量均为m的金属棒a、b分别垂直放置在MN右侧与左侧的导轨上，给金属棒a一个水平向右、大小为v0的初速度，此后两金属棒运动过程中始终垂直导轨并接触良好，两金属棒接入电路的电阻均为R，不计金属导轨的电阻及电磁辐射产生的能量损失。则下列说法正确的是（　　） A．金属棒b受到的安培力做负功 B．两金属棒组成的系统动量守恒 C．从开始运动到最终匀速运动，通过金属棒b的电荷量为 D．从开始运动到最终匀速运动，金属棒b中产生的焦耳热为 2．（2025春•南安市期末）如图所示，光滑金属导轨MN、PQ水平固定放置，间距为L，两导轨之间存在着与导轨平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B。金属棒ab与cd质量分别为4m、m，电阻分别为R、4R，长度均为L，放置在导轨上并与导轨垂直。现同时给金属棒ab与cd一个大小为v0的初速度，方向分别向左、向右，两金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，不计导轨电阻，忽略感应电流产生的磁场，则下列说法正确的是（　　） A．通过金属棒ab的最大电流为 B．金属棒cd的最大加速度为 C．金属棒cd的速度减为零时，回路中的电流为 D．从初始时刻到金属棒cd的速度减为零时，两导体棒之间的距离增大了 3．（2025•攀枝花三模）如图所示，光滑平行的水平导轨ab、cd之间有垂直纸面向里的匀强磁场，导轨间距为L，电阻均为R、长均为L的金属棒A、B置于导轨上，与导轨接触良好，导轨左侧接了阻值也为R的定值电阻。现同时分别给A、B一个初速度vA、vB，且2vA＜vB。导轨电阻不计，则A、B棒开始运动的瞬间流过金属棒B中的电流大小为（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（2026春•天山区校级期中）两根足够长的平行光滑导轨固定在绝缘水平面上，所在空间有方向垂直于水平面、磁感应强度为B的范围足够大的匀强磁场，导轨的间距为L，电阻不计；导轨上静置两根长度均为L的导体棒PQ和MN，其中PQ的质量为2m、阻值为R，MN的质量为m、阻值为2R。若在t＝0时刻给PQ一个平行于导轨向右的初速度v0，不计运动过程中PQ和MN的相互作用力，则（　　） A．t＝0时刻，两导体棒的加速度大小相等 B．t＝0时刻，PQ两端的电压为BLv0 C．PQ匀速运动时的速度大小为v0 D．从t＝0时刻到PQ匀速运动的过程中，导体棒MN产生的焦耳热为 题型二 有动力光滑等间距双杆题型 1．（2026•龙岩模拟）如图所示，两平行金属导轨ABC和A′B′C′，其中AB、A′B′段光滑且足够长，与水平方向夹角为30°，BC、B′C′段水平粗糙。空间存在方向分别与两导轨平面垂直向上、磁感应强度大小相等的匀强磁场。现有两根完全相同的导体棒a、b，导体棒b静置于水平导轨某处，导体棒a在AA′处静止释放，当a棒开始匀速运动时，b棒恰好能保持静止。导轨电阻不计，滑动摩擦力等于最大静摩擦力。关于这一过程说法正确的是（　　） A．金属棒b受到的安培力方向水平向左 B．金属棒b与水平导轨间动摩擦因数为0.5 C．金属棒a克服安培力做的功等于金属棒a产生的焦耳热 D．金属棒a所受安培力的冲量等于金属棒a的动量变化 2．（2025•盐池县二模）如图所示，绝缘平面上固定两条足够长的“V”字型光滑平行导轨，导轨间距为l，左右两侧导轨与水平面夹角分别为θ、2θ，均处在竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度分别为B、2B，不计导轨电阻。两侧顶端分别用外力固定质量为m，2m的导体棒ab、cd，电阻分别为R、2R，导体棒垂直于导轨，且运动过程中始终未脱离导轨，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　） A．若ab棒具有沿斜面向上的初速度，则cd棒由静止释放瞬间加速度可能为零 B．若cd棒具有沿斜面向上的初速度，则ab棒由静止释放瞬间加速度可能为零 C．若cd棒始终固定，ab棒由静止释放后的稳定速度为 D．若两导体棒同时静止释放，两棒最终不可能同时匀速下滑 3．（2025春•常州期末）两根足够长不计电阻的光滑平行金属导轨上垂直放置两根完全相同的导体棒ab、cd，装置处于垂直导轨平面的匀强磁场中，如图所示。t＝0时，对cd施加向右的恒力F，下列图像中，v、a、d、i分别为导体棒的速度、加速度、间距和电流，则不可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（2026•临泉县校级二模）如图，平行金属导轨由两部分组成，MN与M′N′是圆心角为60°、半径r＝0.9m的圆弧形导轨，NQ与N′Q′是水平长直导轨，圆弧形导轨与长直导轨在N、N′处相切，平行导轨间距L＝1m。NN′右侧存在磁感应强度大小为4T、方向竖直向上的匀强磁场，导体棒a垂直导轨放置，其质量m1＝0.3kg，接入电路中的电阻R1＝6.0Ω。导体棒b的质量m2＝0.2kg，从距离MM′高度h＝0.6m处以一定初速度v0水平抛出，恰能无碰撞地从MM′滑入右侧平行导轨，导体棒b滑入平行导轨后与导轨垂直且接触良好，导体棒b接入电路中的电阻R2＝2.0Ω。两导体棒始终没有相碰。重力加速度g＝10m/s2，不计导轨电阻、一切摩擦及空气阻力，则（　　） A．导体棒b抛出时的速度 B．导体棒b刚进入磁场时回路中感应电流沿逆时针方向（俯视） C．导体棒b进入磁场后的加速度最大值为50m/s2 D．导体棒a、b在磁场中运动产生的总焦耳热（导轨足够长）为2.0J 题型三 无动力的不等间距双杆题型 1．（2025•朝阳区校级开学）如图所示，空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态，从开始运动到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 2．（2026春•鼓楼区校级月考）如图所示，两固定在水平面上的平行金属导轨由宽轨M1N1、M2N2，窄轨O1P1、O2P2两部分组成，宽轨部分间距为2L，窄轨部分间距为L。现将两根材料相同、横截面积相同的金属棒ab、cd分别静置在宽轨和窄轨上。金属棒cd的质量为m，电阻为R，长度为L，金属棒ab的长度为2L，两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且接触良好。金属导轨处在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给金属棒ab水平向右的初速度v0，此后金属棒ab始终在宽轨磁场中运动，金属棒cd始终在窄轨磁场中运动。已知除金属棒的电阻之外其余电阻不计，宽轨和窄轨都足够长，不计一切摩擦。下列说法正确（　　） A．金属棒cd开始运动后，金属棒cd中的电流方向为d→c B．当两金属棒匀速运动时，cd棒的速度为 C．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，通过金属棒cd的电荷量为 D．金属棒ab从开始运动到匀速的过程中，金属棒cd中产生的热量为 3．（2025•保定一模）如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MNPQ和M1N1P1Q1固定在绝缘水平面上，左、右两侧导轨间距分别为2L和L，金属棒a、b的质量分别为2m、m，阻值分别为2R、R，长度分别为2L、L，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现给金属棒a一水平向右的初速度v0，经一段时间后金属棒a、b达到稳定速度。已知运动过程中两金属棒a、b始终与导轨垂直且接触良好，金属棒a一直未到达NN1位置，下列说法正确的是（　　） A．稳定后金属棒a的速度大小为v0 B．稳定后金属棒b的速度大小为 C．整个运动过程中产生的热量为m D．从开始运动至达到稳定速度的过程中，流过金属棒b的电荷量为 4．（多选）（2025秋•锡林郭勒盟期末）如图，在水平面内固定的光滑平行金属导轨PQ、MN，左侧间距0.6m，右侧间距0.3m，导轨电阻不计且足够长。空间有竖直向上的磁感应强度为0.5T的匀强磁场。完全相同的导体棒a、b分别放在宽窄不同的导轨上静止，质量都为0.1kg，b棒接入导轨中的电阻为0.1Ω，两棒始终与导轨垂直。给a棒水平向右4m/s的初速度，在a棒到达宽窄导轨分界前两棒已达到稳定状态，下列说法正确的是（　　） A．达到稳定状态时a棒与b棒共速 B．达到稳定状态时a棒速度为0.8m/s C．达到稳定过程中a棒产生的焦耳热为0.64J D．达到稳定过程中回路磁通量改变了0.32Wb 题型四 有动力的不等间距双杆题型 1．（2024秋•辽宁期末）光滑平行导轨abcd与a′b′c′d′如图所示，轨道的水平部分bcd，b′c′d′处于竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为cd段轨道宽度的2倍，bc段和cd段轨道都足够长，轨道的电阻不计。现将质量均为m的金属棒P和Q（P和Q都有电阻，但具体阻值未知）分别置于轨道上的ab段和cd段，将P棒置于距水平轨道高为h处由静止释放，使其自由下滑，重力加速度为g。则（　　） A．当P棒进入轨道的水平部分后，P棒先做加速度逐渐增大的减速直线运动 B．当P棒进入轨道的水平部分后，Q棒先做匀加速直线运动 C．从静止释放P棒直至P棒、Q棒稳定运动的过程中，系统的生热量为 D．从静止释放P棒直至P棒、Q棒稳定运动的过程中，系统的生热量为 2．（2024秋•雁塔区校级期末）如图所示，足够长的光滑平行金属导轨水平放置，以直线MN为分界线，MN左、右两侧导轨的间距分别为l、2l。导轨处在竖直向上的匀强磁场中，其中MN左侧磁场的磁感应强度大小为2B、MN右侧磁场的磁感应强度大小为B。质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，两导体棒接入电路中的阻值均为R，其余电阻不计。初始时两导体棒均静止，现对a棒施加水平向左的恒力F1，同时对b棒施加水平向右的恒力F2。且F1＝F2＝F，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触。已知从开始运动到两棒运动状态刚好稳定的过程中b棒的位移大小为x，则此过程中（　　） A．同一时刻a棒的加速度大小等于b棒加速度大小 B．运动状态稳定时a棒做匀加速运动 C．运动状态稳定时b棒的速度大小为 D．a棒产生的焦耳热为 3．（2021秋•天山区校级期末）光滑平行异型导轨abcd与a'b'c'd'如图所示，轨道的水平部分bcd、b'c'd'处于竖直向上的匀强磁场中，bc段轨道宽度为cd段轨道宽度的2倍，bc段和cd段轨道都足够长，但abcd与a'b'c'd'轨道部分的电阻都不计。现将质量相同的金属棒P和Q（P和Q都有电阻，但具体阻值未知）分别置于轨道上的ab段和cd段，将P棒置于距水平轨道高为h处由静止释放，使其自由下滑，重力加速度为g。则（　　） A．当P棒进入轨道的水平部分后，P棒先做加速度逐渐增大的减速直线运动 B．当P棒进入轨道的水平部分后，Q棒先做匀加速直线运动 C．Q棒的最终速度和P棒最终速度关系VP＝2VQ D．P棒的最终速度，Q棒的最终速度 4．（多选）（2026•长安区校级二模）某科技小组利用物理知识研究一款无接触驱动的游戏装置，如图所示，导轨a、b由半径为r＝0.4m的四分之一光滑圆弧平行导轨与水平导轨组成，其右端与水平导轨c、d良好衔接，导轨a、b部分宽度为L1＝2m，导轨c、d部分宽度为L2＝1m，金属棒P与金属棒Q上分别固定有绝缘卡通玩偶，营造出猫追老鼠的氛围，两者将随金属棒始终无翻转水平运动，金属棒P与“猫”总质量为M＝2kg，金属棒Q与“老鼠”总质量为m＝1kg，接入导轨间的电阻大小均为R＝1Ω，Q棒静止在c、d导轨上并被锁定，整个导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B＝1T。现将P棒从圆弧导轨圆心等高处无初速释放，经过t＝1s时间P棒到达圆弧轨道最低点，此时P棒对导轨压力为其重力的两倍，金属棒与轨道接触良好，不考虑一切摩擦，重力加速度为g取10m/s2，则（　　） A．从释放P棒到运动至圆弧轨道最低点过程中通过金属棒的电荷量为0.3C B．在Q棒一直锁定下，要使P棒不能带“猫”进入c、d轨道，则a、b轨道水平部分长度至少为2m C．当P棒到达圆弧最低点时，若Q棒立即解除锁定，水平导轨均足够长，且P棒始终在ab上运动，Q棒始终在cd上运动，则两金属棒运动稳定时速度大小分别为vPm/s，vQm/s D．P棒在导轨ab的水平部分运动过程，两者运动状态第一次稳定后，P棒进入cd导轨时，若此时距Q棒1m，则此后两者将会相碰 题型五 在安培力作用下线框穿越磁场题型 1．（2026•河北一模）如图所示，将涂有绝缘漆的金属圆环绕成“8”字形线圈，两小圆的半径均为r，圆心分别为O1、O2，线圈放置在光滑水平面上，水平面上MN右侧存在竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。线圈两次均以相同的初速度垂直MN向右开始运动，第1次O1O2连线垂直初速度方向，第2次O1O2连线平行初速度方向。已知线圈的电阻为R，则（　　） A．第1、2次，完全进入磁场后线圈速度相同 B．第1、2次，进入磁场瞬间加速度之比为2：1 C．第2次，线圈进入磁场过程通过线圈某截面的净电荷量为0 D．第2次，线圈进入磁场过程通过线圈某截面的净电荷量为 2．（2026•江阴市校级模拟）如图所示，光滑水平面上存在竖直向下的匀强磁场，磁场左右边界相互平行，范围足够大，一正方形金属线框在水平面上以初速度v0进入磁场，穿过磁场过程中（　　） A．线框做直线运动 B．线框做匀变速曲线运动 C．线框进、出磁场动能的变化相等 D．线框进、出磁场速度的变化相等 3．（2026•宜兴市校级模拟）如图所示，绝缘粗糙细杆abc在b处弯折，水平bc段足够长，在虚线AB的右侧区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，一带电圆环（可视为点电荷）套在杆上从ab段某处由静止释放，忽略圆环经过弯折处的能量损失，圆环在运动过程中所带电荷量保持不变。下列关于圆环速度v随时间t变化的图像不可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（2026•黑龙江）如图，光滑绝缘水平面上x＝0两侧区域Ⅰ、Ⅱ分别存在竖直方向的匀强磁场，宽度均为L，磁感应强度方向相反，大小分别为B、2B，x＝﹣3L和x＝3L处有固定挡板。同种材料制成、粗细均匀的正方形导体线框MNPQ，边长为L，质量为m，总电阻为R，以初速度v0从左侧进入磁场，沿x轴方向运动。线框平面始终与磁场方向垂直，MN边始终与磁场边界平行，线框与挡板的碰撞均为弹性碰撞。则（　　） A．MN首次进入磁场时线框的加速度大小a B．MN每次经过x＝1.5L时，电势差UNM：UPQ＝1：1 C．MN与右侧挡板首次碰撞后瞬间线框的速度大小v D．线框停止处，穿过线框的磁通量为0 题型六 有动力和安培力作用下线框穿越磁场题型 1．（2026•榆林三模）由相同材料、粗细均匀的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的粗细不同，乙线圈的横截面积是甲的2倍，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的边界水平，且磁场的宽度大于线圈的边长，如图所示。不计空气阻力，已知下落过程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。甲的下边开始进入磁场时以速度v做匀速运动，下列判断正确的是（　　） A．甲和乙进入磁场的瞬间，安培力之比为1：2 B．从释放甲、乙线圈到线圈上边界离开磁场，甲、乙用时相同 C．甲和乙进入磁场的过程中，通过导线的电荷量之比为1：1 D．甲和乙进入磁场的过程中产生的焦耳热之比为1：4 2．（2026•浙江三模）如图甲所示，斜面倾角θ＝37°，一宽为s＝0.5m的有界匀强磁场垂直于斜面向上，磁场边界与面底边平行。在斜面上由静止释放一正方形金属线框abcd，线框沿斜面下滑，下边与磁场边界保持平行。取斜面底边重力势能为零，从线框开始运动到恰好完全进入磁场的过程中，线框的机械能E和位移x之间的关系如图乙所示，图中①、②均为直线段。已知线框的质量为m＝0.1kg，图乙中数据为已知量，sin37°＝0.6，则（　　） A．金属线框与斜面间的动摩擦因数0.75 B．金属线框在磁场中运动时ab两端的电压保持不变 C．金属线框的长度为0.25m D．金属线框刚进入磁场到恰好完全进入磁场所用的时间0.125s 3．（2026春•昆山市校级期中）如图所示，空间存在间距为L的两足够大有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场的宽度也为L，磁场方向竖直向下，一矩形金属框abcd置于光滑绝缘水平台面上，已知ab＝3L，t＝0时刻bc边与磁场Ⅰ的左边界重合。现用水平恒力F向右拉动金属框，当bc边经过磁场Ⅱ的左边界时框开始做匀速运动。在金属框穿出磁场Ⅰ前的运动过程中，下列描述框的速度v、流过框中的电流i、通过框截面的电量q、框克服安培力做的功W随时间t变化的图像中，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（多选）（2026•安徽模拟）如图所示，光滑斜面倾角θ＝30°，间距为L的水平线GH和PQ间有垂直于斜面向上的匀强磁场Ⅰ，间距大于L的水平线PQ和MN间有垂直斜面向下的匀强磁场Ⅱ，两磁场的磁感应强度大小均为B，边长为L、质量为m、电阻为R的正方形金属线框abcd从斜面上GH上方由静止释放，线框运动过程中ab边始终水平，线框ab边刚进磁场Ⅱ时，线框的加速度恰好为零，线框ab边刚出磁场Ⅱ时线框的加速度也恰好为零，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　） A．线框进入磁场Ⅱ的过程中，通过线框截面的电量为 B．线框进磁场Ⅰ的过程可能做减速运动 C．线框从静止释放到ab边刚进磁场Ⅱ所用时间为 D．水平线PQ和MN间的距离为L 综合提升 一．选择题 1．（2025•固始县一模）如图甲所示，水平面内有两根足够长的光滑平行金属导轨，导轨固定且间距为L。空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B。现将两根材料相同、横截面积不同、长度均为L的金属棒ab、cd分别静置在导轨上。现给ab棒一水平向右的初速度v0，其速度随时间变化的关系如图乙所示，两金属棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。已知ab棒的质量为m，电阻为R。导轨电阻可忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．ab棒刚开始运动时，cd棒中的电流方向为d→c B．ab运动后，cd棒将做加速度逐渐增大的加速运动 C．在0﹣t0时间内，ab棒产生的热量为 D．在0∼t0时间内，通过cd棒的电荷量为 2．（2025春•常州期中）如图所示，与水平面成θ角的平行的倾斜导轨MN和PQ，不计电阻，在其上垂直导轨放置两根金属棒ab和cd，整个装置处在垂直导轨平面向下的匀强磁场中（磁场图中未画出），金属棒恰好保持静止。已知最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力，下列判断正确的是（　　） A．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒都会停下来 B．若给ab棒一个沿导轨向下的初速度，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 C．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒速度不同而加速度相同 D．若给ab棒一个沿导轨向下的恒力F作用，最终两棒分别以大小不等的速度匀速运动 3．（2025春•姑苏区校级期中）如图所示，固定在水平面内的光滑不等距平行轨道处于竖直向上、大小为B的匀强磁场中，ab段轨道宽度为2L，bc段轨道宽度是L，ab段轨道和bc段轨道都足够长，将质量均为m、接入电路的电阻均为R的金属棒M和N分别置于轨道上的ab段和bc段，且与轨道垂直。开始时金属棒M和N均静止，现给金属棒M一水平向右的初速度v0，不计导轨电阻，则（　　） A．M棒刚开始运动时的加速度大小为 B．金属棒M最终的速度为 C．金属棒N最终的速度为 D．整个过程中通过金属棒的电荷量为 4．（2021•南京模拟）如图所示，两根质量均为m的金属棒垂直地放在光滑的水平导轨上，左、右两部分导轨间距之比为1：2，导轨间左、右两部分有大小相等、方向相反的匀强磁场，两棒单位长度的电阻相同，不计导轨电阻，现用水平恒力F向右拉CD棒，在CD棒向右运动距离为s的过程中，AB棒上产生的焦耳热为Q，此时AB棒和CD棒的速度大小均为v，此时立即撤去拉力F，设导轨足够长且两棒始终在不同磁场中运动，则下列说法正确的是（　　） A．v的大小等于 B．撤去拉力F后，AB棒的最终速度大小为v，方向向右 C．撤去拉力F后，CD棒的最终速度大小为v，方向向右 D．撤去拉力F后，整个回路产生的焦耳热为mv2 5．（2026•模拟）如图所示，光滑绝缘水平台面上有两平行虚线，其间距为3L，两虚线间存在竖直向上的匀强磁场。一边长为L的单匝正方形导线框abcd，在磁场左侧平台上向右匀速运动，t＝0时刻导线框ab边进入磁场，t1时刻cd边进入磁场，t2时刻ab边离开磁场，t3时刻cd边离开磁场。已知导线框运动过程中ab边始终与虚线平行。下列说法正确的是（　　） A．导线框进入磁场和离开磁场的过程中，线圈内电流方向相同 B．0～t1时间内，导线框中的电流恒定 C．0～t1与t2～t3时间内，通过导线框的电荷量相等 D．0～t1与t2～t3时间内，导线框速度的变化量可能不相同 6．（2026春•烟台期中）如图甲所示，一质量为m，电阻为R，边长为L的正方形金属线框abcd，从ab边距离匀强磁场上边界L处自由释放，线框之后运动过程的v﹣t图像如图乙所示，图中图线OA段跟CD段斜率相等，BC段与t轴平行，AB段上B点的切线与BC段平行。线框下落过程ab边始终与磁场边界平行，已知匀强磁场的磁感应强度为B，重力加速度为g，不计空气阻力，整个过程中线框产生的焦耳热为（　　） A． B． C． D． 二．多选题 7．（多选）（2025秋•五华区校级期末）如图所示，两足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ水平放置，导轨间距为L，虚线OO'垂直导轨，导轨所在空间区域OO′两侧存在着方向相反的竖直方向的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。两长度均为L、电阻均为R、质量均为m的金属导体棒a、b垂直导轨放在OO′左右两侧，并与导轨保持良好接触。不计导轨的电阻，现使a获得一个水平向左的初速度v0，下列关于a、b两棒此后整个运动过程的说法正确的是（　　） A．a、b两棒受到的安培力大小相等，方向相同 B．棒a最终停止运动 C．导体棒b最终产生的热量为 D．稳定前，若通过导体棒a的电荷量为q，此过程中两棒运动的位移大小之差为 8．（多选）（2025秋•泰安期末）如图所示，用金属制作的曲线导轨与水平导轨平滑连接，水平导轨宽轨部分间距为2L，有竖直向下的匀强磁场，窄轨部分间距为L，有竖直向上的匀强磁场，两部分磁场磁感应强度大小均为B。质量均为m的金属棒M、N垂直于导轨静止放置，现将金属棒M自曲线导轨上距水平导轨h高度处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与导轨保持良好接触，两棒接入电路中的电阻均为R，其余电阻不计，导轨足够长，M棒总在宽轨上运动，N棒总在窄轨上运动，不计所有摩擦。下列说法正确的是（　　） A．M棒刚进入磁场时加速度为 B．M棒刚进入磁场时加速度为 C．通过N棒的最大电量为 D．通过N棒的最大电量为 9．（多选）（2025•石家庄校级开学）如图所示，两条足够长的光滑金属导轨平行放置在绝缘水平面上，左侧导轨间距为2L，右侧导轨间距为L，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。由同种材料制成的、粗细相同的导体棒C和导体棒D分别垂直于导轨放置。已知D棒的长度为L、电阻为R、质量为m，C棒的长度为2L，导轨电阻不计。第一次锁定D棒，让C棒以初速度v0向右运动，C棒运动一段距离x后停止运动（未到两导轨连接处），该过程中通过C棒的电荷量为q1。第二次解除锁定，让C棒仍以初速度v0向右运动，当C棒的速度稳定时还未到两导轨连接处，该过程中通过D棒的电荷量为q2，D棒中产生的焦耳热为Q，x、q1、q2、Q均未知，下列说法正确的是（　　） A． B．q1：q2＝3：2 C． D．第一次C棒运动的过程中，其热功率与速度的平方成正比 10．（多选）（2025秋•大连期末）如图所示，足够长的水平轨道左侧b1b2﹣c1c2部分轨道间距为2L，右侧c1c2﹣d1d2部分的轨道间距为L，曲线轨道与水平轨道相切于b1b2，所有轨道均光滑且电阻不计。在水平轨道内有斜向下与竖直方向成θ＝37°的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1T。质量为M＝0.2kg的金属棒B垂直于导轨静止放置在右侧窄轨道上，质量为m＝0.1kg的金属棒A自曲线轨道上距水平轨道高为h的a1a2处由静止释放，两金属棒在运动过程中始终相互平行且与轨道保持良好接触，金属棒A在宽轨道上运动稳定很长一段时间后进入窄轨道上运动，金属棒B总在窄轨道上运动。已知：金属棒A在宽轨道上运动时，两金属棒接入电路的有效电阻均为R＝0.2Ω，h＝0.2m，L＝0.2m，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2。则（　　） A．金属棒A在宽轨道上稳定运动的速度大小m/s B．金属棒A在宽轨道上运动过程中，通过金属棒A某截面的电荷量C C．金属棒A在宽轨道上运动过程中，金属棒A、B在水平轨道间扫过的面积之差是m2 D．金属棒B最终速度大小为m/s 11．（多选）（2026•河南模拟）如图，光滑水平面上存在竖直向上、宽度d大于2L的匀强磁场，其磁感应强度大小为B。甲、乙两个合金导线框的质量均为m，长均为2L，宽均为L，电阻分别为R和2R。两线框在光滑水平面上以相同初速度并排进入磁场，忽略两线框之间的相互作用。则（　　） A．甲线框进磁场和出磁场的过程中电流方向相同 B．甲、乙线框刚进入磁场区域时，所受合力大小之比为2：1 C．乙线框恰好完全出磁场区域时，速度大小为0 D．甲、乙线框从刚进磁场区域到完全出磁场区域产生的焦耳热之比为4：3 12．（多选）（2026春•武汉期中）火箭的回收利用可有效削减航天发射成本，电磁缓冲是火箭回收的关键技术，电磁缓冲装置的结构如图。匝数为n、总电阻为R、边长为l的正方形闭合线圈abcd固定在火箭主体下部，主体外侧安装有由高强度绝缘材料制成的缓冲槽，主体底端到缓冲槽底端的距离为H，且H＜l。槽中有垂直于线圈平面、磁感应强度为B的匀强磁场。某时刻主体（含线圈）以速度v0进入缓冲槽，缓冲槽保持静止于地面，此后主体（含线圈）在磁场内减速向下运动直至线圈的ab边落至缓冲槽底端时恰好静止。已知主体（含线圈）总质量为m，重力加速度为g，不计其他阻力。则（　　） A．缓冲槽刚静止时线圈中感应电流的大小为 B．缓冲槽刚静止时主体受到的安培力大小为 C．线圈相对缓冲槽下落高度h时速度减至，此过程所用时间为 D．从缓冲槽着地到线圈的ab边落至缓冲槽底端的过程中线圈上产生的焦耳热Q为 三．解答题 13．（2025秋•汇川区校级期末）如图所示，在水平桌面上固定两根光滑且足够长的平行金属导轨，将两根导体棒a、b垂直导轨放置，空间存在垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场。ma＝2mb＝2m，两棒长度均为L，相距为d0，棒a的电阻为R，棒b的电阻为2R；刚开始棒b静止，棒a以初速度v0水平向右运动，且运动过程中导体棒a与b不会发生碰撞，求在整个过程中： （1）棒a加速度的最大值； （2）棒b产生的焦耳热Qb； （3）两棒间的最小距离d。 14．（2026•山西模拟）如图所示，间距为L的光滑平行导轨由足够长的水平导轨和固定在竖直面导轨组成，圆弧导轨最低点与水平导轨分别在M、N两点平滑连接，MN与导轨垂直，水平导轨处在竖直向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B。长度均为L、质量均为m、电阻均为R的金属棒cd、ef垂直放在水平导轨上处于静止状态，虚线MN左侧没有磁场，质量为m、电阻为R的金属棒ab从圆弧轨道上距水平轨道高为处静止释放，三根金属棒运动过程中始终与导轨接触良好且保持垂直，金属棒间均不会相碰，导轨电阻忽略不计，重力加速度为g。求： （1）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒ab两端间的电压大小； （2）金属棒ab刚进入磁场时，金属棒cd的加速度大小； （3）从ab进入磁场至ab速度大小为的过程中，ab和cd间的距离减小量。 15．（2025•崆峒区校级模拟）如图所示，M、N、P、Q四根光滑的足够长的金属导轨平行放置在水平面内，导轨间距分别为2L和L，两组导轨间由导线相连，导轨间存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场，两根质量分别为3m和m的导体棒ab、cd垂直于导轨静止放置，接入电路的电阻分别为2R和R，其余部分电阻不计。t＝0时给导体棒ab向右的初速度v0，两导体棒在运动过程中始终与导轨垂直并与导轨接触良好，且达到稳定运动时导体棒ab未到两组导轨连接处。求： （1）t＝0时导体棒ab两端电压Uab； （2）导体棒ab稳定运动时的速度大小； （3）导体棒cd从开始运动至稳定运动的过程中产生热量。 16．（2026•杏花岭区一模）如图所示，在绝缘水平面上固定两根光滑平行金属导轨，左右两侧导轨处于竖直向上的磁场中，磁感应强度大小分别为B和2B，导轨间距分别为2d和d，已知导体棒MN的电阻为R、长度为d，导体棒PQ的电阻为2R、长度为2d，PQ的质量是MN的2倍。初始时刻两棒静止，两棒中点之间连接一压缩量为5L的轻质绝缘弹簧，弹簧的劲度系数为k。释放弹簧后两棒在各自磁场中运动直至停止，弹簧始终在弹性限度内。两棒保持与导轨垂直并接触良好，导轨足够长且电阻不计。求： （1）导体棒PQ的速率为v时，导体棒MN的运动速率及回路的总电功率； （2）弹簧伸展过程中流过导体棒MN的电流方向及弹簧释放的整个过程中通过导体棒PQ的电荷量。 17．（2026•孝感模拟）某兴趣小组设计了一种电磁阻尼装置，其简化模型如图所示。光滑水平面上方存在一宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小B＝0.5T，方向竖直向下。一轻弹簧右端固定，左端恰好位于磁场右边界。一上面固定着单匝矩形线框的小车以初速度v0＝4m/s向右运动，穿过磁场，并压缩弹簧。已知线框ad边足够长，ab边宽度也为L＝1m，线框右端与小车右端平齐，小车（含线框）总质量m＝0.5kg，线框电阻R＝0.5Ω。求： （1）线框刚进入磁场左边界时，小车的加速度； （2）小车向右运动过程中弹簧弹性势能的最大值； （3）若仅将线框匝数增至n＝3，线框总电阻变为3R，其他条件不变，忽略线框匝数引起的小车总质量的变化，小车最终能否静止？若能，确定其静止位置；若不能，求其最终速度大小。 18．（2026•东港区校级模拟）如图所示，足够长的光滑斜面与水平面的夹角为θ，虚线MN与斜面底端平行，虚线右侧有磁感应强度大小为B、方向垂直斜面向上的匀强磁场；在虚线MN的左侧有一结构为三个相同的正方形的金属框，正方形的边长为l，其中ab、cd、ef、gh都与虚线MN平行且电阻均为r，金属框的其他电阻不计，金属框的质量为m，初始ab边刚好在虚线MN处且金属框有一沿斜面向下的速度v0，当金属框刚好全部进入磁场时的速度为v，已知重力加速度为g，求： （1）ab边刚进入磁场时流过ab边的电流大小； （2）金属框从开始到全部进入磁场，通过ab边的电荷量以及通过ab、cd、ef、gh四个边的电荷量之比； （3）金属框从开始到全部进入磁场所经历的时间。 1 / 48 学科网（北京）股份有限公司 $